2014년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 상용로그 지표와 가수 문항은 개념의 깊이를 정확히 꿰뚫지 못하면 접근조차 어려웠을 대표적인 킬러 문항이었습니다. 전반적으로 행렬, 수열, 지수로그 함수라는 당시 핵심 단원들을 중심으로 문제들이 균형 있게 배치되었으며, 특히 19번, 29번처럼 여러 개념을 융합하여 기하학적 직관과 대수적 계산 능력을 동시에 요구하는 문항들이 눈에 띕니다. 비록 행렬은 현재 수능 범위에서 제외되었지만, 20번처럼 복잡한 규칙 속에서 수열의 일반항을 추론하고 합을 구하는 능력은 현 수능의 수열 문제 해결에도 반드시 필요한 핵심 역량입니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문제는 주어진 논리의 흐름을 따라 빈칸을 채우는 증명 완성형 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 무리수를 직접 다루는 대신, 합과 곱을 이용하여 고차방정식의 해로 접근하는 과정을 이해하는지 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 (나)에서 α, β를 근으로 하는 이차방정식을 세우는 `t²-(α+β)t+αβ=0` 형태를 떠올리지 못해 헤매는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 `α+β`와 `αβ`의 값을 먼저 구하고, 이를 이차방정식의 근과 계수의 관계에 역으로 대입하는 것입니다.
  

• 19번

  — 로그함수의 그래프 위에 있는 세 점의 y좌표가 등차수열을 이룬다는 조건은, 세 점의 x좌표가 등비수열을 이룬다는 사실(`e²=df`)로 변환하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 학생들은 종종 이 관계를 놓치고 복잡한 로그 계산에만 매달리는 실수를 합니다. 이 문제의 핵심은 등차중항을 로그의 성질을 이용해 등비중항으로 바꾸고, 이를 선분의 외분점 공식과 연립하여 좌표 간의 비율을 찾아내는 것입니다.
  

• 20번

  — 이 문항은 격자점의 숫자에 대한 귀납적 정의를 주고, 대각선 방향의 합으로 정의된 새로운 수열 `a_k`의 합을 구하는 문제입니다. N(m, n)의 규칙이 파스칼 삼각형의 조합 수 생성 원리와 유사하지만, 초기값이 달라 직접 값을 나열하며 규칙을 찾아야 합니다. 학생들이 빠지는 함정은 `N(m,n)`의 일반항을 구하려다 시간을 허비하는 것입니다. 대신 `a_k`를 몇 개 항 구해보면(`a₁=1, a₂=4, a₃=10, ...`) 그 계차수열이 등비수열임을 발견할 수 있고, 이를 통해 `a_k`의 일반항을 구하는 것이 출제 의도입니다.
  

• 21번

  — 주어진 행렬이 역행렬을 갖지 않을 조건은 '판별식 D=0' 즉, `ay-bx=0`임을 아는 것이 기본입니다. 이 문제의 핵심은 이 대수적 조건을 기하학적으로 해석하는 능력에 있습니다. 점 Q(a,b)가 곡선 위의 점이라는 사실을 이용해 `b`를 `a`에 대한 식으로 바꾼 후, `ay-bx=0`에 대입하면 `a`에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 점 Q가 존재한다는 것은 이 이차방정식의 '실근 a가 존재한다'는 의미이므로, 판별식 `D ≥ 0`을 적용하여 점 P(x,y)가 만족하는 부등식의 영역(`y²-2x²≥0`)을 찾아내는 것이 결정적 실마리입니다.
  

• 29번

  — 세 원이 직선과 x축에 동시에 접한다는 조건에서, 원의 중심이 두 직선의 각의 이등분선 위에 있다는 사실을 간파하는 것이 가장 중요합니다. 직선 `y=√3x`가 x축과 이루는 각이 60°이므로, 각의 이등분선은 `y=tan(30°)x`가 됩니다. 반지름이 등비수열을 이룬다는 점과 두 원이 외접할 때 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같다는 성질을 연립하면, 등비수열의 공비를 쉽게 구할 수 있습니다. 기하학적 관계를 좌표와 식으로 정확히 옮기는 능력이 관건인 문제입니다.
  

• 30번

  — 이 문제는 상용로그의 지표와 가수에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 고난도 문항입니다. (단, 문제지에 `f(√[10]a)`로 표기된 부분은 `f(ka)`의 오기로 보이며, 이는 당시 시험지에서 흔히 발견되던 유형의 문제입니다. `f(ka)`를 기준으로 분석합니다.) 핵심은 `f(ka) = [log(ka)] = [log k + log a] = [log k + n + α]`로 분해하는 것입니다. `n`이 정수이므로 `n + [log k + α]`로 바꿀 수 있고, `k`가 1부터 9까지 변할 때 `log k`는 0.xx 이므로 `[log k + α]`의 값은 `α`의 범위에 따라 0 또는 1이 됩니다. (가) 조건의 합 94를 이용해 `n`의 값을 9로 추정한 뒤, `k≥10^(1-α)`를 만족하는 `k`의 개수를 통해 `α`의 범위를 특정하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 수학 28번

  — 행렬의 곱셈과 조합론적 계수가 결합된 고난도 문항입니다. A²의 모든 성분이 양수라는 조건을 식으로 나열한 뒤, 주어진 집합의 원소들을 대입하며 경우의 수를 세는 문제입니다. 가장 큰 함정은 조건을 체계적으로 분석하지 않고 무작정 대입하여 일부 경우를 누락하는 것입니다. A²을 계산하면 성분에 ab, ac가 나타나는데, 이들이 양수라는 조건(ab>0, ac>0)에서 a, b, c의 부호 관계가 결정됩니다. 즉, a가 양수이면 b, c도 양수여야 하고, a가 음수이면 b, c도 음수여야 한다는 결정적 실마리를 먼저 잡고 경우를 나누면 실수를 크게 줄일 수 있습니다.
  

• 수학 29번

  — 두 지수함수 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 최댓값을 구하는 문제로, 기하학적 직관이 필요한 문항입니다. 문제의 복잡한 형태 때문에 미분을 이용한 풀이를 시도하다가 길을 잃기 쉽습니다. 하지만 이 문제의 핵심은 두 곡선 y=2^x-2^{-x}와 y=(2^x+2^{-x})/2의 관계에 있습니다. 두 곡선 사이의 세로 길이는 (2^x+2^{-x})/2 - (2^x-2^{-x}) = 2^{-x}로 일정함을 발견하는 것이 첫 단추입니다. 사각형 ACBD는 사다리꼴이며, 넓이는 (AC+BD) * (b-a) / 2 로 표현되는데, AC와 BD의 길이를 t에 대한 식으로 나타내고 산술-기하 평균 부등식 등을 활용하면 최댓값을 구할 수 있습니다.
  

• 수학 30번

  — 지수법칙과 자연수 조건을 활용하는 전형적인 고난도 정수론 문제입니다. (가) 조건 f(2)×g(11) = a²b¹¹ = 2²⁰¹⁵ 만으로는 해를 특정할 수 없어 막막함을 느끼기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 힌트는 a, b가 1보다 큰 자연수라는 점에서 a와 b가 모두 2의 거듭제곱 꼴(a=2^k, b=2^m)이어야 한다는 사실을 추론하는 것입니다. 이를 대입하면 2k+11m=2015라는 선형 부정방정식을 얻게 되고, (나) 조건 f(2)<g(4) 즉, a²<b⁴를 k<2m 이라는 부등식으로 변환하여 두 조건을 모두 만족하는 자연수 순서쌍 (k, m)의 개수를 찾아야 합니다.