2013년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 부등식의 영역 문제에서 원과 사각형의 합집합 영역을 제대로 그리지 못했다면 상위권 진입은 어려웠을 겁니다. 이번 시험은 지수·로그 함수와 행렬의 정의 및 성질을 깊이 있게 물어보는 문항들이 많았고, 특히 21번, 28번처럼 행렬의 역행렬 존재 조건(ad-bc=0)을 기하학적 의미와 연결하는 통합형 사고력을 요구하는 문제들이 눈에 띄었습니다. 비록 행렬이 현재 수능 직접 출제 범위는 아니지만, 여기에 사용된 논리 전개 방식과 개념 통합 능력은 수능 고난도 문항을 푸는 데 있어 훌륭한 자양분이 되니 반드시 복습해두길 바랍니다.

문항 분석

• 18번

  — 이 문제는 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 기울기를 수열로 정의하고 그 합을 구하는, 여러 개념이 융합된 문항입니다. 많은 학생들이 접점을 구하려고 시도하다가 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 핵심은 접점을 구하는 것이 아니라, '원의 중심에서 접선까지의 거리가 반지름과 같다'는 성질을 이용하는 것입니다. 점 (2n, 0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세운 뒤, 원의 중심 (-1, 0)과의 거리 공식을 사용하면 m에 대한 이차방정식이 아닌 m²에 대한 깔끔한 식을 얻을 수 있고, 이것이 바로 수열 a_n이 됩니다. 그 후 시그마 계산은 부분분수 분해를 이용한 망원급수 형태가 된다는 것을 예측해야 합니다.
  

• 20번

  — 원의 중심이 지수함수 그래프 위에 있고, x축과 y축에 동시에 접한다는 조건의 의미를 파악하는 것이 관건입니다. x, y축에 동시에 접하는 원의 중심은 y=x 또는 y=-x 위에 있다는 사실을 떠올려야 합니다. 결국 이 문제는 지수함수 y=2^x+n의 그래프와 두 직선 y=x, y=-x 와의 교점의 개수를 n의 값에 따라 조사하는 문제로 귀결됩니다. 학생들이 흔히 1사분면의 경우만 생각하고 답을 내는 실수를 하는데, 문제에서 원의 위치에 대한 제약이 없으므로 4개의 사분면을 모두 고려하여 교점의 개수를 세어야 정답을 찾을 수 있습니다.
  

• 21번

  — 실생활 활용 문제의 탈을 쓴 등차수열 응용 문제입니다. 문제의 핵심은 '시간'과 '반지름' 사이의 관계를 정확히 식으로 표현하는 데 있습니다. 물통의 높이가 모두 같으므로, 물을 채우는 데 걸리는 시간(T)은 밑면의 넓이, 즉 반지름(r)의 제곱에 비례합니다 (T ∝ r²). 네 물통의 반지름이 등차수열을 이룬다고 했으므로, 반지름을 a, a+d, a+2d, a+3d로 설정할 수 있습니다. 주어진 조건 (가), (나)는 시간의 차이에 대한 것이므로, (a+d)² - a² = k*8, (a+2d)² - (a+d)² = k*16 과 같은 관계식을 세워 a와 d의 관계를 찾아내야 합니다. 여기서 비례상수 k는 약분되어 사라지므로, 반지름의 제곱의 차이가 등차수열을 이룬다는 사실을 간파하는 것이 결정적 실마리입니다.
  

• 28번

  — 두 집합 A(원)와 B(특정 영역의 정사각형)의 합집합 위에서 지수 형태 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는, 좌표계에 대한 깊은 이해를 요구하는 문제입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 최댓값/최솟값이 항상 영역의 꼭짓점에서 나온다고 단정하는 것입니다. 첫 번째 함수 3^(x+2y)의 최댓값은 밑이 1보다 크므로 지수 x+2y가 최대일 때 발생합니다. k = x+2y로 두고 직선 y = -x/2 + k/2가 주어진 영역과 만나면서 y절편(k/2)이 가장 커지는 순간, 즉 원에 접하는 순간을 찾아야 합니다. 반면 두 번째 함수 (1/2)^(3x+4y)의 최댓값은 밑이 0과 1 사이이므로 지수 3x+4y가 '최소'일 때 발생한다는 점이 이 문제의 핵심 함정입니다. 지수의 최솟값은 영역의 꼭짓점 중 하나에서 발생할 가능성이 높으므로, 각 꼭짓점의 좌표를 대입하여 확인해야 합니다.
  

• 29번

  — 수열 a_n의 항들의 '비'로 새로운 수열 b_n을 정의하고, 그 b_n이 등차수열을 이룬다는 조건이 주어진 문제입니다. 복잡한 정의 때문에 문제의 구조를 파악하는 데서부터 어려움을 겪을 수 있습니다. 이 문제의 첫 단추는 b_n의 정의(b_n = a_{n+1}/a_n)와 b_n이 등차수열이라는 조건을 식으로 풀어쓰는 것입니다. b_1, b_2, b_3가 등차수열이므로 2*b_2 = b_1 + b_3 이고, 이를 a_n으로 표현하면 2*(a_3/a_2) = (a_2/a_1) + (a_4/a_3) 입니다. 하지만 이 식은 너무 복잡합니다. 대신 b_1, b_2, b_3를 각각 b_1, b_1+d, b_1+2d (d는 공차)로 놓고 a_4 = a_1 * (a_2/a_1) * (a_3/a_2) * (a_4/a_3) = a_1 * b_1 * b_2 * b_3 임을 이용하는 것이 훨씬 효율적입니다. a_4=144와 모든 항이 자연수라는 조건을 이용해 가능한 자연수 b_1과 d의 조합을 찾는 부정방정식 풀이로 접근해야 합니다.
  

• 30번

  — 격자점에 나선형으로 수를 배열하는 전형적인 수열의 규칙성 추론 문제입니다. 이런 유형의 문제는 단 하나의 일반항으로 해결하려 하면 실패하기 쉽습니다. 핵심은 전체적인 구조를 파악하는 것으로, 보통 제곱수들이 규칙적인 위치에 나타나는 것을 실마리로 삼아야 합니다. 이 문제에서는 1, 9, 25, 49, ... 와 같은 홀수의 제곱수들이 (0,0), (-2,-2), (-4,-4), (-6,-6), ... 등 제3사분면의 y=-x 라인 위에 놓이는 것을 발견하는 것이 첫걸음입니다. 174와 가장 가까운 제곱수인 13²=169가 점 (-6, -6)에 위치한다는 것을 파악한 후, 169부터 174까지 수가 어떻게 진행되는지 경로를 직접 따라가며 좌표를 찾는 것이 가장 확실하고 빠른 방법입니다. 169에서 오른쪽으로 이동하며 170, 171, ... 을 세어 나가면 최종 좌표를 구할 수 있습니다.