2016년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

21번 문항처럼, 직선의 기울기를 변수로 하여 그래프와의 교점 개수를 새로운 함수로 정의하고 그 함수의 연속성을 따지는 문제는 고2 학생들에게 여전히 큰 벽으로 느껴졌을 겁니다. 이번 시험은 수열의 극한과 함수의 연속성 파트에서 변별력 있는 문항들이 집중되었으며, 특히 19번, 30번처럼 극한 개념을 함수, 도형과 복합적으로 엮어내는 능력을 중요하게 평가했습니다. 이러한 복합 유형 문제들은 수능에서도 킬러 문항으로 자주 등장하는 형식이므로, 단순히 개념 암기를 넘어 다양한 상황에 적용하는 훈련을 꾸준히 해야만 고득점이 가능합니다.

문항 분석

• 16번

  — 분수꼴 함수 g(x)/f(x)가 실수 전체에서 연속이 될 조건을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 분모가 0이 되는 지점에서 함수의 연속성이 어떻게 유지되는지를 이해하는지 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 f(x)의 정의가 바뀌는 x=2에서만 연속성을 확인하고 넘어가는 실수를 합니다. 하지만 결정적인 함정은 x≤2 범위에서 이차함수인 f(x) 자체가 0이 되는 지점이 존재하는지 여부를 따지는 것입니다. 이 문제를 푸는 실마리는 '분모가 0이 되는 지점에서 분자도 0이 되어야 극한값이 존재할 수 있다'는 극한의 기본 성질을 f(x)의 모든 근에 대해 적용하는 것입니다.
  

• 19번

  — 등비수열의 극한을 이용해 정의된 함수 f(x)의 특징을 파악하는 문제입니다. 핵심은 x의 범위를 |x|<1, |x|>1, x=1, x=-1로 나누어 f(x)를 구체적인 구간별 함수로 재정의하는 것입니다. 여기에 f(x)=f(x+2)라는 주기성 조건까지 더해 그래프를 정확히 그리는 것이 관건이죠. 학생들은 주로 |x|>1일 때의 함수식을 구하는 과정이나, 주기성을 이용해 그래프를 확장하여 그릴 때 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 힌트는 먼저 [-1, 1] 구간의 그래프를 완성한 뒤, 이 모양을 주기 2만큼 계속 복사-붙여넣기 하여 전체 그래프의 개형을 파악하고 원과의 교점을 시각적으로 판단하는 것입니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 수열의 합으로 정의된 an에 대한 부등식을 증명하는 과정에서 빈칸을 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 시그마 식으로 표현된 수열의 점화식을 유도하고, 그 관계를 통해 부등식을 이해할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 (가)에서 an+1과 an의 관계를 찾기 위해 식을 변형하는 과정에서 항을 누락하거나 잘못 묶는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 an+1의 정의 식을 an의 정의를 활용하여 표현하는 것입니다. 즉, an+1의 시그마 합을 an의 시그마 합 부분과 나머지 부분으로 분리하여 관계식을 찾아내는 것이 첫 단추입니다.
  

• 21번

  — 전형적인 프랙탈 도형과 무한등비급수 문제입니다. 첫째항의 넓이를 구하고, 닮음비를 이용해 공비를 찾아 합을 구하는 능력을 측정합니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 공비를 구할 때, 즉 두 번째 도형의 크기를 결정하는 내접원의 반지름을 구하는 과정에서 복잡한 기하학적 접근을 시도하다 시간을 허비하는 것입니다. 이 문제 해결의 핵심은 '공비는 길이의 제곱비'라는 사실을 이용하는 것입니다. 따라서 R2의 지름인 선분 A2B2의 길이를 구하는 데 집중해야 하며, 이는 R1의 두 직선(A1C1, B1D1)에 동시에 접하는 원의 지름과 같습니다. 원의 중심에서 두 직선까지의 거리가 반지름과 같다는 성질을 이용하면 훨씬 수월하게 공비를 찾을 수 있습니다.
  

• 27번

  — 좌표평면 위의 내분점, 이차함수의 결정, 그리고 수열의 극한을 결합한 복합 문제입니다. 출제 의도는 여러 수학적 개념을 순서대로 적용하여 식을 세우고 최종적으로 극한값을 계산하는 종합적인 문제 해결 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 내분점 P, Q의 좌표를 n에 대한 식으로 표현하고, 이를 이용해 이차함수 f(x)의 계수 an, bn을 구하는 과정에서 발생하는 복잡한 계산 실수입니다. 이 문제의 실마리는 점 P, Q의 좌표를 구한 뒤, f(x) = x² + an*x + bn 에 두 점의 좌표를 대입하여 an과 bn을 n에 관한 식으로 나타내는 연립방정식을 차분하게 푸는 것입니다. 그 후 구한 식을 극한 식에 대입하면 최고차항의 계수 비교로 간단히 답을 구할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 모든 항이 양수인 등차수열에 대한 시그마 계산 문제입니다. 핵심 출제 의도는 주어진 시그마 안의 식, (a_2k)² - (a_2k-1)²을 보고 '합차 공식'을 떠올려 식을 간단히 변형할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 이 식을 보고 각 항을 (a+(2k-1)d)² 와 같이 풀어서 전개하려고 시도하다가 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 이 문제의 결정적 실마리는 주어진 식을 (a_2k - a_2k-1)(a_2k + a_2k-1) 로 인수분해하는 것입니다. 여기서 (a_2k - a_2k-1)은 등차수열의 공차 d로 일정하므로, 결국 시그마는 d * Σ(a_2k + a_2k-1) 형태로 매우 간단해집니다.
  

