2016년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 30번 삼차함수 추론 문제에서 많은 학생들이 시간을 썼을 겁니다. 단순히 공식을 암기한 학생과 그래프의 개형, 미분가능성의 의미를 깊이 있게 이해한 학생의 차이가 극명하게 드러나는 문항이었죠. 전반적으로 수2의 핵심 단원인 함수의 극한, 미분, 적분에서 고난도 문항이 집중되었으며, 특히 도형과 극한을 결합한 20번, 29번 문항은 계산력과 기하학적 직관을 동시에 요구했습니다. 이러한 유형은 수능에서도 변별력을 가르는 핵심 포인트이므로, 단순히 답을 내는 것을 넘어 문제의 조건이 그래프의 형태를 어떻게 결정하는지 분석하는 훈련을 반드시 해야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 전형적인 등비급수 도형 문제입니다. 핵심은 '첫째항(S₁)'과 '공비(r)'를 정확히 구하는 것이죠. 많은 학생들이 첫째항의 넓이를 구하기 위해 복잡한 도형들을 직접 더하다가 계산 실수를 합니다. 오히려 큰 부채꼴에서 삼각형과 다른 부채꼴 넓이를 빼는 방식이 더 안정적일 수 있습니다. 결정적 힌트는 공비를 찾는 과정에 있습니다. 두 번째 그림의 작은 도형들의 넓이를 직접 구할 필요 없이, 큰 부채꼴(OA₁B₁)과 다음 단계의 기준이 되는 부채꼴(OA₂B₂)의 '반지름의 비'를 찾는 것이 가장 빠르고 정확한 길입니다. 길이의 비를 제곱하면 넓이의 비, 즉 공비가 된다는 사실을 잊지 마세요.
  

• 18번

  — 이 문제는 전형적인 등비급수와 도형의 결합 유형입니다. 첫째항(S₁)의 넓이를 정확히 구하고, 두 번째 도형과 첫 번째 도형의 닮음비를 찾아 공비를 구하는 것이 핵심이죠. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 닮음비를 찾을 때 길이의 비를 제곱하여 넓이의 비로 전환하지 않는 것입니다. 힌트는 두 번째 부채꼴이 내접하는 원의 반지름을 첫 번째 부채꼴의 반지름 6과 어떻게 연관 지을 수 있을지 고민하는 것에서 시작됩니다. 삼각형의 특수각(60도)을 활용하면 의외로 쉽게 닮음비를 찾을 수 있습니다.
  

• 20번

  — 삼차함수 f(x)의 근이 -1, 1, 2로 주어졌을 때, 그래프 개형을 추론하는 문제입니다. 최고차항 계수가 음수라는 조건에 따라 x축과 세 번 만나는 그래프를 그려보는 것이 문제 해결의 시작입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 정적분 값과 넓이를 혼동하는 것입니다. ㄱ 보기에서 ∫f(x)dx는 x축 아랫부분의 넓이에는 음수가 붙는다는 점을 명심해야 합니다. ㄷ 보기를 해결하는 실마리는 h(x)가 f'(x)라는 것을 인지하고, f(x) 그래프를 통해 도함수인 h(x)의 그래프(아래로 볼록한 이차함수)를 유추하는 것입니다. 이 이차함수의 정적분 값이 최대가 되려면 양수 구간을 최대한 많이 포함해야 한다는 사실을 이용해야 합니다.
  

• 21번

  — 이 문제는 함수 y=f(x)의 그래프를 t값의 변화에 따라 평행이동시키면서, 고정된 함수 y=g(x)와의 교점 개수 h(t)의 변화를 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 그래프의 위치 관계에 따른 교점 개수의 변화를 통해 불연속이 발생하는 지점을 파악할 수 있는지를 묻는 것이죠. 많은 학생들이 꼭짓점이나 꺾이는 지점에서만 불연속이 발생할 것이라 섣불리 판단하는 함정에 빠집니다. 결정적 실마리는 포물선 f(x)가 g(x)의 꺾인 부분, 즉 (1, -1)이나 (1, 3)을 지날 때가 아니라, 포물선이 직선 부분에 '접할 때' 교점의 개수가 극적으로 변한다는 사실을 간파하는 것입니다. 이 접하는 순간의 t값을 찾아내는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 28번

