2014년 3월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

21번 주기함수와 유리함수 그래프의 교점을 묻는 문항은 단순히 식을 푸는 것을 넘어 그래프 개형에 대한 깊은 이해를 요구해 많은 학생들의 발목을 잡았을 겁니다. 이번 시험은 고1 수학의 핵심 개념인 다항식, 방정식과 부등식, 도형의 방정식, 집합과 명제, 함수를 충실하게 점검하고 있어요. 특히 27번처럼 도형에 삼각함수를 결합하거나 29번처럼 집합과 부등식을 융합하는 등 복합 개념 문항의 비중이 높아지는 추세를 보여줍니다. 이러한 복합적 사고력 측정은 수능의 방향성과 일치하므로, 단순히 공식을 암기하기보다는 각 개념이 어떻게 연결되는지 구조적으로 파악하는 훈련이 필수적입니다.

문항 분석

• 17번

  — 세 개의 원을 모두 포함하는 가장 작은 원판 D를 찾는 문제입니다. 핵심은 집합 A∪B∪C ⊂ D 라는 조건을 기하학적으로 어떻게 해석하느냐에 있죠. 많은 학생들이 세 원의 중심을 지나는 원을 생각하는 실수를 하는데, D는 원판(disk)이므로 세 원의 모든 점을 포함해야 합니다. 결정적 실마리는, 구하려는 원판 D의 중심 (a,b)에서 세 원의 가장 바깥쪽 점까지의 거리가 모두 같아지는 지점을 찾는 것입니다. 즉, D의 반지름 k는 '(a,b)와 각 원의 중심 사이의 거리 + 각 원의 반지름' 중 최댓값이며, 이 최댓값이 최소가 되는 (a,b)를 찾아야 합니다.
  

• 20번

  — f(f(x)) = 2 - f(x)와 같은 합성함수 방정식을 보고 당황해서 f(x)의 식을 구하려고 했다면 함정에 빠진 겁니다. 이 문제의 출제 의도는 그래프를 이용한 해석 능력을 보는 것입니다. f(x) = t로 치환하여 f(t) = 2 - t 라는 간단한 방정식을 먼저 푸는 것이 첫 단추입니다. y=f(t) 그래프와 y=2-t 라는 직선의 교점을 찾아 t의 값을 먼저 구하고, 그 다음 각 t값에 대해 f(x) = t를 만족하는 x의 개수를 다시 그래프에서 수평선을 그어 찾아내면 실근의 총 개수를 정확히 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — n이 짝수일 때와 홀수일 때로 나뉘어 점화식처럼 정의된 함수 f(n)의 값을 추론하는 문제입니다. f(n)=2가 되는 100 이하의 n을 찾는 것이 목표인데, 1부터 순서대로 대입하는 것은 무모한 방법입니다. 이 문제의 핵심은 역추적입니다. f(n)=2가 되려면 그 이전 단계는 무엇이었을까를 생각해야 합니다. f(n)=f(n/2) (n:짝수) 이므로 f(k)=2이면 f(2k), f(4k)...도 모두 2가 됩니다. 또한 f(n)=f((n-1)/2)+1 (n:홀수) 이므로 f(n)=2가 되려면 f((n-1)/2)=1이어야 합니다. f(1)=1이라는 초기 조건을 이용해 f(m)=1이 되는 m들을 먼저 찾고, 이를 통해 f(n)=2가 되는 홀수 n(n=2m+1)들을 찾아낸 뒤, 짝수 규칙을 적용해 개수를 확장해 나가야 합니다.
  

• 26번

  — 약수의 개수가 홀수라는 조건의 의미를 파악하는 것이 핵심인 정수론 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 약수의 개수 공식에 대한 암기를 넘어 그 근본 원리를 이해하고 있는지를 확인하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 n의 값을 일일이 대입하며 약수의 개수를 세는 것인데, 이는 비효율적이고 시간 내에 풀기 어렵습니다. 이 문제의 결정적 힌트는 '약수의 개수가 홀수인 수는 제곱수'라는 성질입니다. 이 사실을 알고 있다면, 문제는 '<n>=16' 즉, n 이하의 제곱수가 16개인 자연수 n의 최댓값을 찾는 간단한 문제로 바뀌게 됩니다.
  

