2014년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 2014년 11월 고2 학력평가는 30번 문항에서 좌표의 회전 변환을 떠올렸다면 손쉽게 풀었겠지만, 대부분의 학생들은 복잡한 연립방정식의 늪에 빠져 시간을 허비했을 것입니다. 전반적으로 지수/로그 함수, 행렬, 수열 등 수학I(A형)의 핵심 단원에서 깊이 있는 이해를 요구하는 문항들이 다수 출제되었습니다. 특히 14번, 27번처럼 로그의 성질과 수열, 정수의 성질을 결합한 융합형 문항은 계산 과정에서의 꼼꼼함을 요구하며, 이러한 유형은 현재 수능에서도 변별력을 가르는 중요한 요소로 작용하므로 반드시 복습해 두어야 합니다.

문항 분석

• 14번

  — 이 문제는 직선 x=n과 두 로그함수가 만나는 점 사이의 정수 개수를 세는 문제입니다. 핵심 출제 의도는 로그 값의 정수 부분을 기준으로 구간을 나누어 시그마 계산을 할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 정수 m의 개수를 단순히 '2log₂(n)'으로 착각하는 실수를 범합니다. 결정적 실마리는 정수 m의 개수 cₙ이 '2 × ⌊log₂(n)⌋ + 1' (단, ⌊x⌋는 x보다 크지 않은 최대 정수)임을 파악하고, ⌊log₂(n)⌋의 값이 같아지는 n의 범위를 (n=2~3, n=4~7 등) 나누어 계산하는 것입니다.
  

• 17번

  — 두 가지 행렬 조건을 만족하는 미지 행렬 A의 성분의 합을 구하는 문제입니다. 이 문제를 행렬 A의 성분을 (a, b; c, d)로 놓고 직접 연립방정식을 풀려고 시도하면 계산이 매우 복잡해져 함정에 빠지기 쉽습니다. 출제 의도는 행렬을 하나의 연산자로 보고 벡터를 이용해 선형 변환의 관점에서 접근하거나, 주어진 식의 구조적 특징을 파악하는 능력을 묻는 것입니다. (가) 조건 'A(3;1)=(3;1)'은 벡터 (3,1)이 행렬 A의 고유값 1에 대한 고유벡터임을 의미하며, 이 성질을 (나) 식에 어떻게 활용할지 고민하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 18번

  — 이 문항의 핵심은 x의 값의 범위에 따라 함수 g(x)가 어떻게 정의되는지를 파악하는 것입니다. |x|<1, |x|>1, x=1, x=-1 네 가지 경우로 나누어 g(x)를 구하면 구간별로 다른 함수가 나오는 '조각 함수'가 됩니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 x=-1인 경우를 빠뜨리거나, 각 구간에서 극한값을 잘못 계산하여 g(x)의 그래프를 부정확하게 그리는 것입니다. 결정적 실마리는 g(x)의 그래프를 정확히 그린 후, 기울기가 m이고 y절편이 1인 직선 y=mx+1을 그려보며 직선의 기울기 m이 변함에 따라 교점의 개수 h(m)이 어떻게 변하는지 관찰하는 것입니다. 특히 직선이 g(x) 그래프의 불연속점을 지날 때를 기준으로 생각해야 합니다.
  

• 19번

  — 단위원 위의 점 P, Q의 좌표를 삼각함수로 표현하고, 대칭이동의 원리를 이용해 두 삼각형의 넓이를 구하는 것이 출제 의도입니다. 넓이의 합을 구했을 때 a sinθ + b cosθ 형태의 식이 나오는데, 이를 삼각함수의 합성으로 단일 함수로 바꾸어 최댓값을 구해야 합니다. 많은 학생들이 점 Q의 좌표를 설정할 때 ∠POQ = π/6 조건을 어떻게 활용할지 막막해하거나, 넓이의 합을 구한 뒤 복잡한 식을 미분하려다 시간을 낭비하는 실수를 합니다. 힌트는 점 P의 동경을 θ로 설정하면 점 Q의 동경은 θ+π/6이 된다는 점입니다. 이를 이용해 각 점의 좌표를 (cosθ, sinθ) 형태로 표현하면 넓이 계산이 훨씬 수월해집니다.
  

• 20번

  — 두 행렬 A, B에 대한 두 등식이 주어졌을 때, 여러 명제의 참거짓을 판별하는 문제입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 각각 독립적인 조건으로 보고 증명하려 애쓰는 것입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 두 식 'A+2B=E'와 'AB+BA=2E'를 연립하여 A와 B 사이의 근본적인 관계를 먼저 밝혀내는 데 있습니다. 'A=E-2B'를 두 번째 식에 대입하면 'AB=BA'임이 증명되고, 더 나아가 A와 B가 서로 역행렬 관계('AB=E')임을 유도할 수 있습니다. 이 관계를 밝혀내면 나머지 ㄴ, ㄷ 명제는 케일리-해밀턴 정리 등을 이용하여 수월하게 증명할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 전형적인 무한등비급수 도형 활용 문제로, 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구하는 능력을 평가합니다. 첫째항은 활꼴의 넓이를 이용하여 구할 수 있지만, 진짜 승부처는 공비를 구하는 과정입니다. 학생들은 보통 두 번째 원 C₂의 반지름을 구하는 데서 어려움을 겪는데, 복잡한 도형 속에서 닮음 관계를 찾아내지 못하기 때문입니다. 결정적인 힌트는 원 C₂가 원 C₁과 두 개의 호에 동시에 접한다는 조건입니다. 원의 중심 O와 C₂의 중심, 그리고 접점을 잇는 보조선을 그으면 직각삼각형이 만들어지며, 이 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용하면 C₂의 반지름을 구할 수 있습니다. 공비는 첫 번째 원과 두 번째 원의 반지름의 길이의 비의 제곱이라는 것을 잊지 마세요.
  

