다항함수(특히 삼차함수)의 그래프 추론미분가능성과 연속성수열의 극한과 급수등차/등비수열의 일반항과 합정적분의 정의와 활용함수의 극한(도형 활용 포함)로그의 성질함수의 극한과 연속성수열의 극한등비수열과 등비급수시그마(Σ)의 성질과 계산다항함수의 결정함수의 그래프 개형 추론집합의 연산

총평

이번 9월 모의고사는 30번 문항에서 교점의 개수 함수 h(t)의 연속성 조건을 해석하여 원래 함수의 그래프를 추론하는 과정이 가장 까다로웠을 것입니다. 전반적으로 수열과 함수의 극한 단원에서 개념의 정확한 이해와 응용력을 요구하는 문항들이 다수 출제되었으며, 특히 19번 등비급수 도형 문제처럼 복잡한 도형에서 첫째항과 공비를 구하는 능력은 꾸준한 연습이 필요합니다. 이러한 그래프 해석 및 조건 분석 능력은 수능 수학 II의 핵심 역량이므로, 단순히 문제를 푸는 것을 넘어 '왜 이 조건이 주어졌을까?'를 고민하는 습관을 들여야 합니다.

문항 분석

16번
— 다항함수 f(x)의 차수와 계수를 극한 조건 두 개로 결정하는 전형적인 문제입니다. 출제 의도는 (가) 무한대로 가는 극한에서 최고차항 정보를, (나) 특정 값으로 가는 극한에서 최저차항 및 인수 정보를 얻어낼 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 (가) 조건에서 f(x) - x²의 최고차항 계수가 1임을 파악하지 못하고 f(x) 자체의 계수로 착각하는 실수를 합니다. 문제 해결의 실마리는 (가)에서 f(x) = 2x² + ax + b 꼴임을 먼저 확정한 뒤, (나) 조건에서 분모가 0으로 가므로 분자도 0으로 간다는 사실(f(0)=0)을 이용해 f(x)를 x(2x+a)로 놓고 극한값을 계산하여 a를 구하는 것입니다.
19번
— 무한 등비급수를 활용하여 반복되는 도형의 넓이 합을 구하는 문제입니다. 이 유형의 핵심은 '첫째항(S₁)'과 '공비(r)'를 정확하게 구하는 것이죠. 학생들은 보통 첫째항 S₁을 구하는 과정에서 부채꼴과 삼각형 넓이를 조합하다가 계산 실수를 하거나, 닮음비를 찾을 때 어떤 도형을 기준으로 삼아야 할지 혼란스러워합니다. 결정적 힌트는 새로 그려지는 반원이 선분 PO와 QO에 동시에 접한다는 사실입니다. 이 접하는 조건을 이용해 작은 반원의 중심에서 접선까지의 거리가 반지름과 같다는 성질을 쓰면, 큰 반원과 작은 반원의 반지름 비율, 즉 길이의 닮음비를 찾을 수 있고, 넓이의 비인 공비는 그 제곱이 됩니다.
20번
— 프랙탈 도형에서 색칠된 부분의 넓이의 합을 등비급수를 이용하여 구하는 문제입니다. 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 찾는 것이 핵심이죠. 학생들은 주로 공비를 구하는 과정에서 실수를 범하는데, 닮음인 두 도형의 길이의 비가 m:n이면 넓이의 비는 m²:n²이라는 사실을 간과하기 쉽습니다. 이 문제의 가장 큰 허들은 두 번째 반원의 반지름을 구하는 것입니다. 새로 그려진 반원이 선분 PO, QO와 동시에 접한다는 조건과, 중심각이 30°인 부채꼴의 기하학적 성질을 이용하여 특수각 삼각형을 찾아내면 반지름을 쉽게 구할 수 있고, 이것이 공비를 구하는 결정적 힌트가 됩니다.
21번
— 곡선 위의 점과 두 점을 잇는 직선의 기울기를 이용해 정의된 수열의 성질을 파악하는 문제입니다. 출제 의도는 문제에 주어진 텍스트 정의를 정확한 수학적 관계로 변환하는 능력과 등차수열의 성질을 깊이 있게 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 an과 xn의 관계를 제대로 설정하지 못하는 것입니다. 기울기의 정의에 따라 an = (x_{n+1}² - xn²) / (x_{n+1} - xn) = x_{n+1} + xn 이라는 핵심 관계식을 도출하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 이 식과 (나) 조건에서 an이 공차가 d인 등차수열이라는 사실을 연립하면, <보기>의 명제들을 차례로 증명하거나 반례를 찾을 수 있습니다.
28번
— 등차수열의 합 Sₙ의 성질을 깊이 있게 파고드는 문제입니다. (가) 조건 'Sₖ > Sₖ₊₁을 만족시키는 가장 작은 자연수 k'는 Sₖ₊₁ - Sₖ = aₖ₊₁ < 0 임을 의미합니다. 즉, (k+1)번째 항에서 처음으로 음수가 나타난다는 뜻이죠. (나) 조건 a₅a₆a₇ < 0은 세 항 중에 음수가 홀수 개 있다는 뜻인데, 등차수열의 특성상 부호가 바뀐다면 한 번만 바뀌므로 a₅ > 0, a₇ < 0 이고 a₆의 부호가 전체를 결정하게 됩니다. 이 두 조건을 종합하면 k=5 또는 k=6이라는 결론에 도달할 수 있으며, 이를 통해 첫째항과 공차에 대한 연립방정식을 세워 해결의 실마리를 잡을 수 있습니다.
