좌표평면과 도형의 방정식 (원, 직선)이차함수와 이차부등식의 활용다항식의 나머지 정리집합의 연산과 포함 관계로그의 성질과 계산수열의 이해와 합기하학적 정의의 활용 (타원)집합의 연산과 조건 해석이차함수와 이차방정식의 판별식원의 방정식과 기하학적 성질유리함수의 그래프와 대칭성등차/등비수열의 일반항과 합부등식의 영역에서의 최대/최소서로소(coprime)의 정의와 활용

총평

30번 문항에서 '두 점까지의 거리의 합이 일정하다'는 조건을 보고 타원의 정의를 즉각적으로 떠올리지 못했다면 많은 시간을 허비했을 것입니다. 이번 시험은 고1 수학(상), (하)에서 배운 도형의 방정식, 이차함수, 집합과 명제 등 핵심 단원들의 개념을 얼마나 깊이 있게 이해하고 있는지를 집중적으로 점검하고 있습니다. 계산 자체는 복잡하지 않지만, 문제의 조건을 해석하여 적절한 수학적 개념을 연결하는 능력이 고득점의 관건이었으며, 특히 19번, 21번, 30번처럼 기하학적 상황을 수식으로 풀어내는 훈련은 향후 수능 고난도 문항 해결의 초석이 되므로 반드시 복습해야 합니다.

