2015년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 문항은 삼차함수의 극값과 실근의 개수 사이의 관계를 파고드는, 고2 학생들에게는 다소 까다로울 수 있는 문제였습니다. 전체적으로 수열, 함수의 극한, 미분 등 수학(나형)의 핵심 단원들이 고르게 출제되었고, 특히 그래프를 해석하거나 기하학적 상황을 수식으로 변환하는 능력을 중요하게 평가하고 있습니다. 21번의 포물선과 넓이 최적화 문제나 29번 격자점 개수 세기 같은 유형은 수능에서 더욱 복잡한 형태로 발전하는 단골 소재이므로, 지금부터 문제의 구조를 분석하고 식으로 표현하는 훈련을 철저히 해야 합니다. 계산의 복잡성보다는 개념의 깊이를 묻는 문항들이 많아, 튼튼한 개념 학습이 고득점의 열쇠가 되었을 시험입니다.

문항 분석

• 14번

  — 주기함수 f(x)와 원점을 지나는 직선 y=(1/n)x의 교점 개수 a_n을 구하는 것이 첫 관문입니다. 많은 학생들이 n의 값에 따라 교점 개수가 어떻게 변하는지 규칙성을 찾는 데서 헤맸을 겁니다. 핵심은 직선의 기울기가 점차 완만해지면서 한 주기당 교점 개수가 어떻게 안정되는지를 파악하는 것이죠. a_n을 구한 뒤 Σ (2 / (a_n * a_{n+2}))를 계산해야 하는데, 여기서 부분분수 분해를 이용한 '망원급수' 형태임을 눈치채지 못하면 정답에 도달할 수 없습니다.
  

• 18번

  — 이 문항은 원과 무리함수의 교점을 이용해 두 점 사이의 거리를 구하고, 그 식을 n에 대한 극한으로 계산하는 통합적 사고력을 측정하려는 문제입니다. 교점의 좌표를 직접 구하려고 시도하면 매우 복잡한 연립방정식에 빠져 시간을 낭비하기 쉬우니 주의해야 합니다. 문제 해결의 첫 단추는 두 교점의 x좌표를 α, β라 두고, y=√x+n을 제곱하여 얻는 이차방정식 x²+x+n-n²=0에서 근과 계수의 관계를 이용하는 것입니다. 이를 통해 α+β와 αβ를 구하고, 거리 공식 an²에 대입하여 식을 n에 관해 정리한 후 무한대-무한대 꼴의 극한을 계산해야 합니다.
  

• 20번

  — 프랙탈 도형에서 닮음비를 찾아 등비급수의 합을 구하는 능력을 평가하는 전형적인 문항입니다. 정육각형의 기하학적 성질을 정확히 이해하고 활용해야 풀 수 있죠. 가장 큰 함정은 공비(r)를 찾을 때, 정육각형 H₁과 H₂의 길이의 비를 잘못 구하는 것입니다. H₂의 꼭짓점은 H₁ 내부 반원의 호를 이등분하는 점이라는 사실이 결정적 힌트입니다. H₁의 중심에서 H₂의 꼭짓점까지의 거리를 삼각비 등을 이용해 구하면 H₂의 한 변의 길이를 알 수 있고, 이를 통해 길이의 비(닮음비)를 찾은 후 제곱하여 넓이의 비(공비)를 구하는 것이 핵심입니다.
  

• 21번

  — 주어진 기하학적 상황을 좌표평면에 옮겨 포물선의 방정식을 세우고, 동점 P의 위치에 따른 삼각형의 넓이를 함수로 표현하여 최댓값을 구하는 문제입니다. 많은 학생들이 포물선의 꼭짓점을 원점으로 설정하는 것부터 어려움을 겪습니다. 문제에서 점 E가 꼭짓점이므로 E(0,0)으로 설정하고, A(-2, 4), D(2, 4)를 지나는 포물선 y=x²을 구하는 것이 첫 단계입니다. 삼각형 AQP의 넓이가 최대가 되는 순간은, 점 Q에서 밑변이 포함된 직선 AG까지의 거리가 최대가 될 때, 즉 직선 AG와 평행한 직선이 포물선에 접할 때의 접점이 Q가 되는 순간이라는 사실을 떠올려야 합니다.
  

