2012년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의평가는 29번 수열 문제처럼 낯선 규칙을 주고 특정 항을 추론하게 만드는 문항에서 많은 학생들이 시간을 소요했을 것으로 보입니다. 전반적으로 행렬, 지수로그, 수열이라는 세 개의 대단원에서 고르게 출제되었으며, 특히 12번과 18번처럼 합성함수의 그래프 개형을 정확히 그려내야만 해결할 수 있는 문항들의 비중이 높았습니다. 이러한 새로운 정의를 해석하는 능력과 함수의 그래프를 다루는 능력은 결국 수능 고득점을 결정짓는 핵심 역량이므로, 이번 시험을 통해 자신의 약점을 명확히 파악하고 보완하는 계기로 삼아야 합니다. 단순 계산보다는 개념의 깊이 있는 이해를 요구하는 문항들로 구성되어, 상위권 변별력을 확보하려는 평가원의 의도가 엿보이는 시험이었습니다.

문항 분석

• 12번

  — 이 문제는 합성함수 y=(g∘f)(x)의 그래프 개형을 추론하는 능력을 평가합니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 y=3^(x-1)의 그래프, 즉 평행이동으로 착각하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 속함수 f(x)=x-1의 치역이 겉함수 g(x)=3^x의 정의역으로 어떻게 대응되는지를 단계적으로 분석하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 f(x)의 값이 0이 되는 지점, 즉 x=1을 기준으로 f(x)의 값의 변화를 관찰하고, 그에 따라 g(f(x))의 함숫값이 어떻게 변하는지 추적하는 데 있습니다. 점 (1, 1)을 지나는 지수함수 형태라는 것을 파악하는 것이 첫 단추입니다.
  

• 13번

  — 상용로그의 정수 부분(지표)과 소수 부분(가수)의 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 출제 의도는 조건 (다) '10^(f(x)+g(x)) = x'를 보고 'log x = f(x) + g(x)'라는 관계를 즉시 떠올릴 수 있는지를 확인하는 것입니다. 많은 학생들이 f(x)가 log x의 정수 부분, g(x)가 소수 부분임을 간파하지 못하고 헤매는 경우가 많습니다. 결정적 힌트는 f(n)이 log n의 정수 부분이므로, 자연수 n의 자릿수와 직결된다는 사실입니다. 먼저 a = f(1) + f(11) + f(111)의 값을 자릿수를 이용해 구한 뒤, g(a)가 결국 log a의 소수 부분임을 적용하면 문제가 해결됩니다.
  

• 15번

  — 이 문제는 행렬의 집합 S가 특정 조건을 만족할 때, 그 집합의 성질(닫힘)과 원소의 형태를 추론하는 능력을 평가합니다. 핵심은 'AP=PA'라는 교환법칙 조건을 일반적인 이차정사각행렬 A에 적용하여 행렬의 각 성분(a,b,c,d)이 만족해야 할 관계식을 직접 유도하는 것입니다. 많은 학생들이 ㄱ(닫힘 성질)을 확인할 때 단순히 두 행렬을 곱해보지만, 곱한 결과 역시 S의 원소 조건(AP=PA)을 만족하는지 끝까지 확인해야 합니다. 또한, ㄷ에서 AB=BA가 항상 성립할 것이라고 착각하는 것이 가장 흔한 오답 패턴인데, S에 속하는 모든 행렬이 서로 교환법칙을 만족하는지는 별도로 증명해야 할 문제입니다.
  

• 16번

  — 두 로그함수 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 묻는 문제로, 핵심 출제 의도는 정적분을 사용하지 않고 그래프의 평행이동 관계를 이용해 넓이를 구할 수 있는지를 평가하는 것입니다. y=log₅(x/5)가 y=log₅(x) - 1 이므로, 아래쪽 곡선은 위쪽 곡선을 y축 방향으로 -1만큼 평행이동한 것임을 파악하는 것이 결정적 실마리입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 곡선으로 둘러싸인 넓이 S를 직접 구하려 하는 것입니다. 대신, S 부분의 일부를 잘라 T 부분의 빈 공간에 채워 넣으면 전체 넓이 S+T가 간단한 사다리꼴의 넓이로 변환된다는 것을 간파해야 합니다.
  