  — 곡선 밖의 한 점 (0, 16)에서 삼차함수에 그은 접선에 대한 문제입니다. 핵심 출제 의도는 접점의 좌표를 미지수(예: t)로 설정하고, 그 점에서의 접선의 방정식을 세운 뒤, 이 접선이 (0, 16)을 지난다는 조건을 이용하여 t에 대한 방정식을 푸는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 접선의 기울기가 8이라는 조건만 보고 f'(t)=8로 바로 계산하려 드는 것입니다. 하지만 이는 접점에서의 기울기일 뿐, 문제에서 주어진 점 (0, 16)과 접점 (t, f(t))를 잇는 직선의 기울기가 f'(t)와 같다는 식을 세워야 정확한 t값을 구할 수 있습니다. 이 방정식을 통해 접점을 먼저 찾는 것이 정석적인 풀이의 시작입니다.
  

• 29번

  — 극한과 도형이 결합된 고난도 문항으로, 문제의 모든 조건을 변수 n을 사용해 표현하는 것이 관건입니다. 사각형 OBCD의 둘레(ln)와 넓이(Sn)를 n에 대한 식으로 나타내야 하죠. 가장 큰 함정은 점 D의 좌표를 구하는 과정입니다. 점 A(2n, n+3)을 지나고 원에 접하는 직선의 방정식을 구해야 하는데, 기울기를 m으로 놓고 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하는 것이 정석입니다. 이 과정에서 계산이 복잡해져 포기하는 학생들이 많습니다. 결정적 힌트는 직선의 기울기를 구한 후, 이 직선의 y절편이 바로 D의 y좌표가 된다는 점을 이용해 ln과 Sn을 n에 대한 식으로 정리하고, 최종적으로 극한값을 계산하는 것입니다. 최고차항의 계수 비교가 핵심이 될 것입니다.
  

• 30번

  — 사차함수와 절댓값 함수의 미분가능성을 결합한 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 h(x) = f(x) - g(x)라는 새로운 함수를 설정하고 분석하는 것입니다. (나) 조건에서 |h(x)|가 실수 전체에서 미분가능하다는 것은, h(x)가 x축과 만나는 모든 점에서 부호 변화가 일어나면 안 된다는, 즉 '접해야 한다'는 의미입니다. 따라서 h(x)는 항상 0 이상이어야 합니다. (가) 조건에서 h(2)=0, h'(2)=0 이므로, 최고차항 계수가 1인 4차함수 h(x)는 (x-2)²을 인수로 가져야 합니다. h(x)가 항상 0 이상이면서 (x-2)²을 인수로 갖는 4차식의 형태는 (x-2)²(x-α)² 또는 (x-2)⁴ 꼴임을 추론하는 것이 결정적입니다. 이 형태를 설정한 후 f'(0)=2라는 조건을 이용해 미정계수를 확정하면 됩니다.
  

• 수학 30번

  — 최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 원점을 지나는 직선 g(x)의 관계를 추론하는 킬러 문항입니다. (나) 조건, 즉 |f(x)-g(x)|가 x=-3에서만 미분 불가능하다는 것이 문제 해결의 가장 결정적인 단서입니다. 이는 h(x) = f(x)-g(x)라 할 때, h(x)의 그래프가 x=-3에서는 x축을 뚫고 지나가고, 다른 교점에서는 x축에 접해야 함을 의미합니다. (가) 조건에서 f(0)=27, f'(0)=0이므로 f(x)는 x=0에서 극댓값을 갖는다는 사실과, (다) 조건의 교점이 두 개라는 사실을 종합하면 h(x)의 식을 (x+3)(x-k)² 형태로 가정할 수 있습니다. 여기서 g(x)=mx 꼴임을 이용하여 f(x)와 g(x)의 관계를 완성하고, f(x)의 극솟값을 찾아내는 것이 최종 목표입니다.