• 30번

  — 도형의 성질과 삼각함수의 극한을 결합한 최고난도 문항입니다. 점 P가 B에 한없이 가까워질 때의 극한 상황을 기하학적으로 분석하고 식으로 표현하는 능력을 요구합니다. 이 문제의 가장 큰 허들은 점 P의 위치를 매개변수(예: 중심각 θ)로 설정하고, 나머지 점 Q, R, I의 좌표나 관련 길이, 넓이를 모두 이 매개변수 θ로 표현하는 과정입니다. 학생들은 복잡한 도형 관계 속에서 좌표를 설정하는 것 자체를 어려워하며, 설령 설정하더라도 삼각함수 식을 정리하다가 길을 잃기 쉽습니다. 문제 해결의 첫 단추는 A를 원점, 선분 AB를 x축 위에 두는 좌표 설정을 하고, P의 좌표를 (cosθ, sinθ)로 두는 것입니다. P가 B로 갈 때 θ는 0으로 수렴한다는 사실을 이용하여 모든 것을 θ에 대한 식으로 표현한 후, θ→0 일 때의 삼각함수 극한(sinθ ≈ θ, 1-cosθ ≈ θ²/2)을 적용하는 것이 핵심 전략입니다.
  

• 수학 28번

  — 정n각형의 대각선 '길이의 종류'의 개수를 묻는, 다소 생소한 유형의 문제입니다. 출제 의도는 정다각형의 대칭성과 성질을 이해하고, n이 짝수일 때와 홀수일 때의 차이점을 발견하여 규칙성을 수열로 일반화할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들은 대각선의 '총 개수'를 구하는 공식과 혼동하거나, n이 짝수일 때 '지름'이라는 가장 긴 대각선이 추가된다는 점을 놓치기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 힌트는 원에 내접하는 정n각형을 그리고, 한 꼭짓점을 기준으로 나머지 꼭짓점들을 연결해보는 것입니다. 대칭성 때문에 연결하는 꼭짓점이 중앙을 기준으로 멀어질수록 같은 길이의 대각선이 쌍으로 나타난다는 규칙을 발견하는 것이 중요합니다.
  

• 수학 29번

  — 이차함수와 그 역함수, 그리고 특정 직선과의 교점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 급수로 계산하는 복합 문항입니다. 출제 의도는 역함수의 그래프적 특징(y=x 대칭)을 기하학적으로 활용할 수 있는지를 평가하는 데 있습니다. 대부분의 학생들은 점 P와 Q의 좌표를 구하기 위해 f(x)와 직선의 방정식을 연립하거나, g(x)의 식을 직접 구하려는 시도를 하는데, 이는 계산의 함정에 빠지는 지름길입니다. 이 문제의 가장 결정적인 실마리는 함수 y=f(x)와 y=g(x)가 y=x에 대해 대칭이고, 교점을 만드는 직선 y=-x+n+2 또한 y=x에 대해 대칭이라는 사실입니다. 이 대칭성으로부터 두 교점 P와 Q 역시 y=x에 대해 대칭 관계임을 간파하면, 삼각형 POQ의 넓이 Sn을 n에 대한 식으로 매우 간단하게 표현할 수 있습니다.
  

• 수학 30번

  — 여러 조건을 만족하는 실수 a, b에 대한 문제입니다. 등차중항과 등비중항의 개념을 정확히 알고, 이를 연립방정식으로 풀어내는 능력을 요구합니다. 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수는 (나)와 (다) 조건에서 세 수 a, b, ab를 배열하는 3가지 경우의 수를 모두 고려하지 않고, b가 등차중항이거나 등비중항인 경우 등 특정 케이스만 생각하고 푸는 것입니다. 이 문제를 완벽하게 풀어내기 위한 핵심은, 등차수열과 등비수열을 이루는 모든 가능한 배열(각각 3가지)에 대해 중항 관계식을 세워보는 것입니다. 이렇게 얻어진 여러 개의 (a, b) 연립방정식을 풀어 해를 구한 뒤, 반드시 (가) 조건인 ab<0을 만족하는지 최종적으로 검증하는 체계적인 접근이 필요합니다.