2016년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 30번 삼차함수 추론 문제에서 많은 학생들의 발목을 잡았을 겁니다. 단순히 계산하는 것을 넘어, 절댓값 함수의 미분가능성이라는 핵심 조건을 통해 함수의 개형을 완벽하게 유추해야만 풀 수 있는, 사고력을 깊게 측정하는 문항이었어요. 전반적으로 수열의 극한, 미적분의 기본 개념들을 충실하게 물어보면서도 20번(프랙탈), 28번(도형 넓이의 극한)과 같이 꾸준히 출제되는 유형들을 빠짐없이 점검하고 있습니다. 이 시험지의 4점 문항들, 특히 함수 그래프와 조건을 해석하는 문제들은 수능 고난도 문항의 기본기를 다지는 데 더할 나위 없이 좋은 자료이니, 틀린 문제들은 반드시 다시 풀어보며 논리 구조를 체화해야 합니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문제는 역함수의 그래프적 성질을 정확히 이해하고 있는지를 묻습니다. 많은 학생들이 g(x)를 직접 구하려고 시도하다가 복잡한 계산의 늪에 빠지는데, 이는 출제 의도가 아닙니다. 핵심은 함수 f(x)와 그 역함수 g(x)의 교점은 직선 y=x 위에 존재한다는 사실을 이용하는 것입니다. 따라서 f(x)=x라는 방정식을 세우고, 이 이차방정식이 주어진 정의역 x≥k에서 '서로 다른 두 실근'을 가질 조건을 판별식과 꼭짓점의 위치를 함께 고려하여 찾아내는 것이 결정적 실마리입니다.
  

• 18번

  — 도형과 극한이 결합된 전형적인 수능형 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 도형 정보 속에서 무게중심의 정의를 이용해 필요한 값을 효율적으로 추출하는 능력입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 점 A, B, C의 좌표를 모두 미지수로 설정하여 연립방정식을 풀려는 것인데, 이는 계산량을 폭발시킵니다. 결정적 힌트는 무게중심 G의 y좌표가 1/t라는 점입니다. 무게중심의 y좌표는 세 꼭짓점 y좌표의 평균이므로, A의 y좌표를 즉시 3/t로 구할 수 있고, 이것이 곧 삼각형의 높이가 됩니다. 주어진 넓이 3t와 높이를 이용하면 밑변 BC의 길이 f(t)를 t에 대한 식으로 간단히 표현할 수 있습니다.
  

• 20번

  — 전형적인 프랙탈, 즉 무한 등비급수 문제입니다. 이런 유형은 첫째항(S₁)과 공비(r)만 정확히 구하면 끝나는 문제라는 것을 모두가 알지만, 계산 과정에서 실수가 잦습니다. 출제 의도는 복잡한 도형 속에서 닮음 관계를 찾아내고, 삼각비 등을 이용하여 필요한 길이를 정확히 계산해내는 능력를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 첫째항인 정삼각형의 넓이를 구하는 데는 성공하지만, 두 번째 정사각형(A₂B₂C₂D₂)의 한 변의 길이를 구하는 과정에서 헤매곤 합니다. 결정적 힌트는 부채꼴 B₁C₁A₁의 호 C₁A₁을 이등분하는 점 B₂의 위치와 점 D₁의 좌표를 이용하여 두 번째 정사각형의 대각선의 길이를 찾는 것입니다. 여기서 공비를 구하면 게임은 끝납니다.
  

• 21번

  — 프랙탈 도형의 등비급수 문제로, 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구하는 것이 관건입니다. 학생들은 보통 첫째항인 정삼각형의 넓이를 구하는 과정에서 애를 먹거나, 두 번째 정사각형과의 닮음비를 찾는 데서 실수를 합니다. 이 문제의 핵심은 첫 번째 부채꼴 B₁C₁A₁ 안의 기하학적 관계를 파악하는 것입니다. 점 F₁이 호 C₁A₁을 3등분하는 점이라는 조건과 ∠A₁B₁E₁=60°라는 조건을 활용하여 좌표평면을 도입하거나 삼각비를 이용하면 첫 번째 정삼각형의 한 변의 길이를 구할 수 있습니다. 공비는 두 정사각형의 닮음비의 제곱인데, 두 번째 정사각형의 꼭짓점 B₂가 호 C₁A₁의 중점이라는 사실이 닮음비를 찾는 결정적인 단서가 됩니다.
  

• 28번

  — 원의 접선, 삼각형의 넓이, 등차수열이라는 세 가지 개념이 융합된 고난도 문항입니다. 출제 의도는 기하학적 상황을 식으로 표현하고, 수열의 조건을 이용해 미지수를 구하는 종합적 사고력을 측정하는 것입니다. 대부분의 학생들은 S₁, S₂, S₃의 넓이를 k로 표현하는 과정 자체를 버거워합니다. 이 문제를 풀어내는 첫 단추는 점 P(2,0)에서 원 x²+y²+2=2에 그은 두 접선의 방정식을 구하는 것입니다. 접선의 방정식을 구하면 점 A, B의 좌표가 특정되고, 이를 통해 S₁과 S₃의 넓이를 계산할 수 있습니다. 그 후 S₁, S₂, S₃가 등차수열을 이룬다는 조건(2S₂ = S₁ + S₃)을 이용하면 k에 대한 방정식을 세워 해결할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 규칙성을 찾아 일반항을 추론하고 시그마 합을 구하는 문제입니다. 각 행에 나열된 숫자들의 합을 구하려는 시도는 매우 비효율적이며 함정에 빠지기 쉽습니다. 출제 의도는 거듭제곱 수의 나머지가 주기성을 갖는다는 '합동식(모듈러 연산)'의 개념을 이해하고 적용하는 능력입니다. 결정적 실마리는 3의 거듭제곱(3⁰, 3¹, 3², ...)을 5로 나눈 나머지가 (1, 3, 4, 2)라는 4개의 숫자를 주기로 반복된다는 사실을 발견하는 것입니다. 이를 바탕으로 n번째 행에 나열된 n개의 숫자 중 나머지가 3인 것(즉, 3¹, 3⁵, 3⁹, ...)의 개수 aₙ을 n에 대한 식으로 표현하고, 이를 Σ에 대입하여 계산하면 됩니다.
  

• 30번

  — 유리함수와 직선의 위치 관계, 그리고 삼각형의 넓이 비를 이용하는 최고난도 문항입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 원점으로부터의 거리가 1인 직선 l의 방정식을 설정하는 것입니다. 또한, 넓이 관계식 2S₁=S₂를 어떻게 활용해야 할지 막막해합니다. 이 문제의 핵심은 직선 l의 방정식을 y=m(x-1)+k로 설정한 뒤, 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하여 |k-m|/√(m²+1) = 1 이라는 m과 k의 관계식을 얻어내는 것입니다. 이후 삼각형 PBA와 PCO의 넓이를 좌표를 이용해 표현해야 하는데, 두 삼각형이 직선 PC를 공유한다는 점에 착안하여 높이의 비율이 넓이의 비율과 같다는 성질을 이용하면 계산을 크게 줄일 수 있습니다. 이 높이 비율이 점 B와 점 O에서 직선 AP에 내린 수선의 발의 길이 비율과 같다는 점을 이용하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.