30번 M(a) 함수의 생소한 정의에서 시간을 많이 쓴 학생들이 많았을 겁니다. 이처럼 새로운 정의의 함수를 주고 규칙성을 추론하는 문제는 수능에서도 최상위권 변별을 위해 자주 활용되는 방식이죠. 전반적으로 수열의 극한과 함수의 연속 등 핵심 개념을 깊이 있게 이해했는지를 묻는 문항들이 많았으며, 특히 18번 프랙탈, 21번 극한으로 정의된 함수, 29번 함수 방정식 유형은 수능의 준킬러 문항의 기본 골격이 되므로 반드시 복습해야 합니다. 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 각 개념이 문제 속에서 어떻게 활용되는지 그 연결고리를 파악하는 훈련이 중요합니다.

문항 분석

16번
— 이 문제는 조건 p, q의 진리집합 P, Q의 포함 관계를 파라미터 a, b의 값에 따라 추론하는 능력을 평가합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 'a=0일 때'와 'a<0일 때'의 경우를 놓치는 것입니다. a의 부호에 따라 부등식의 해집합 P가 완전히 달라진다는 점을 인지하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다. 특히 'ㄷ' 선지에서 '~p'의 진리집합(P의 여집합)을 정확히 구하고, 이것이 Q에 포함되기 위한 b의 조건을 따지는 과정이 핵심입니다.
18번
— 원의 중심, 점 P, 그리고 원 위의 점들 사이의 기하학적 관계를 t에 대한 식으로 표현하고 극한값을 구하는 전형적인 도형 활용 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 도형 속에서 필요한 길이들을 t와 원의 방정식을 이용해 정확히 표현할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 PR의 길이를 구하는 과정에서 점 R의 좌표를 직접 구하려고 시도하다가 복잡한 계산에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 원의 중심을 C(0,2)라 할 때, PR = PC + r, PQ = PC - r (단, r은 원의 반지름) 이라는 간단한 기하학적 관계를 이용하는 것입니다. 이 관계를 파악하면 계산이 훨씬 수월해집니다.
19번
— 원의 반지름 r이 변함에 따라 원과 y=|x| 그래프의 교점 개수 f(r)가 어떻게 변하는지를 관찰하여 불연속점을 찾는 문제입니다. 이 유형의 핵심은 '교점의 개수가 바뀌는 순간'이 언제인지를 파악하는 것입니다. 학생들은 원이 직선 y=x에 접하는 순간만 생각하고 y=-x에 접하는 경우를 놓치거나, 원이 뾰족점인 원점(0,0)을 지나는 순간을 간과하는 실수를 저지릅니다. 문제 해결의 결정적 힌트는 '원의 중심 (1,2)에서 두 직선 y=x, y=-x까지의 거리'와 '중심 (1,2)에서 원점까지의 거리'를 각각 계산하여 이 값들이 반지름 r이 되는 순간들을 모두 찾아내는 것입니다. 이 순간들이 바로 불연속점의 후보가 됩니다.
21번
— 프랙탈 도형에서 색칠된 부분의 넓이의 총합을 등비급수를 이용하여 구하는 문제입니다. 이 문제의 성패는 '첫째항(S₁)'과 '공비(r)'를 얼마나 정확하고 효율적으로 구하는가에 달려있습니다. 많은 학생들이 공비를 찾을 때, 큰 원과 그 안의 작은 원의 '넓이비'를 구해야 하는데, 성급하게 '반지름의 길이비'를 공비로 착각하는 실수를 합니다. 닮음비(길이비)가 m:n 이면 넓이비는 m²:n² 이라는 기본 원리를 잊지 말아야 합니다. 또한, 첫째항을 구할 때 정육각형과 내접원의 기하학적 성질을 정확히 이용하여 6개 원의 넓이를 계산해야 합니다.
29번
— 주어진 집합의 원소 중 유리수의 개수를 f(n)으로 정의하고, f(n)의 값에 대한 조건을 만족하는 n을 찾는 문제입니다. 출제 의도는 로그의 값이 유리수가 될 조건을 이해하고 있는지 평가하는 것입니다. logₙk가 유리수가 되려면 n과 k가 모두 어떤 수 m의 거듭제곱 꼴 (n=m^a, k=m^b)이어야 한다는 사실이 문제 해결의 핵심입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 k=1일 때 logₙ1=0이므로 항상 유리수라는 점, 그리고 n 자체가 제곱수, 세제곱수 등이 될 때 유리수가 되는 k의 개수가 어떻게 변하는지를 체계적으로 세지 못하는 것입니다. n=2², 3², 2³, 4², 5², ... 등의 경우를 차례대로 대입하며 f(n)의 값을 직접 계산하고 규칙을 발견하는 것이 가장 확실한 접근법입니다.
