2016년 3월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

21번 좌표평면 위에서의 종이접기 문항은 기하학적 통찰력과 수식 계산 능력을 동시에 요구하여 많은 학생들의 발목을 잡았을 것입니다. 전반적으로 고1 수학의 핵심 개념인 다항식, 방정식과 부등식, 도형의 방정식부터 수열, 지수로그까지 고르게 출제하여 기본기를 점검하는 데 충실한 시험이었어요. 특히 30번처럼 수열의 규칙성을 집합의 조건과 결합하여 해석하는 유형은 최근 수능에서도 강조되는 통합적 사고력을 측정하는 문제이므로, 단순히 공식만 암기하는 것이 아니라 개념을 유기적으로 연결하는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 16번

  — 수학적 귀납법 증명 문제는 빈칸 채우기 형태로 출제되어 풀이 과정의 논리적 흐름을 정확히 따라가는 능력을 평가합니다. 출제 의도는 n=m일 때 성립한다고 가정한 식을 이용하여 n=m+1일 때의 식이 어떻게 유도되는지를 보이는 과정의 이해입니다. 많은 학생들이 (가)는 쉽게 찾지만, (나)를 찾기 위해 am+1에 대한 이차방정식을 푸는 과정에서 부호나 근의 공식 적용 실수를 하는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 문제에서 주어진 점화식 형태의 Σ 식과 n=m+1일 때의 목표 식을 비교하며, am+1을 기존의 항들(가)로 어떻게 표현할지 고민하는 데서 시작됩니다.
  

• 20번

  — 일대일 대응 함수의 개수를 세는 문제로, 주어진 조건을 해석하여 가능한 함수의 관계를 추론하는 능력이 핵심입니다. (가) 조건 (f∘f)(x)=x는 함수 f의 그래프가 y=x에 대해 대칭인 점들의 쌍으로 이루어져 있거나(f(a)=b, f(b)=a), 혹은 항등함수(f(c)=c)의 형태임을 의미합니다. (나) 조건 f(x)=2x를 만족하는 원소 x가 '어떤(some)' 원소, 즉 '적어도 하나' 존재한다는 점을 놓치면 안 됩니다. 이 조건을 만족하는 x=1 또는 x=2의 경우를 나누어 각각의 케이스에서 (가) 조건을 위배하지 않는 함수 f의 대응 관계를 모두 찾아내는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 21번

  — 좌표평면 위에서 도형을 접는 상황을 방정식으로 해석하는 고난도 기하 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '접는 선(PQ)은 대응하는 점(O와 O', F와 F')을 잇는 선분의 수직이등분선'이라는 기하학적 원리를 이용하는 것입니다. 많은 학생들이 P, Q, O', F' 등의 좌표를 모두 미지수로 설정하고 복잡한 연립방정식을 세우려다 길을 잃습니다. 결정적인 실마리는 선분 OO'의 중점이 직선 PQ 위에 있다는 조건과, (직선 OO'의 기울기) × (직선 PQ의 기울기) = -1 이라는 수직 조건을 이용하는 것입니다. 이 두 가지를 이용하면 직선 PQ의 방정식 y=mx+n을 훨씬 간단하게 구할 수 있습니다.
  

