2013년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 시험은 29번 연립부등식 문제에서 자연수 n의 값에 따라 해의 범위가 어떻게 변하는지 꼼꼼히 따지지 못했다면 시간을 허비했을 겁니다. 전반적으로 수학I, 수학II의 핵심 개념들을 충실히 물어보면서도, 21번 행렬 합답형이나 30번 도형 문제처럼 단순 계산을 넘어선 깊이 있는 이해와 문제 해결 전략을 요구하는 문항들이 변별력을 갈랐습니다. 고2 학력평가는 수능의 축소판과 같아서, 지금부터라도 복잡한 조건의 문제를 해석하고 여러 개념을 융합하는 훈련을 꾸준히 해야만 실제 수능에서 고득점을 노릴 수 있습니다. 특히 28번과 같은 삼각함수 도형 극한 문제는 수능에서도 꾸준히 출제되는 유형이므로 반드시 원리를 파악하고 넘어가야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — x=0에서의 미분가능성을 판단하는 문제입니다. 핵심은 '연속성'과 '좌우 미분계수의 일치'라는 두 가지 조건을 모두 확인하는 것이죠. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 연속이라는 이유만으로 미분가능하다고 착각하거나, f(x)g(x)나 |f(x)-g(x)|처럼 변형된 함수의 미분계수를 정의에 따라 구하지 않고 각각을 미분해서 값을 대입하려는 것입니다. 이 문제 해결의 실마리는 각 보기를 h(x)로 설정하고, 미분계수의 정의인 lim [h(x)-h(0)]/(x-0)를 x→0+, x→0- 두 경우로 나누어 계산하고 비교하는 정석적인 풀이법에 있습니다. 특히 ㄱ처럼 xf(x) 형태는 f(x)가 x=0에서 불연속이거나 뾰족점(첨점)을 갖더라도 x라는 인수가 곱해지면서 미분가능하게 만들어주는 '뾰족점 완화' 원리를 이해하면 훨씬 빠르게 판단할 수 있습니다.
  

• 18번

  — 전형적인 수열의 귀납적 정의 증명 과정에서 빈칸을 채우는 문제입니다. 출제 의도는 문제의 전체적인 논리 흐름을 따라가며 각 단계에 필요한 수식을 유도할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 'Sn'과 'bn'의 관계를 혼동하거나, (*) 식에 n=1, 2, ..., n-1을 대입하여 변끼리 곱하는 '축차대입법'의 원리를 이해하지 못하는 것입니다. (가)를 찾기 위한 힌트는 주어진 점화식에 'Sn = Sn-1 + bn' 관계를 대입하여 bn+1과 bn 사이의 관계식을 직접 유도하는 것이고, (나)는 이렇게 유도된 (가)의 식을 변형하여 bn/b(n-1) 꼴로 만든 뒤, 항을 순차적으로 곱해 소거되는 규칙을 발견하는 것입니다.
  

• 20번

  — 두 이차정사각행렬 A, B의 성질을 묻는 합답형 문항으로, 행렬의 곱셈에 대한 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는다는 점을 명심해야 합니다. 가장 큰 함정은 주어진 두 식 'AB+B=A'와 'ABA - A² = E'를 어떻게 연립하여 유의미한 관계를 이끌어낼지 막막해하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 두 식을 각각 '(A-E)B = A'와 'A(BA-A) = E'로 인수분해하여 A의 역행렬이 존재함을 파악하는 것입니다. A의 역행렬이 'BA-A'임을 알게 되면, 이를 첫 번째 변형식과 연계하여 AB와 BA의 관계를 밝혀내고, 이를 통해 나머지 보기들의 참거짓을 논리적으로 증명해 나갈 수 있습니다.
  

• 21번

  — 주어진 두 행렬 등식을 조작하여 보기의 진위를 판별하는 전형적인 합답형 문제입니다. 출제 의도는 행렬의 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않는다는 점과 역행렬의 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 AB=BA를 임의로 가정하고 식을 전개하거나, (A+B)² = A²+2AB+B² 처럼 무심코 전개하는 실수를 저지릅니다. 이 문제의 결정적 실마리는 첫 번째 식 AB+B=A를 A(B+E) - (B+E) = -E, 즉 (A-E)(B+E) = -E 로 변형하는 것입니다. 이 식을 통해 A-E와 B+E가 서로 역행렬 관계임을 파악하고, 이를 두 번째 식과 연립하여 AB와 BA의 관계를 유도해내는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
  

• 28번

  — 삼각함수를 이용하여 도형의 넓이를 표현하고 그 극한값을 구하는 문제입니다. 이런 유형의 핵심은 문제에 주어진 각 θ를 이용하여 넓이 S(θ)를 구하는 데 필요한 모든 변의 길이와 각을 θ에 대한 식으로 나타내는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 점 Q의 위치를 특정하고, 삼각형 AOQ의 넓이를 구하기 위한 요소(두 변과 끼인각)를 찾아내는 과정입니다. 직선 AQ가 OP에 수직이라는 조건과 원의 반지름, 원주각 등의 기하학적 성질을 종합적으로 활용해야 합니다. 문제 해결의 첫 단추는 삼각형 AOP에서 사인법칙을 이용해 ∠APO를 θ로 표현하고, 이를 통해 ∠AOP를 구하는 것입니다. 그 다음, AQ⊥OP 조건을 이용해 삼각형 AOQ의 각들을 θ로 표현하고, 최종적으로 S(θ) = (1/2)ab sinC 공식을 적용하여 식을 완성한 후 극한을 계산해야 합니다.
  

• 29번

  — 두 개의 부등식을 동시에 만족시키는 자연수 x의 개수가 10개가 되도록 하는 자연수 n의 값을 찾는 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 변수 n의 값에 따라 부등식의 해의 범위가 어떻게 변하는지를 체계적으로 분석할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 3차 부등식의 해를 구할 때 n, 2n, 3n의 위치를 고정된 것으로 생각하거나, 두 번째 분수부등식의 해인 0 < x ≤ 20 과의 공통 범위를 구할 때 경우를 나누지 않고 하나의 상황만 고려하여 푸는 것입니다. 이 문제를 정확히 풀기 위한 실마리는 수직선을 그려놓고, n=1, 2, 3... 값을 대입해보며 해의 구간이 어떻게 변하는지 규칙을 파악하는 것입니다. 특히 2n과 3n이 20을 기준으로 어디에 위치하는지에 따라 경우를 나누어(예: 3n ≤ 20, 2n ≤ 20 < 3n 등) 각 경우에 해당하는 자연수 x의 개수를 n에 대한 식으로 표현하고, 그 값이 10이 되는 n을 찾는 것이 정석적인 접근법입니다.
  

• 30번

  — 좌표평면 위의 원과 원점을 이용해 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값을 구하고, 그 극한값을 계산하는 문제입니다. 핵심 출제 의도는 기하학적 상황을 해석하여 넓이가 최대가 되는 조건을 파악하고, 이를 좌표와 식을 통해 구체화할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 점 P의 좌표를 (x, y)로 두고 원의 방정식에 대입하여 y를 n에 대한 식으로 표현하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지곤 합니다. 이 문제의 결정적 힌트는 삼각형 OAP의 밑변을 OA로 고정하고 생각하는 것입니다. 그러면 넓이가 최대가 되는 순간은 높이가 최대일 때, 즉 점 P가 밑변 OA(x축)로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때입니다. 이는 원의 중심에서 x축까지의 거리에 반지름의 길이를 더한 값이 바로 최대 높이가 된다는 기하학적 원리를 이용하면 S(n)을 n에 대한 식으로 쉽게 표현할 수 있습니다.