2017년 3월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학평은 30번 문항에서 두 함수의 합과 차로 새로운 함수를 정의하고 접선과 꼭짓점 조건을 엮어내, 많은 학생들이 접근조차 어려워했을 문제입니다. 전반적으로 수학(상), 수학(하) 범위에서 기본 개념의 충실한 이해를 바탕으로 한 응용력을 측정하는 문항들이 많았으며, 특히 21번처럼 집합과 부등식의 조건을 논리적으로 해석하는 능력이 중요하게 다뤄졌습니다. 20번, 28번과 같이 새롭게 정의된 함수의 규칙을 추론하는 유형은 수능 고난도 문항의 해결 능력을 기르는 초석이 되므로, 문제의 조건을 분해하고 재구성하는 연습을 꾸준히 해야만 합니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문제는 집합의 포함배제 원리를 이용하여 교집합 원소 개수의 범위를 추론하는 문제입니다. 학생들은 교집합의 최댓값은 쉽게 구하지만, 최솟값을 구할 때 전체 집합의 크기를 고려하지 않는 실수를 자주 합니다. 힌트는 n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) 공식에서, n(A∪B)의 값이 전체 학생 수 30명을 넘을 수 없다는 점을 이용해 n(A∩B)의 최솟값을 구하는 것입니다.
  

• 20번

  — 함수의 일대일 대응과 항등함수, 합성함수의 개념을 복합적으로 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 특히 <보기> ㄴ, ㄷ에서 (f∘f)(x)=x 또는 (f∘f∘f)(x)=x 조건을 만족하는 함수 f의 구조를 추론하는 것이 핵심입니다. 학생들이 흔히 f(a)=a인 경우만 생각하고, f(a)=b, f(b)=a와 같이 쌍을 이루는 경우나 f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a와 같이 세 원소가 순환하는 구조를 놓치는 실수를 합니다. 이 문제는 함수를 단순히 대입하는 대상으로 보지 않고, 집합 X의 원소들을 다른 원소로 연결하는 '관계' 또는 '치환'으로 바라보는 시각이 필요합니다. 각 조건이 함수의 그래프(또는 대응 관계도)에서 어떤 기하학적, 구조적 특징을 의미하는지 파악하는 것이 해결의 실마리입니다.
  

• 21번

  — 등차수열의 합과 시그마의 성질을 이용한 계산 문제로, 문제의 구조가 상당히 복잡해 보입니다. 출제 의도는 수열 b_n의 일반항을 직접 구해서 풀라는 것이 아니라, 주어진 식의 형태적 특징을 간파하라는 것입니다. 많은 학생들이 b_n = a₁ + 2a₂ + ... + naₙ 이라는 정의에 압도되어 b_n을 n에 대한 식으로 정리하려다 시간을 허비하는 함정에 빠집니다. 결정적 실마리는 우리가 구해야 할 최종적인 식 ∑[bₙ / n(n+1)] 에 있습니다. 분모의 n(n+1) 형태는 부분분수 분해를 암시하는 강력한 신호입니다. 먼저 부분분수 분해를 적용하여 시그마 식을 변형하고, 그 다음에 b_n의 의미를 생각하면 복잡한 항들이 소거되는 구조를 발견할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 원의 평행이동과 넓이 계산을 결합한 좌표기하 문제입니다. 이 문제의 핵심은 색칠된 부분의 넓이를 직접 구하려고 시도하지 않는 것입니다. 해당 영역은 활꼴 두 개와 사각형이 합쳐진 복잡한 형태라 직접 계산이 매우 어렵습니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 이 도형의 넓이를 구하기 위해 복잡한 적분이나 좌표 계산을 시도하는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 '평행이동'의 성질에 있습니다. 원 C₁ 위의 두 점 A, B와 호 AB로 둘러싸인 도형과, 이를 평행이동시킨 원 C₂ 위의 두 점 C, D와 호 CD로 둘러싸인 도형의 넓이는 정확히 같습니다. 이를 이용하면 구하고자 하는 넓이가 평행사변형 ACDB의 넓이와 같다는 사실을 깨달을 수 있고, 문제는 훨씬 간단한 도형의 넓이 계산으로 바뀌게 됩니다.
  

• 29번

  — 두 직선에 동시에 접하는 원의 성질을 이용하는 좌표기하 문제입니다. 이 문제를 풀기 위한 첫 단추는 원의 중심이 갖는 기하학적 특징을 파악하는 것입니다. 두 직선에 동시에 접하는 원의 중심은 항상 그 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 존재합니다. 따라서 가장 먼저 x-3y=0과 3x-y=0의 각의 이등분선의 방정식을 구해야 합니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 네 개의 원의 중심 A, B, C, D의 좌표를 미지수로 놓고 복잡한 연립방정식을 세우려는 시도입니다. 각의 이등분선(y=x, y=-x)을 구한 뒤, 원의 중심에서 접선까지의 거리가 반지름 4와 같다는 조건을 이용하면 중심의 좌표를 훨씬 쉽게 특정할 수 있습니다. 네 점 A, B, C, D가 만드는 사각형이 어떤 특별한 도형(마름모)이 되는지를 파악하면 넓이 계산은 간단해집니다.
  

• 30번

  — 명제 'p가 q이기 위한 충분조건'을 부등식의 영역과 결합한 고난도 문제입니다. 'p ⇒ q'가 참이 되려면, p의 진리집합 P가 q의 진리집합 Q에 포함되어야 함(P ⊂ Q)을 이해하는 것이 문제 해결의 출발점입니다. 조건 p는 중심이 (6, 3)인 직사각형 영역을, 조건 q는 두 직선의 경계를 기준으로 나뉘는 4개의 영역 중 2개의 영역을 나타냅니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 q의 영역, 즉 (2x+y-6)(x-2y+7)≥0을 해석할 때 부호가 (+, +)인 경우만 고려하고 (-, -)인 경우를 누락하는 것입니다. P의 직사각형 영역 전체가 Q의 영역 안에 완전히 포함되기 위한 양수 a, b의 조건을 찾아 a+b의 최댓값을 구하는 것이 최종 목표입니다. 직사각형의 중심 (6, 3)에서 두 경계선까지의 거리를 계산하는 것이 a와 b의 범위를 찾는 결정적 힌트가 됩니다.