2017년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의평가는 19번 무한등비급수 도형 문제에서 닮음비를 제대로 설정하지 못해 시간을 허비한 학생들이 많았을 겁니다. 전반적으로 수열의 극한과 함수의 극한 단원에서 계산력과 그래프 해석 능력을 집중적으로 점검하고 있으며, 특히 21번 격자점 세기나 30번 실근의 합 함수의 연속성 문제는 새로운 함수를 정의하고 그 함수의 특성을 추론하는 능력을 요구한다는 점에서 평가원 수능 문제의 방향성과 맥을 같이 합니다. 고2 학생들은 이번 시험을 통해 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 각 개념이 문제 속에서 어떻게 유기적으로 연결되는지 파악하고, 낯선 조건이 주어졌을 때 이를 해석하는 훈련을 시작해야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문항의 출제 의도는 좌표평면 위의 두 직선의 수직 관계와 점과 직선 사이의 관계를 이용하여 극한값을 계산할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 원점과 점 P를 잇는 직선 OP의 기울기를 구한 뒤, 이에 수직인 직선 l의 기울기를 구하는 과정에서 부호 실수를 하거나, 복잡한 식 때문에 계산을 포기하는 경향이 있습니다. 결정적 실마리는 직선 OP의 기울기가 (2n²)/n = 2n 이라는 것을 파악하고, 수직인 직선 l의 기울기가 -1/(2n)임을 이용하여 직선 l의 방정식을 y = (-1/2n)(x-n) + 2n² 로 세우는 것입니다. 그 후 y절편인 점 Q의 좌표를 구하면 극한 계산은 어렵지 않습니다.
  

• 17번

  — 수학적 귀납법의 증명 구조를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문항입니다. n=k일 때 성립한다고 가정한 부등식의 양변에 어떤 식을 더해야 n=k+1일 때의 좌변이 만들어지는지 파악하는 것이 첫 단계죠. 많은 학생들이 (나) 빈칸을 채울 때, 단순히 식을 더한 결과와 최종적으로 보여야 할 목표 식 사이의 대소 관계를 증명하는 과정에서 길을 잃곤 합니다. 힌트는, (가정에서 유도된 식) > (목표 식) 임을 보이기 위해 두 식을 빼서 0보다 크다는 것을 보이는 것이 가장 정석적인 접근법이라는 점입니다.
  

• 19번

  — 전형적인 무한등비급수와 도형의 넓이 문제입니다. 첫째항 S₁의 넓이는 반원의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼서 비교적 쉽게 구할 수 있지만, 이 문제의 성패는 공비(r)를 얼마나 정확하고 빠르게 찾느냐에 달려있습니다. 학생들은 흔히 넓이의 비를 직접 구하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지는데, 핵심은 길이의 닮음비를 먼저 구한 뒤 그것을 제곱하여 넓이의 비를 찾는 것입니다. 결정적 실마리는 큰 직사각형 ABCD와 새로 그려지는 두 개의 작은 직사각형 사이의 닮음비를 파악하는 것이며, 도형이 2개씩 추가되므로 공비는 2 × (닮음비)² 가 된다는 점을 놓치면 안 됩니다.
  

• 20번

  — 절댓값 함수 그래프의 개형과 방정식의 실근 개수 해석 능력을 종합적으로 평가하는 문제입니다. ㄱ, ㄴ은 그래프만 정확히 그리면 해결되지만, ㄷ. 'f(f(x))=f(x)'에서 대부분의 학생들이 당황하게 됩니다. 이 방정식을 합성함수 식으로 직접 풀려고 하면 매우 복잡해지며, 이는 출제 의도가 아닙니다. f(x)를 t로 치환하여 f(t)=t를 먼저 푸는 것이 이 문제의 돌파구입니다. f(t)=t의 해 t₁, t₂를 구한 뒤, 다시 f(x)=t₁과 f(x)=t₂를 만족하는 x값들을 그래프에서 수평선을 그어 찾아내고 그 합을 구하는 방식으로 접근해야 합니다.
  

• 21번

  — 원의 내부에 포함되는 정수 격자점의 개수를 새로운 함수 f(t)로 정의하고, 그 함수의 불연속점에 대해 묻는 문제입니다. 함수 f(t)의 값이 언제 변하는지를 파악하는 것이 핵심인데, 바로 원의 경계선 x²+y²=t²이 정수 좌표 (a, b)를 지나는 순간에 f(t)의 값이 점프하며 불연속이 됩니다. 즉, 불연속이 되는 t값은 원점과 격자점 사이의 거리인 √(a²+b²) 형태를 가집니다. 0 < t < 6 범위에서 √(a²+b²) < 6, 즉 a²+b² < 36을 만족하는 정수 (a, b) 순서쌍에 대해 서로 다른 거리 값(t)이 몇 개나 나오는지를 꼼꼼하게 세는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 29번

  — 함수와 등차수열의 개념을 결합한 문항으로, 등차중항의 성질을 이용해 두 변수 a, b 사이의 관계식을 이끌어내는 것이 첫 번째 관문입니다. 조건 (나)에서 f(a), f(2), f(b)가 등차수열을 이루므로 2f(2) = f(a) + f(b) 이고, f(x)=1/x를 대입하면 ab = a+b 라는 핵심 관계식을 얻을 수 있습니다. 그 후 a+25b의 최솟값을 구해야 하는데, ab=a+b와 조건 (가) ab>0을 이용해 산술-기하 평균 부등식을 적용하는 것이 가장 효율적인 풀이입니다. 한 문자로 정리하여 이차함수의 최솟값으로 접근할 수도 있지만, 산술-기하 평균을 떠올리는 것이 시간을 단축하는 지름길입니다.
  

• 30번

  — 구간별로 정의된 함수 f(x)와 직선 g(x)의 교점의 x좌표 '합'을 새로운 함수 h(a)로 정의하고, 이 h(a)가 연속이 되도록 하는 미지수 k의 최솟값을 찾는 최고난도 문항입니다. h(a)가 불연속이 될 수 있는 지점은 직선 g(x)가 f(x)의 그래프에 접하거나, 그래프의 연결 지점(x=-2)을 지날 때처럼 교점의 개수가 변하는 순간입니다. 이 문제의 핵심은 교점의 개수가 변하더라도 실근의 '합'인 h(a)의 값은 부드럽게 이어져야 한다는 점입니다. 즉, 특정 지점에서 근이 사라지거나 생길 때, 다른 근들의 값의 변화가 이를 상쇄하여 합이 연속적으로 유지되어야 합니다. 직선이 이차함수에 접하는 순간(판별식 D=0)을 기준으로 a값의 좌우에서 근의 합의 변화를 분석하여 k에 대한 조건을 도출해야 합니다.