30번
— 규칙적으로 도형을 이어 붙여 나갈 때, n번째 도형을 포함하는 가장 작은 원의 넓이 aₙ을 구하고 그 극한값을 계산하는 문제입니다. 이 문제는 도형의 구조를 분석하여 n번째 도형의 핵심적인 치수(가로, 세로 길이 등)를 n에 대한 식으로 표현하는 것이 관건입니다. 가장 작은 원은 n번째 도형의 모든 꼭짓점을 포함해야 하므로, 원의 지름은 도형의 가장 먼 두 점 사이의 거리가 됩니다. 학생들은 이 '가장 먼 두 점'이 어디인지를 파악하는 데서 어려움을 겪습니다. 힌트는 도형이 y축에 대해 대칭이라는 점을 이용하는 것입니다. 원점과 n번째 도형의 오른쪽 위 꼭짓점까지의 거리가 가장 작은 원의 반지름이 될 것이라는 점을 간파하면, 해당 꼭짓점의 좌표를 n에 대한 식으로 표현하여 aₙ을 구할 수 있습니다.
수학 27번
— 두 곡선 사이의 영역에 만들어지는 사다리꼴 넓이의 무한급수를 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 n번째 사다리꼴의 넓이 S_n을 n에 대한 식으로 정확히 표현하고, 그 합을 구하는 과정에서 '부분분수 분해'를 이용한 '망원급수'의 합임을 간파하는 것입니다. 많은 학생들이 S_n을 구하는 과정에서 좌표를 잘못 대입하여 식을 복잡하게 만들거나, S_n을 구한 후에 이 급수가 등비급수가 아니라는 점에서 당황하여 풀이를 멈추는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 S_n = 1/2 * (윗변+아랫변) * 높이 공식을 적용하여 식을 세웠을 때, 분모가 n에 대한 두 일차식의 곱 형태 (예: 1/((2n+1)(2n+3)) 꼴)로 나타난다는 점을 파악하는 것입니다. 이 형태를 보는 순간, 부분분수 분해를 떠올려야 합니다.
수학 29번
— 특정 구간에서 정의된 함수와, 그 외의 구간에서는 함수 방정식 f(3x)=3f(x)를 만족하는 함수의 값을 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 주어진 함수 방정식의 의미를 파악하여, 정의역의 값을 3으로 거듭하여 나누거나 곱함으로써 기본 구간 [1, 3] 안으로 옮겨와 함수값을 계산할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들은 f(2015)처럼 큰 숫자가 주어지면 당황해서 규칙을 찾으려 하지 않거나, f(3x)=3f(x)를 f(x)=f(x/3)/3 으로 변형하여 적용하는 것을 어려워합니다. 이 문제의 결정적 힌트는 2015라는 숫자를 3^k로 반복해서 나누어 (가) 조건의 범위인 [1, 3] 사이에 들어오도록 만드는 것입니다. 2015 / 3^k 가 [1, 3]에 속하는 k를 찾은 뒤, f(2015/3^k) 값을 먼저 구하고, 그 다음 f(2015) = 3^k * f(2015/3^k) 관계를 이용해 최종 답을 구하면 됩니다.
수학 30번
— 새롭게 정의된 함수 M(a)를 포함하는 수열의 합 a_n을 구하고, 그 극한값을 계산하는 문제입니다. 이 시험지에서 가장 난도가 높은 문항으로, M(a)가 'a의 약수 중 가장 큰 2의 거듭제곱'임을 이해하는 것이 첫 관문입니다. 대부분의 학생들은 a_n = Σ M(2k) 라는 복잡한 합을 직접 계산하려다 규칙을 찾지 못하고 포기합니다. 이 문제의 핵심은 a_n과 a_{n-1} 사이의 '점화식'을 발견하는 것입니다. a_n = Σ_{k=1}^{2^{n-1}} M(2k)를 k가 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 생각하는 것이 결정적 실마리입니다. k=2j-1(홀수)이면 M(2k)=M(2(2j-1))=2가 되고, k=2j(짝수)이면 M(2k)=M(4j)=2M(2j)가 되어, a_n을 a_{n-1}과 n에 대한 식으로 표현할 수 있게 됩니다. 이 점화식(a_n = 2a_{n-1} + 2^{n-1})을 풀어 일반항 a_n을 구하면 극한 계산은 쉽게 마무리됩니다.