• 27번

  — 직선 y=x에 대한 대칭이동의 기하학적 의미와, 두 도형의 공통 부분 넓이를 구하는 계산 능력을 종합적으로 평가하는 문제입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은, 겹치는 부분의 모양이 복잡해 보여 시작부터 겁을 먹고 포기하는 것입니다. 하지만 각 삼각형의 경계가 되는 직선의 방정식을 모두 구하고, 교점들의 좌표를 차분히 계산하면 공통 영역이 원점을 꼭짓점으로 하는 두 개의 삼각형(또는 하나의 사각형)으로 쪼개짐을 발견할 수 있습니다. 이 교점들을 찾는 것이 문제 해결의 첫 단추이며, 이후에는 신발끈 공식을 이용하면 효율적으로 넓이를 구할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 도형의 평행이동과 내접원의 방정식을 결합한 문제입니다. 먼저 점 A(4,0)이 A'(9,2)로 이동한 것을 통해 삼각형 OAB 전체가 x축으로 5만큼, y축으로 2만큼 평행이동했음을 파악해야 합니다. 그 후, 평행이동된 삼각형 O'A'B'의 세 꼭짓점 좌표를 구하고, 이 삼각형에 내접하는 원의 방정식을 찾아야 합니다. 학생들은 내접원의 중심과 반지름을 구하는 과정에서 어려움을 겪는데, 삼각형의 넓이를 이용하는 공식 (넓이 = 1/2 × 내접원 반지름 × 둘레 길이)을 떠올리는 것이 가장 효율적인 접근법입니다. 이 공식을 이용해 반지름 r을 구하고, 내접원의 중심 좌표를 찾으면 원의 방정식을 완성할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 모든 실수 x에 대해 성립하는 이차부등식, 즉 '절대부등식'에 대한 문제입니다. 이차부등식 x² - 2(a-1)x + b - 2 ≥ 0 이 항상 성립하기 위한 조건은, 좌변의 이차함수 y = x² - ... 의 그래프가 x축에 접하거나 x축보다 위쪽에 떠 있는 것입니다. 이를 판별식으로 해석하면 D/4 ≤ 0 이 되어야 한다는 결론에 도달합니다. 많은 학생들이 판별식 D<0 만 생각하고 등호(=0, 즉 접하는 경우)를 빠뜨리는 실수를 합니다. 판별식 조건을 적용하면 a와 b에 대한 관계식이 나오는데, 문제에서 요구하는 a+b의 최솟값은 이 관계식을 이용하여 한 문자에 대해 정리한 후, 완전제곱식 꼴로 변형하거나 산술-기하 평균 부등식을 적용하여 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 두 등차수열의 항으로 구성된 집합 A, B의 조건을 해석하여 미지의 값을 추론하는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 (나) 조건 n(A∩B) = n(A∪Bᶜ)을 집합의 원소 개수 공식으로 정확히 풀어내는 것입니다. A∪Bᶜ은 A의 원소이거나 B의 여집합의 원소인 것들의 합집합이므로, n(A∪Bᶜ) = n(A) + n(Bᶜ) - n(A∩Bᶜ) = n(A) + (n(U)-n(B)) - (n(A)-n(A∩B)) 로 변환할 수 있습니다. 이 식을 정리하면 n(A∩B)에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. (다) 조건은 교집합 원소들의 합을 알려주는데, 등차수열의 항들이 교집합을 이룰 경우 그 교집합의 원소들 또한 새로운 등차수열을 이룬다는 사실을 이용해야 합니다. 이 성질을 이용해 교집합의 일반항과 개수를 특정하고, 이를 통해 수열 {bₙ}의 공차와 일반항을 역으로 추적하는 것이 문제 해결의 관건입니다.
  

• 수학(가형) 29번

  — 주어진 부등식 영역과 꼭짓점의 좌표가 자연수라는 조건을 만족하는 단위 정사각형의 개수를 세는 격자점 카운팅 문제입니다. 출제 의도는 복잡해 보이는 부등식 조건을 모든 꼭짓점이 만족해야 하는 하나의 통합된 조건으로 변환할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 가장 큰 함정은 네 꼭짓점의 조건을 각각 따로 생각하여 계산을 복잡하게 만드는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는, 네 꼭짓점 (i,j), (i+1,j), (i,j+1), (i+1,j+1) 중에서 부등식 조건을 가장 만족시키기 '어려운' 꼭짓점, 즉 x와 y가 가장 큰 (i+1, j+1)을 기준으로 부등식을 정리하는 것입니다. 이렇게 하면 i와 j에 대한 훨씬 간결한 관계식을 얻을 수 있고, 이를 시그마(Σ)를 이용해 계산하면 일반항 a_n을 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 수학(가형) 30번

  — 계수에 미지수를 포함한 삼차방정식이 서로 다른 세 정수근을 가질 조건을 분석하여, 미지수 순서쌍의 개수를 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 방정식의 구조를 파악하여 `x+2`라는 공통인수를 묶어내는 것입니다. 이 인수분해 한 방으로 `x=-2`라는 정수근 하나가 바로 확보되며, 문제는 나머지 두 정수근을 갖는 이차방정식 문제로 차원이 낮아집니다. 많은 학생들이 인수분해를 시도하지 않고 근과 계수의 관계만으로 접근하려다 어려움을 겪습니다. 일단 이차방정식으로 변환되면, 두 정수근의 곱이 4가 된다는 사실로부터 가능한 근의 조합({1,4}, {-1,-4})을 유추하고, 이를 다시 근과 계수의 관계에 대입하여 정수 a, b의 비율을 찾아내는 것이 정답으로 가는 길입니다.