2013년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 30번 문항에서 로그함수 그래프의 평균변화율을 해석하는 능력을 물어봐 많은 상위권 학생들조차 당황했을 시험입니다. 전반적으로 수열 파트에서 규칙을 추론하는 문항(21번)과 무한등비급수 도형 문제(29번) 등 수능 단골 유형들이 비중 있게 출제되었어요. 특히 12번처럼 주기함수 그래프와 n의 변화에 따른 도형의 관계를 추적하는 문제는 최근 수능에서 자주 보이는 경향이므로, 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어 그래프를 직접 그려보고 변화를 관찰하는 연습을 반드시 해야 합니다. 이 시험지는 수능의 초석을 다지는 데 아주 좋은 학습 자료가 될 것입니다.

문항 분석

• 12번

  — 이 문항의 출제 의도는 주기함수의 그래프를 이해하고, 변수 n의 값에 따라 변화하는 삼각형의 둘레와 그래프의 교점 개수를 추론하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 주기함수 f(x)의 그래프를 그리는 데는 성공하지만, 삼각형의 둘레를 n에 대한 식으로 표현하지 못하고 a₂, a₃ 등을 일일이 구하다가 규칙을 찾으려 하는 실수를 범합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 이용해 둘레의 길이를 n에 대한 식으로 나타내는 것입니다. 특히 두 빗변의 길이는 피타고라스 정리를 통해 √((2n)² + 2²) = 2√(n²+1) 로 간단히 표현되므로, 결국 y=2√(n²+1) + 4n 이라는 수평선과 y=f(x)의 교점을 찾는 문제로 귀결됩니다.
  

• 14번

  — 실생활 속에서 등비수열의 합 공식을 적용할 수 있는지를 묻는 문제입니다. '매주 10%씩 늘린다'는 표현에서 공비가 1.1임을 파악하는 것이 첫 단계입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은, 등비수열의 합 공식을 이용해 'S_n ≥ 200' 이라는 부등식을 세운 후, (1.1)^n 에 대해 정리하는 과정에서 계산 실수하거나, 마지막에 상용로그를 취해 n의 범위를 구하는 것을 떠올리지 못하는 것입니다. 이 문제의 힌트는 문제 마지막에 주어진 log2와 log1.1의 값입니다. 이 값들은 반드시 사용해야 하는 조건이므로, (1.1)^n > k 형태의 부등식을 만든 뒤 양변에 상용로그를 취해 n을 구해야 한다는 강력한 신호입니다.
  

• 15번

  — 로그의 정수부분, 즉 '지표'의 정의를 정확히 알고 있는지 묻는 문제입니다. N(x)N(y)=2 라는 조건은 생소해 보이지만, N(x)와 N(y)가 정수라는 사실을 떠올리면 가능한 조합이 (1, 2) 또는 (2, 1) 밖에 없다는 것을 알 수 있죠. 많은 학생들이 N(x)=n 이라는 조건을 n ≤ log₂x < n+1 이라는 범위로 바꾸는 과정에서 실수를 합니다. 이 변환만 정확히 해내면, 문제는 결국 좌표평면 위에 두 개의 직사각형 영역을 그리고 그 넓이를 더하는 간단한 계산 문제로 바뀝니다. 문제의 첫 단추는 '로그의 정수부분'이라는 용어를 '부등식'으로 번역하는 능력입니다.
  

• 21번

  — 도형이 확장되는 규칙을 파악하여 특정 위치의 수를 추론하는, 전형적인 군수열 형태의 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 패턴 속에서 핵심적인 규칙(일반항)을 찾아내는 능력입니다. 대부분의 학생들은 A₁, A₂, A₃를 보며 숫자가 어떻게 추가되는지는 관찰하지만, 어두운 부분의 수 a_n이 어떤 수열을 이루는지 일반화하는 데 실패합니다. 결정적 실마리는 각 도형 A_n을 이루는 총 정삼각형의 개수를 먼저 구하는 것입니다. A_n은 한 변의 길이가 n인 정육각형 모양이므로, 총 삼각형의 개수는 6n²임을 알 수 있습니다. 따라서 a_{n+1}은 A_n의 가장 큰 수인 6n²에 1을 더한 값, 즉 a_{n+1} = 6n² + 1 이라는 점화식을 발견하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 26번

  — 로그함수와 직선의 교점을 활용한 넓이 계산 문제로, 좌표 설정이 반을 차지합니다. 출제 의도는 미지수를 포함한 함수와 도형의 넓이 정보가 주어졌을 때, 교점의 좌표를 미지수로 설정하고 관계식을 세워 문제를 해결하는 능력을 보는 것입니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 점 C의 좌표를 (t, log₂t)로 둔 후, 이 점이 직선 y=x-p 위에 있다는 조건(log₂t = t-p)과 삼각형 넓이 공식을 어떻게 연립해야 할지 막막해하는 것입니다. 결정적 힌트는 넓이 공식 (1/2)×(밑변)×(높이) = 9/2 에서, 밑변(t-p)과 높이(log₂t) 사이에 이미 log₂t = t-p 라는 관계가 성립한다는 점을 대입하는 것입니다. 이 한 단계를 거치면 모든 미지수가 풀리게 됩니다.
  