• 28번

  — 등차수열의 항을 계수로 갖는 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 활용하고, 이를 시그마 계산과 결합하여 미지수를 구하는 복합 문제입니다. 이차방정식의 두 근이 αn, βn이라는 정보에서 바로 근의 공식을 쓰려고 하면 계산의 지옥에 빠지게 됩니다. 해결의 열쇠는 근과 계수의 관계입니다. αn + βn = an + an+2 이고, αnβn = -an+1 이라는 것을 파악해야 합니다. 여기서 등차중항의 성질(an + an+2 = 2an+1)을 이용하면 합과 곱이 모두 an+1로 간단히 표현되고, 이 관계식을 Σ(αn+1)(βn+1)에 대입하여 정리하면 공차 d를 구할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 두 무리함수와 x축으로 둘러싸인 영역 내의 격자점(x, y좌표가 모두 정수인 점)의 개수를 세는 문제입니다. 이런 유형은 y좌표를 기준으로 세는 것보다 x좌표를 기준으로 세는 것이 훨씬 효율적입니다. 즉, x=k (k는 정수)인 수직선을 그어, 이 선 위에 있는 격자점의 개수를 세는 것이 일반적인 접근법이죠. y좌표는 0부터 시작하므로, y=√x+n²과 y=√x+n 위의 점 중 y좌표가 정수인 것의 개수를 x값에 따라 세면 됩니다. x의 범위가 어디까지인지, 그리고 각 x값에 대해 y의 범위가 어떻게 되는지를 n에 대한 식으로 정리하여 일반항 an을 구하는 것이 관건입니다.
  

• 30번

  — 삼차함수 f(x)와 상수함수 y=t의 교점 개수인 g(t)가 불연속이 되는 지점을 통해 f(x)의 극값 정보를 추론하고, 다른 조건들을 종합하여 f(x)를 완벽하게 결정하는 문제입니다. (가) 조건에서 g(t)가 t=0, t=6에서 불연속이라는 사실은 f(x)의 극댓값과 극솟값이 0과 6이라는 강력한 힌트입니다. 여기서 결정적인 실마리는 (나) 조건입니다. 함수 f(x)g(x)가 모든 실수에서 연속이 되려면, g(x)가 불연속인 지점(x=0, x=6)에서 f(x)의 함숫값이 0이 되어야 합니다. 즉, f(0)=0, f(6)=0 이라는 사실을 추론해야 합니다. 이 정보들을 종합하면 f(x)의 식을 세우고 (다) 조건을 이용해 최고차항의 계수까지 확정할 수 있습니다.
  

• 미적분 29번

  — 두 개의 넓이 S(θ)와 T(θ)를 각각 θ에 대한 식으로 표현하는 것이 관건인 삼각함수 극한 문제입니다. 직각삼각형 ABC의 변들의 길이를 θ로 표현하는 것은 기본이지만, 각 반원의 반지름을 구하는 과정에서 막히기 쉽습니다. 삼각형 ABD와 ADC에 내접하는 반원의 반지름을 구해야 하는데, '삼각형의 넓이 = (1/2) * 내접원 반지름 * 둘레' 공식을 변형하거나, 각의 이등분선과 탄젠트의 성질을 이용해야 합니다. 예를 들어, T(θ)의 반지름 r_T는 (ADC의 높이) * tan(∠ACD/2) 와는 다른 방식으로, 접선의 성질을 이용해 r_T = CD * tan(θ/2) 와 같이 표현하는 것이 더 효율적일 수 있습니다. 복잡한 식을 얻었더라도 θ→0+ 일 때 sinθ ≈ θ, tanθ ≈ θ 라는 근사를 믿고 과감하게 계산을 밀어붙이는 담대함이 필요합니다.
  

• 미적분 30번

  — 구간 [t, t+1]이 움직임에 따라 적분값이 변하는 함수 g(t)의 최소를 묻는, 미적분 심화 문제의 정석입니다. 먼저 f(x)가 x=1에서 연속이라는 조건으로 a, b의 관계식을 찾고, g(0)+g(1) 값을 이용해 a, b를 확정해야 합니다. 최솟값을 찾기 위한 결정적 단계는 g(t)를 미분하는 것입니다. 정적분으로 정의된 함수의 미분법에 따라 g'(t) = f(t+1) - f(t)가 되는데, 여기서부터가 진짜 시작입니다. t와 t+1의 위치가 f(x)의 분기점인 1을 기준으로 어디에 있는지에 따라 세 가지 케이스로 나누어 g'(t)의 부호를 조사하고 증감표를 그려야만 극소이자 최소가 되는 지점을 정확히 찾을 수 있습니다.