문항 분석

16번
— 이 문제는 원과 직선의 위치 관계를 묻는 문제지만, 핵심은 기하학적 통찰력에 있습니다. 많은 학생들이 두 점 A, B의 좌표를 구하려고 애쓰다가 시간을 허비하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 '두 접선이 서로 수직'이라는 조건입니다. 원의 중심, 두 접점 A, B, 그리고 두 접선의 교점을 연결하면 어떤 사각형이 만들어지는지 그려보세요. 그 사각형이 정사각형이 된다는 사실을 간파하는 순간, 문제의 실마리가 풀리기 시작합니다.
17번
— 이 문제는 수학적 귀납법의 증명 과정을 정확히 이해하고 있는지를 평가하는 문항입니다. 많은 학생들이 빈칸 (가)와 (나)를 채우는 데만 급급해 전체적인 증명의 흐름을 놓치는 실수를 합니다. 핵심은 n=k일 때의 가정된 식을 이용하여 n=k+1일 때의 식이 성립함을 보이는 과정에서, 주어진 점화식(an+1과 an의 관계)을 어떻게 활용하여 식을 변형하는지에 있습니다. 단순히 양변을 비교하는 것이 아니라, ak+1을 (가)ak + (k+2)/2 꼴로 바꾼 뒤, 가정된 ak의 식을 대입하여 (나)를 포함한 최종 형태로 정리해 나가는 논리적 연결고리를 찾는 것이 결정적 실마리입니다.
19번
— 두 원과 한 점 P에 대한 접선 길이가 같다는 조건을 어떻게 수식으로 표현할지가 관건인 문제입니다. 출제 의도는 점 P의 좌표를 (p, 0)으로 설정하고, 피타고라스 정리를 이용하여 PQ²과 PR²을 각각 p에 대한 식으로 나타내도록 유도하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 원 C₂의 중심과 반지름을 구한 뒤, PR의 길이를 구하는 과정에서 복잡한 계산에 매몰되는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 '접선의 길이' 공식을 떠올리는 것이 아니라, '원 밖의 한 점에서 그은 접선은 접점과 중심을 이은 반지름과 수직이다'라는 기본 성질을 이용하여 직각삼각형을 만드는 데 있습니다. 즉, PQ² = OP² - (C₁의 반지름)² 이고, PR² = (P와 C₂중심 사이의 거리)² - (C₂의 반지름)² 임을 이용하면 p에 대한 간단한 방정식을 얻을 수 있습니다.
20번
— 이차함수의 성질을 k값에 관계없이 추론해야 하는, 전형적인 준킬러 문항입니다. 출제 의도는 'k에 대한 항등식' 개념을 함수에 녹여낼 수 있는지를 평가하는 것입니다. 특히 <보기> ㄴ에서 'k의 값에 관계없이 항상 지나는 점'을 찾으려면, 주어진 함수식을 y를 이항한 후 k에 대해 정리하여 '( )k + ( ) = 0' 형태로 만들어야 합니다. 이 식이 모든 k에 대해 성립할 조건을 생각하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. <보기> ㄷ 역시 A, B의 좌표를 k로 표현한 뒤 직선의 기울기를 구해보면 k가 소거되는 것을 발견할 수 있습니다.
21번
— 유리함수와 도형의 넓이를 결합한 고난도 문항으로, 문제의 모든 조건을 유기적으로 활용해야 합니다. 가장 큰 함정은 점 B의 좌표를 (α, β)로 설정한 뒤, 점 C의 좌표를 별개의 문자로 놓고 복잡한 연립방정식을 세우는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 (가) 조건, 즉 '두 점 B, C는 직선 y=x에 대해 대칭'이라는 점입니다. 이 조건을 이용해 점 C의 좌표를 (β, α)로 바로 설정하면 미지수의 개수를 획기적으로 줄일 수 있고, 삼각형 ABC의 넓이를 α, β에 대한 식으로 간단히 표현할 수 있게 됩니다.
29번
— 이 문제는 부등식으로 정의된 집합의 조건을 만족하는지에 따라 항의 값이 1 또는 -1로 결정되는 새로운 수열을 제시하고, 그 합을 묻는 문항입니다. 출제 의도는 주어진 부등식 (x-n)(x-2n+1) ≤ 0의 해가 n ≤ x ≤ 2n-1 이라는 것을 파악하고, 특정 값 x=25가 이 범위에 포함되는 자연수 n의 구간을 찾는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 an이 1이 되는 n의 조건을 25 ≤ 2n-1 과 n ≤ 25 로 각각 분리하여 생각하다가 범위를 잘못 설정하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 '25 ∈ An' 이라는 조건을 'n ≤ 25 ≤ 2n-1' 이라는 연립부등식으로 한 번에 해석하는 것입니다. 이 연립부등식을 풀면 an=1이 되는 n의 범위가 나오고, 그 외의 n에 대해서는 an=-1이 되므로, m까지의 합이 -20이 되도록 하는 m의 값을 계산할 수 있습니다.
수학 30번
— 좌표평면 위 점 P의 자취를 추론하고, 그 영역 내에서 특정 식의 최댓값을 구하는 고난도 문항입니다. (나) 조건의 AQ+PQ ≤ 6을 보고 '두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합' 즉, 타원의 정의를 떠올리는 것이 이 문제 해결의 전부라 해도 과언이 아닙니다. 많은 학생들이 이 조건을 기하학적으로 해석하지 못하고, 점 P(x,y)와 Q(q,0)에 대한 복잡한 근호가 포함된 부등식으로 접근하려다 길을 잃게 됩니다. 결정적 실마리는 Q가 x축 위를 움직이는 '동점'이라는 사실에 있습니다. P가 존재하려면, A(0,1)을 한 초점으로 하고 x축에 접하는 타원을 생각해야 하며, 그 타원의 장축의 길이가 6이 되어야 한다는 것을 간파해야 합니다. 이 조건을 만족하는 점 P가 그리는 영역 D의 경계 방정식을 구한 뒤, 우리가 구하려는 x+y=k라는 직선이 이 영역과 만나도록 하는 k의 최댓값, 즉 접할 때의 k값을 찾는 것이 최종 목표입니다.
단답형 28번
— 문장으로 주어진 실생활 문제를 부등식의 영역으로 변환하고, 목표 함수의 최댓값을 구하는 문제입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 '차는 10분 이하', '합은 1시간 이하'와 같은 조건을 부등식으로 옮기는 과정에서 실수를 하거나, 단위를 통일하지 않는 것입니다. 자전거 탄 시간을 x분, 줄넘기 한 시간을 y분으로 설정하고, 조건 (가) |x-y| ≤ 10, (나) x+y ≤ 60을 정확히 세우는 것이 첫 단계입니다. 칼로리 소모량 a = 4x + 8y 라는 식을 세운 뒤, 부등식 영역의 꼭짓점들을 대입하여 최댓값을 찾는 전형적인 선형계획법 문제의 흐름을 따라가야 합니다.
단답형 29번
— 수열 an의 정의 자체가 집합의 포함 관계에 따라 결정되는 새로운 유형의 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '25 ∈ An' 이라는 조건이 언제 성립하는지를 파악하는 것입니다. An의 정의인 부등식 (x-n)(x-2n+1) ≤ 0에 x=25를 대입하여 (25-n)(25-(2n-1)) ≤ 0, 즉 (n-25)(2n-26) ≤ 0 이라는 n에 대한 이차부등식을 얻어내는 것이 결정적 실마리입니다. 이 부등식을 만족하는 n의 범위(13 ≤ n ≤ 25)에서는 an=1이 되고, 그 외의 범위에서는 an=-1이 된다는 것을 파악하면, m까지의 합이 -20이 되도록 하는 m을 계산할 수 있습니다.
단답형 30번
— 여러 집합의 조건을 동시에 만족시키는 부분집합의 개수를 세는, 논리적 사고력을 요구하는 최종 킬러 문항입니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 세 가지 조건을 각각 따로 생각하는 것입니다. 이 조건들은 서로 긴밀하게 연결되어 있습니다. (나) 조건 'X∩B=∅'는 X의 모든 원소가 50과 서로소가 아니라는 뜻, 즉 2의 배수이거나 5의 배수라는 의미입니다. (다) 조건 'X의 모든 원소는 12와 서로소'는 X의 원소가 2의 배수도, 3의 배수도 아니라는 뜻입니다. 이 두 조건을 종합하면 'X의 모든 원소는 5의 배수이면서, 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아니다'라는 결론에 도달하는 것이 이 문제 해결의 핵심입니다. 이 조건을 만족하는 100 이하의 자연수들을 모두 찾은 뒤, 그 원소들로 만들 수 있는 공집합이 아닌 부분집합의 개수를 구하면 됩니다.