• 28번

  — 두 지수함수 그래프의 교점을 찾는 문제인데, 직접 방정식을 풀려고 하면 매우 복잡합니다. 출제 의도는 두 함수의 관계, 즉 '대칭성'을 간파하여 교점의 좌표를 효율적으로 찾을 수 있는지를 평가하는 것입니다. g(x)=10-2^(4-x) 라는 함수는 f(x)=2^x와 어떤 관계가 있을까요? 두 함수의 그래프는 점 (2, 5)에 대해 점대칭 관계에 있습니다. 이 사실을 파악하면 두 교점 A, B 역시 (2, 5)에 대해 대칭이라는 결론을 얻을 수 있고, 교점의 x좌표의 합이 4라는 것을 바로 알 수 있습니다. 이 대칭성을 이용하면 복잡한 지수방정식을 풀지 않고도 교점의 정보를 얻어내어 사다리꼴의 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 로그함수, 지수함수, 원, 그리고 정삼각형까지 여러 개념이 총망라된 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 역함수 관계에 있는 두 함수의 그래프적 특징(y=x 대칭)을 원의 대칭성과 연결하고, 정삼각형의 기하학적 성질을 이용해 좌표를 구할 수 있는지를 종합적으로 평가하는 것입니다. 학생들은 여러 조건이 쏟아져 나와 어디서부터 시작해야 할지 혼란스러워합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 y=log_a(x)와 y=a^x가 y=x 대칭이고, 원 x²+y²=8 역시 y=x 대칭이므로, 두 교점 A, B가 서로 y=x에 대해 대칭인 점이라는 사실을 깨닫는 것입니다. 즉, A(p, q)이면 B(q, p)입니다. 여기에 원에 내접하는 정삼각형의 중심이 원의 중심과 일치한다는 성질을 이용하면, 삼각형 OAB가 꼭지각이 120도인 이등변삼각형임을 알 수 있고, 이를 통해 p, q에 대한 관계식을 유도할 수 있습니다.
  

• 단답형 26번

  — 로그함수의 그래프와 직선, 그리고 도형의 넓이 사이의 관계를 종합적으로 이해하고 있는지를 평가하는 문항입니다. 학생들은 점 C의 좌표를 (α, log₂α)로 두고, 이 점이 직선 y=x-p 위에 있다는 사실에서 log₂α = α - p 라는 식을 세웁니다. 하지만 이 초월방정식을 직접 풀 수 없다는 사실에 당황하여 다음 단계로 나아가지 못하는 것이 가장 흔한 오답 패턴입니다. 이 문제의 핵심은 방정식을 푸는 것이 아니라, '넓이가 9/2'라는 기하학적 정보를 이용해 점 C의 좌표를 확정하는 것입니다. 점 B(p,0), D(α,0) 이므로 밑변 BD의 길이는 α-p이고 높이 CD는 log₂α 입니다. 즉, (1/2)(α-p)(log₂α) = 9/2 라는 식과 위의 관계식을 연립하면 (log₂α)² = 9, 즉 log₂α = 3 이라는 결론을 얻을 수 있습니다.
  

• 단답형 29번

  — 프랙탈 도형에서 반복되는 넓이의 합을 무한등비급수를 이용하여 구하는 문제입니다. 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 찾는 것이 관건이죠. 학생들은 첫째항인 직사각형 3개의 넓이는 비교적 쉽게 구하지만, 두 번째 도형 R₂가 그려지는 원 O₂와 처음 원 O의 반지름의 비, 즉 닮음비를 찾는 과정에서 막힙니다. 이 문제 해결의 결정적 실마리는 기하학적 보조선을 긋는 것입니다. 원 O의 중심에서 내접하는 정삼각형의 꼭짓점까지 선을 그으면, 큰 원의 반지름(√3)과 정삼각형의 한 변의 길이 사이의 관계를 파악할 수 있습니다. 이를 통해 정삼각형에 내접하는 원 O₁의 반지름을 구하면, 큰 원과 작은 원의 반지름의 비(닮음비)를 찾을 수 있고, 넓이의 비인 공비는 닮음비의 제곱임을 이용하면 됩니다.
  

• 단답형 30번

  — 2보다 큰 자연수 n, m에 대한 로그 부등식을 만족하는 최소의 m을 찾는, 고난도 추론 문제입니다. 출제 의도는 (나) 조건의 식을 '두 점 사이의 기울기'로 해석하고, 로그함수 그래프의 개형과 성질을 깊이 있게 이해하는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 (나)의 식 log_{m+1}(m) > log_{m+1}(m+1) - 1/3 과 같이 대수적으로 변형하여 풀려고 시도하는 것입니다. 이 접근은 매우 복잡하며 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 핵심은 (나) 조건을 (log(m+1) - log m) / ((m+1) - m) < 1/3 로 변형하여, 함수 y=log x 위의 두 점 (m, log m), (m+1, log(m+1))을 잇는 직선의 기울기가 1/3보다 작다고 해석하는 것입니다. 로그함수는 위로 볼록한 함수이므로, m값이 커질수록 기울기는 감소합니다. 따라서 각 n에 대해 주어진 부등식을 만족시키는 최소의 자연수 m을 찾아내는 것이 f(n)을 구하는 과정입니다.