• 18번

  — 이 문항은 주기함수와 지수함수가 합성된 함수의 그래프를 그리고, 그 그래프와 직선의 교점 개수를 세는 고난도 문제입니다. 핵심 개념은 g(x)=x-[x]가 주기가 1인 '소수 부분 함수'라는 것과, 합성함수 y=g(f(x))=2^x-[2^x]의 그래프를 그릴 수 있는지입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 f(x)=2^x의 값이 정수가 되는 지점(x=0, 1, log₂3, 2, ...)을 기준으로 그래프가 불연속적으로 반복되는 형태를 그려내는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 2^x=k (k는 자연수)가 되는 x값들을 기준으로 구간을 나누고, 각 구간에서 y=2^x-(k-1)의 그래프가 어떻게 그려지는지 파악하는 것입니다. 그래프만 정확히 그리면 n=1, 2, 3에 따른 직선과의 교점 개수를 세는 것은 어렵지 않습니다.
  

• 20번

  — 방정식의 실근의 개수를 새로운 함수 f(x)로 정의하는, 수능에서도 자주 활용되는 고난도 유형입니다. 이 문제의 핵심은 't에 대한 이차방정식 t² = x²-4'에서 실수 t의 개수가 어떻게 결정되는지를 파악하는 것입니다. 학생들은 x값에 따라 f(x)가 결정된다고 생각하지만, 실제로는 우변인 'x²-4'의 값의 부호에 따라 t의 개수가 결정됩니다. 결정적 힌트는 x²-4 > 0, x²-4 = 0, x²-4 < 0 세 가지 케이스로 나누어 생각하는 것입니다. 각 케이스에 따라 실수 t의 개수는 2개, 1개, 0개가 되며, 이를 x의 범위에 따라 다시 정리하면 f(x)의 그래프를 완성할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 지수 부등식의 해와 집합의 포함관계를 결합하여 미정계수의 범위를 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 집합 B의 조건인 지수 부등식을 2^x = t로 치환하여 t에 대한 이차부등식으로 풀어내는 것입니다. 여기서 학생들이 흔히 저지르는 실수는 부등식의 해를 구한 뒤, t의 범위를 다시 x의 범위로 정확하게 변환하지 못하는 것입니다. A ⊂ B라는 조건은 수직선 위에서 구간 (a, b)가 집합 B가 나타내는 구간 안에 완전히 포함되어야 함을 의미합니다. b-a는 구간 A의 길이이므로, B의 구간 안에서 잡을 수 있는 가장 긴 구간의 길이를 찾는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 29번

  — 새롭게 정의된 규칙에 따라 배열된 수들의 특정 항을 찾는, 전형적인 수열 추론 문제입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 점화 관계가 파스칼의 삼각형 생성 원리와 유사하다는 점을 간파하고, 제n행의 왼쪽에서 3번째 수에 대한 일반항 또는 점화식을 세우는 것입니다. 대부분의 학생들은 22행까지 직접 수를 나열하려는 무모한 시도를 하다가 시간을 낭비하는 함정에 빠집니다. 결정적 실마리는 제n행의 왼쪽에서 3번째 수를 A(n, 3)이라 할 때, A(n, 3)과 A(n-1, 2), A(n-1, 3) 등 이전 항들 사이의 관계를 관찰하는 것입니다. 몇 개의 항을 직접 구해보면서 계차수열이나 다른 규칙성을 발견하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 30번

  — 연립일차방정식의 해(교점)가 존재하는 사분면에 대한 조건을 해석하는 문제입니다. 출제 의도는 행렬의 가역성(ad-bc≠0)을 넘어, 해의 부호(αβ>0, αβ<0)를 기하학적으로 해석할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 k의 값에 따라 해가 단순히 존재한다/안한다로만 판단하는 것입니다. 이 문제는 두 직선의 교점 (α, β)가 1,3사분면에 있는지, 아니면 2,4사분면에 있는지를 따져야 합니다. 문제 해결의 힌트는 연립방정식을 직접 풀어 해 (α, β)를 k에 대한 식으로 표현하는 것입니다. 그 후, αβ>0 과 αβ<0 이라는 부등식을 풀면 각각 p와 q의 조건을 찾을 수 있습니다.