• 단답형 27번

  — 로그의 소수 부분(과거 교육과정의 '가수')에 대한 이해를 묻는 고난도 문항입니다. 'log N'과 'log(1/N)'의 가수가 같다는 조건을 어떻게 해석하느냐가 관건입니다. 많은 학생들이 '두 로그의 차가 정수'라는 성질을 기계적으로 적용하여 '2log N = 정수'로만 풀려고 하는데, 이는 가수가 0이 아닌 경우에만 해당합니다. 가수가 0인 경우, 즉 log N 자체가 정수인 경우를 놓치는 함정에 빠지기 쉽습니다. 따라서 '가수 α가 α = 1-α 또는 α = 0'이라는 조건을 통해 log N의 소수 부분이 0 또는 1/2이 되어야 함을 추론하는 것이 결정적 해결의 열쇠입니다.
  

• 단답형 30번

  — 로그함수 위의 점과 주어진 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 다른 꼭짓점 좌표를 구하는 융합 문제입니다. 이 문제를 풀 때, 두 변의 길이가 같고 두 변의 기울기의 곱이 -1이라는 조건을 이용해 연립방정식을 세우면 로그와 이차식이 섞인 매우 복잡한 계산에 직면하게 됩니다. 출제 의도는 복잡한 대수적 풀이보다 기하학적 아이디어를 활용하는 능력을 평가하는 것입니다. 점 P를 점 A를 중심으로 -90도 회전시키면 점 Q가 된다는 사실을 이용한 '좌표의 회전 변환'이 이 문제의 가장 결정적인 실마리입니다. 이 아이디어를 떠올리면 복잡한 계산 없이 p와 q의 값을 즉시 구할 수 있습니다.
  

• 미적분 28번

  — 직각삼각형의 변의 길이와 각 사이의 관계를 탄젠트 함수로 표현하고, 이를 주어진 조건식에 대입하여 해결하는 삼각함수 응용 문제입니다. 이 문제의 핵심은 선분 BC 위의 등분점 P₁, P₂, ..., P₅의 위치를 어떻게 활용하여 tanα와 tanβ를 표현하느냐에 있습니다. 많은 학생들이 α = ∠P₂AP₁ 이라는 것을 보고 tan(∠P₂AB - ∠P₁AB)처럼 덧셈정리를 바로 적용하려 하지만, 변의 길이를 설정하지 않으면 식이 복잡해집니다. 가장 효과적인 실마리는 점 A를 원점으로, 선분 AB를 x축 위에 놓는 좌표평면을 설정하는 것입니다. 그러면 각 점 Pk의 좌표를 쉽게 구할 수 있고, 직선의 기울기가 곧 탄젠트 값이라는 사실을 이용하여 tan(∠PₖAB)를 간단히 표현할 수 있습니다.
  

• 수학I 29번

  — 상용로그의 지표(정수 부분)와 가수(소수 부분)의 정의와 성질에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 문제입니다. 현재 교육과정에서는 중요도가 낮아졌지만, 당시에는 최상위권을 변별하는 단골 주제였습니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 (나) 조건 g(a) = 4g(1/a)를 해석할 때, g(1/a) = 1 - g(a) 라는 공식을 무비판적으로 사용하는 것입니다. 이 공식은 g(a)가 0이 아닐 때만 성립합니다. 문제 해결의 첫 단추는 log a = f(a) + g(a) (f(a)는 정수, 0 ≤ g(a) < 1)로 정의하고, (가), (나), (다)의 세 조건을 연립하여 f(a), g(a), f(b), g(b)에 대한 정보를 최대한 이끌어내는 것입니다. 특히 (가) 조건에서 log a - log b = 1 이라는 관계식을 얻는 것이 중요합니다.
  

• 미적분 30번

  — 도형에 내접하는 원의 반지름을 삼각함수로 표현한 뒤 극한값을 구하는, 소위 '삼각함수 도형 극한'의 킬러 문항입니다. 이 문제를 풀기 위해서는 먼저 삼각형 ABP에서 사인법칙을 이용해 선분 BP의 길이를 θ에 대한 식으로 나타내야 합니다. 가장 어려운 부분은 부채꼴 BPQ에 내접하는 원의 반지름 r(θ)를 구하는 과정입니다. 학생들은 어떤 보조선을 그어야 할지, 어떤 기하학적 성질을 이용해야 할지 몰라 헤매는 경우가 많습니다. 결정적인 힌트는 내접원의 중심에서 선분 BP에 수선의 발을 내리고, 그 점과 부채꼴의 중심 B, 내접원의 중심을 연결하여 직각삼각형을 만드는 것입니다. 이 직각삼각형에서 삼각비를 이용하면 BP의 길이와 r(θ) 사이의 관계식을 세울 수 있습니다.