29번
— 두 원의 교집합 영역에 포함되는 정수 격자점의 개수를 구하는 수열 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 영역의 격자점 개수를 규칙적으로 세어 일반항 aₙ을 구하고, 그 합을 계산하는 능력을 측정하는 것입니다. 학생들이 흔히 범하는 실수는 영역의 경계가 복잡하여 x 또는 y를 기준으로 체계적으로 세지 못하고 중복하거나 빠뜨리는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 두 원의 방정식 (x+n)²+y² ≤ (n+1)²과 (x-n)²+y² ≤ (n+1)²을 연립하여 교집합의 x좌표 범위를 찾는 것입니다. x=0을 기준으로 좌우 대칭이므로, x≥0인 범위에서 격자점을 센 후 2배를 하고, y축 위의 점들을 따로 계산하는 전략이 유효합니다. 각 정수 x값에 대해 가능한 정수 y의 개수를 n에 대한 식으로 표현하는 것이 관건입니다.
30번
— 삼차함수와 절댓값으로 정의된 함수 g(x)의 미분가능성 조건을 해석하는 최고난도 문항입니다. g(x)는 f(x)와 상수함수 y=k 중 크거나 같은 값을 택하는 함수, 즉 g(x) = max{f(x), k}로 해석할 수 있습니다. (가) 조건 'g(x)가 x=0에서만 미분가능하지 않다'가 문제 해결의 전부라 할 수 있습니다. 이는 y=f(x)의 그래프가 y=k와 x=0에서 뾰족하게 만나고(f(0)=k, f'(0)≠0), 다른 교점에서는 부드럽게 접해야 함(f(x₀)=k 이면 f'(x₀)=0)을 의미합니다. (나) 조건 g(0)=g(2)를 통해 f(2)=k 이고, 미분가능해야 하므로 f'(2)=0 이라는 결정적 단서를 얻게 됩니다. 이 조건들을 종합하면 삼차함수 f(x)의 식을 k에 대한 식으로 특정할 수 있고, 마지막 (다) 조건의 정적분 값을 이용해 k를 확정할 수 있습니다.
수학 II 28번
— 유리함수의 그래프와 정사각형의 성질을 결합한 좌표 기하 문제입니다. 출제 의도는 유리함수의 그래프를 그리고, 도형의 성질(정사각형)을 좌표를 이용해 식으로 표현할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 점 P와 Q의 좌표를 미지수로 놓고 복잡하게 계산하려 하지만, 이 문제의 핵심은 정사각형 OAPB와 ODQC의 성질을 이용하는 것입니다. OAPB가 정사각형이 되려면 대각선 OP가 직선 y=x 위에 있어야 하므로, 점 P는 y=f(x)와 y=x의 교점입니다. 마찬가지로 ODQC가 정사각형이 되려면 대각선 OQ가 y=-x 위에 있어야 하므로, 점 Q는 y=f(x)와 y=-x의 교점입니다. 이 두 방정식을 풀어 P와 Q의 좌표를 구하면 OP와 OQ의 길이를 쉽게 계산할 수 있습니다.
수학 II 29번
— 좌표평면 위의 기하학적 조건을 만족하는 점들의 개수를 세고, 그 점들로 만들어지는 삼각형 넓이의 총합을 수열로 표현하여 극한값을 구하는 복합 문제입니다. (가) 조건인 ∠B=90°를 벡터의 내적이 0이거나 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 식으로 변환하는 것이 첫 번째 관문입니다. 이 과정에서 b=2라는 중요한 정보를 얻게 됩니다. 그 후 (나) 조건 |ab| ≤ 2^(n+1)에 b=2를 대입하여 |a| ≤ 2^n 이라는 a의 범위를 구하고, 이 범위 내의 정수 a의 개수를 세어 각 삼각형의 넓이를 구한 뒤 모두 더해 Sn을 구해야 합니다. Sn이 n에 대한 식으로 정리되면, 최종적으로 무한대/무한대 꼴의 극한을 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 단계별로 조건을 해석하고 계산하는 침착함이 요구됩니다.
수학 II 30번
— 함수의 그래프와 직선의 교점 개수에 대한 함수 h(t)의 조건을 통해 원래 함수 f(x)를 추론하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 함수의 대칭성, 연속성의 개념, 그리고 그래프 개형 추론 능력을 종합적으로 평가하는 것입니다. 가장 결정적인 힌트는 (나) 조건 '(t²-t)h(t)가 모든 실수 t에서 연속'이라는 부분입니다. 이는 h(t)가 불연속이 될 수 있는 지점이 오직 t=0 또는 t=1 뿐임을 암시하며, h(t)의 불연속점은 함수 g(x)의 극값에 해당합니다. y축 대칭인 함수 g(x)의 그래프 개형을 여러 가지로 그려보면서, (가) 조건 h(2) < h(-1) < h(0)과 (나) 조건에서 얻은 극값 정보를 동시에 만족하는 유일한 그래프를 찾아내는 것이 문제 해결의 핵심입니다. 이 과정을 통해 f(x)의 꼭짓점과 다른 한 점의 정보를 얻어 a, b, c를 결정할 수 있습니다.