2014년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 21번과 30번에서 학생들의 발목을 잡았을 가능성이 높습니다. 지수·로그 함수 단원에서 그래프의 기하학적 특징을 깊이 있게 파고드는 문항들이 대거 포진하여 변별력을 확보했고, 특히 28번처럼 지수방정식을 이차방정식의 '근의 분리' 문제로 전환하여 함정을 파는 유형은 내신과 수능 모두에서 사랑받는 단골 문제입니다. 이러한 그래프 해석 및 개념 통합형 문항들은 향후 수능 고득점을 위해 반드시 정복해야 할 산이므로, 이번 시험을 계기로 자신의 약점을 철저히 분석하고 넘어가야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 수학적 귀납법을 이용한 부등식 증명 문제의 전형적인 구조를 보여줍니다. 출제 의도는 n=m+1일 때 성립함을 보이는 과정에서, n=m일 때의 가정을 어떻게 적절히 활용하는지를 평가하는 데 있습니다. 많은 학생들이 (나)와 (다) 빈칸을 채울 때, 주어진 가정식과 목표식을 연결하지 못하고 무작정 전개하다가 길을 잃는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 n=m+1일 때의 좌변을 m일 때의 합과 (m+1)번째 항으로 분리한 뒤, 부등식의 성질을 이용해 가정했던 식과 연결하는 것입니다.
  

• 18번

  — 지수함수 그래프 위의 점을 활용해 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 미지수를 설정하고 주어진 조건을 식으로 표현하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 점 C의 좌표를 (t, 2^t)로 설정한 후, 이 점이 직선 y=-x+p 위에 있다는 사실(2^t = -t+p)을 어떻게 활용할지 몰라 헤매는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 삼각형 BDC의 넓이가 8이라는 조건을 이용해 p와 t 사이의 관계식을 하나 더 만드는 것입니다. 점 B(0, p)와 점 D(t, 0)의 좌표를 활용하면 밑변과 높이를 쉽게 표현할 수 있습니다.
  

• 20번

  — 프랙탈 도형에서의 무한등비급수 문제로, 첫째항(R1의 넓이)과 공비(도형의 닮음비)를 정확히 구하는 것이 관건입니다. 학생들은 첫째항은 잘 구하지만, 공비를 구할 때 닮음비를 잘못 설정하는 실수를 흔히 저지릅니다. 이 문제에서 공비는 정육각형 A1과 A2의 넓이비이며, 이는 곧 두 정육각형의 한 변의 길이의 비의 제곱과 같습니다. 힌트는 정육각형 A2의 꼭짓점이 R1에 그려진 원들의 중심이라는 점을 이용해 A2의 한 변의 길이를 구하는 것입니다. A1의 중심에서 한 변의 중점까지의 거리를 활용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 주어진 규칙에 따라 숫자판의 수가 변하는 과정을 추적하여 수열의 일반항을 구해야 하는, 창의적 사고를 요구하는 문항입니다. 핵심은 영역 A_m (m은 n을 4로 나눈 나머지)에 n이 더해진다는 규칙을 이해하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 an, bn, cn의 규칙을 각각 따로 찾으려고 시도하는 것입니다. 이 문제의 실마리는 4번의 주기로 규칙이 반복된다는 점에 착안하여, T_4k, T_4k+1, T_4k+2, T_4k+3 형태의 일반적인 숫자판을 식으로 표현하는 것입니다. 특히 bn의 경우, 모든 자연수 n에 대해 값이 더해지므로 등차수열의 합 공식을 떠올려야 합니다.
  

• 28번

  — 로그의 소수 부분(가수) 개념과 지수법칙, 그리고 정수론(배수 판정)이 결합된 고난도 문항입니다. 출제 의도는 log₂65 = 6 + α, log₅72 = 2 + β 와 같이 정수 부분과 소수 부분을 분리하고, 주어진 식 2^(p+α) * 5^(q+β) 를 지수법칙을 이용해 2^p * 2^α * 5^q * 5^β 로 변형할 수 있는지를 묻는 것입니다. 여기서 2^α = 65/64, 5^β = 72/25 임을 알아내는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 이 값을 대입하여 정리한 식이 100의 배수가 되도록 하는 자연수 p, q의 조건을 찾아 최솟값을 구해야 하는데, 소인수분해를 통해 2와 5의 지수를 비교하는 과정에서 실수가 발생하기 쉽습니다.
  

• 29번

  — 무한등비급수의 합 공식을 변형된 조건에 적용하는 능력을 평가하는 문제입니다. a₁ + m * Σ(n=2 to ∞) a_n = 0 이라는 조건식을 보고 당황하기 쉽지만, Σ(n=2 to ∞) a_n은 첫째항이 a₂이고 공비가 r인 무한등비급수의 합이라는 것을 파악하는 것이 핵심입니다. 이 부분은 a₂/(1-r) 로 표현할 수 있습니다. 이 식을 a₁과 공비 r에 대한 식으로 정리하고, m이 자연수라는 조건을 이용하여 r의 범위를 제한하면 m에 대한 식이 도출됩니다. 여기서 m의 최솟값을 구하기 위해 산술-기하 평균 부등식이나 이차함수의 최대최소를 활용하는 센스가 필요합니다.
  

• 30번

  — 로그의 지표(정수 부분)와 가수(소수 부분)의 정의를 정확히 이해하고, 주어진 함수 관계식을 해석하는 능력을 묻는 문제입니다. f(x)가 logx의 지표, g(x)가 가수라는 것을 파악하고, 주어진 식 f(10^n/x) = g(x)(n-1)에 대입하여 식을 변형해야 합니다. 핵심은 f(10^n/x) = f(10^n * x⁻¹) = n + f(x⁻¹) = n - (f(x)+1) (단, g(x)≠0) 로 변환하는 것입니다. 이 변환 과정을 통해 g(x)에 대한 방정식을 얻을 수 있고, n의 값에 따라 g(x)가 어떻게 변하는지 분석하여 x값들을 구하고 그 곱인 a_n을 찾아야 합니다. 가수의 범위(0 ≤ g(x) < 1)를 놓치면 오답으로 이어지기 쉬운 함정이 있습니다.