• 27번

  — 원에 내접하는 사각형의 성질과 코사인 법칙, 사인 법칙을 종합적으로 활용해야 하는 문제입니다. 도형 문제에 대한 막연한 두려움으로 접근조차 못 하는 학생들이 많았을 겁니다. 이 문제의 핵심은 '원에 내접하는 사각형의 마주 보는 두 각의 합은 180도'라는 성질을 이용하여 두 삼각형에서 공통변인 대각선 BD의 길이를 코사인 법칙으로 표현하는 것입니다. 이 과정을 통해 cos(∠BCD)와 cos(∠BAD)의 관계(cos(180°-θ) = -cosθ)를 이용하면 BD의 길이를 구할 수 있고, 이를 사인 법칙에 적용하면 원의 반지름과 넓이를 구할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 원소가 5개인 집합 A의 2개짜리 부분집합 10개에 대한 조건을 해석하는, 상당히 추상적인 문제입니다. 10개의 부분집합을 일일이 나열하여 m_k와 M_k를 구하는 것은 비효율적입니다. 출제 의도는 각 원소가 m_k(작은 수)와 M_k(큰 수)로 몇 번씩 등장하는지를 체계적으로 파악하는 것입니다. 예를 들어, 집합 A={a,b,c,d,e} (a<b<c<d<e)에서 a는 나머지 4개 원소와 짝을 이룰 때 항상 m_k가 되므로 총 4번 등장합니다. 이런 방식으로 각 원소 1, x, 3, y, 5가 m_k와 M_k로 몇 번씩 등장하는지 계산하여 (가), (나)의 총합을 x와 y에 대한 식으로 나타내면, 두 개의 부등식을 얻게 되고 이를 통해 12x+6y의 최댓값을 구할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 9개의 숫자 중 3개를 뽑아 세 자리 자연수를 만드는데, '어떤 두 수의 합도 9가 아니다'라는 독특한 조건이 붙었습니다. 이 조건의 함정은 직접 만족하는 경우를 세기가 매우 까다롭다는 점입니다. 문제 해결의 실마리는 합이 9가 되는 숫자 쌍을 미리 묶어두는 것입니다. {1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5} 네 개의 묶음과 혼자 있는 9로 숫자들을 재분류하세요. 조건은 '각 묶음에서 숫자를 최대 한 개까지만 고를 수 있다'는 말과 같습니다. 이제 세 개의 숫자를 뽑는 과정을 '네 개의 묶음과 숫자 9 중에서 어떻게 선택할 것인가'의 문제로 바꾸어 경우를 나누어(예: 3개의 묶음에서 1개씩 선택, 2개의 묶음에서 1개씩 선택하고 9를 선택) 계산하면 실수를 줄일 수 있습니다.
  

• 30번

  — 삼각형 내부의 점 P에서 변에 내린 수선의 길이(PM, PN)와 관련된 식의 최솟값을 묻는 기하 문제입니다. 이 형태를 보고 좌표를 설정해 미분으로 풀려고 하면 계산이 매우 복잡해집니다. 출제 의도는 '넓이'를 이용해 변수들 사이의 관계식을 찾는 것입니다. 삼각형 ABC의 넓이는 삼각형 ABP와 ACP의 넓이의 합과 같다는 사실(Area(ABC) = Area(ABP) + Area(ACP))을 이용하면, (1/2)AB*PM + (1/2)AC*PN = const. 라는 PM과 PN에 대한 일차 관계식을 얻을 수 있습니다. '합이 일정할 때, 역수들의 합의 최솟값'을 구하는 전형적인 코시-슈바르츠 부등식 활용 문제로 귀결됩니다. (ax+by)(a/x+b/y) ≥ (a+b)² 형태를 떠올리는 것이 결정적입니다.