2013년 3월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 문항은 이진법과 연관된 함수 규칙성 추론 문제로, 많은 학생들이 규칙을 파악하지 못해 손도 대지 못하고 넘어갔을 가능성이 높습니다. 전반적으로 고1 수학(다항식, 복소수, 부등식의 영역 등) 개념을 탄탄히 다져야 풀 수 있는 문항들이 다수 포진해 있었고, 특히 19번, 21번, 29번처럼 그래프를 해석하고 기하학적 의미를 파악하는 능력이 중요하게 작용했습니다. 이러한 유형의 문제들은 수능에서 함수의 성질을 깊이 있게 파고드는 문제로 발전하므로, 단순히 공식을 암기하기보다는 각 개념의 기하학적 의미를 시각적으로 이해하는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 19번

  — 이 문제는 6(x²+y²)의 최솟값을 묻고 있는데, 여기서 x²+y²이 원점 (0,0)과 점 (x,y) 사이 거리의 '제곱'임을 간파하는 것이 핵심입니다. 많은 학생들이 주어진 등식 (x-y-3)(x+y-2)=0을 보고 복잡한 대수적 연립방정식으로 접근하려다 시간을 낭비하는 실수를 합니다. 이 등식이 실제로는 '두 개의 직선'을 나타낸다는 사실을 깨닫는 순간, 문제는 '원점에서 두 직선 중 어느 직선까지의 거리가 더 짧은가?'를 묻는 기하 문제로 바뀌게 됩니다. 결국 점과 직선 사이의 거리 공식을 두 번 사용하여 더 작은 값을 찾는 것이 정답으로 가는 가장 빠른 길입니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 모든 실수 x에 대해 성립하는 부등식, 즉 절대부등식 문제입니다. 출제 의도는 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리하여 이차부등식의 해법을 적용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 (a²+b²)x² - 4x + (a²-b²) ≤ 0 꼴로 정리한 뒤, 무심코 판별식 D ≤ 0만 사용하려 드는데, 이는 최고차항의 계수 (a²+b²)가 0이 아닐 때만 해당됩니다. 최고차항 계수가 0인 경우와 0이 아닌 경우를 모두 따져봐야 하는 것이 이 문제의 핵심 함정이며, 이를 통해 얻어지는 a, b의 관계식이 나타내는 도형(원)의 길이를 구하는 것이 최종 목표입니다.
  

• 21번

  — 곱셈에 대해 '닫혀있는 유한집합'이라는 두 가지 조건이 문제 해결의 결정적인 열쇠입니다. 집합 A의 원소 a를 계속해서 곱할 때(a, a², a³, ...), 원소의 개수가 유한해야 하므로 반드시 자기 자신으로 돌아오거나 특정 값들만 반복되어야 합니다. 이는 원소가 될 수 있는 실수가 0, 1, -1로 매우 제한적임을 암시합니다. 이 후보들을 가지고 곱셈에 대해 닫혀있는 집합 {1}, {0,1}, {-1,1}, {0,-1,1} 등을 직접 구성해보면서 보기의 진위를 판별하는 능력을 요구하는, 고1 과정에서는 꽤나 추상적인 사고력을 필요로 하는 문항입니다.
  

• 24번

  — 다항식을 이용한 마방진(magic square) 형태의 신유형 문제로, 문제의 구조에 당황하지 않고 차분하게 접근하는 것이 중요합니다. 핵심은 가로, 세로, 대각선에 놓인 세 다항식의 합이 6x²+12x로 모두 같다는 규칙을 이용하는 것입니다. 가장 먼저 채워진 대각선 (2x-2, 중앙, -x²+x-3)의 합이 6x²+12x가 되어야 한다는 점을 이용해 중앙에 들어갈 다항식을 먼저 구하는 것이 문제 해결의 실마리입니다. 중앙 다항식을 구하고 나면, 이를 이용해 (가)가 포함된 세로줄의 합이 6x²+12x가 되도록 f(x)를 계산해낼 수 있습니다. 다항식의 덧셈, 뺄셈 과정에서 발생하는 계산 실수가 가장 흔한 오답의 원인이니 주의해야 합니다.
  

• 28번

  — 원의 방정식과 절댓값 함수 그래프의 교점 개수를 묻는, 그래프 해석 능력이 관건인 문제입니다. 함수 y=m|x|는 원점을 지나는 V자 형태의 그래프라는 것을 즉시 떠올려야 합니다. 이 V자 그래프와 중심이 (1,3)이고 반지름이 √2인 원이 '서로 다른 두 점에서만' 만나도록 하는 상황을 정확히 그려내는 것이 핵심입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 '접할 때'의 m값만 구하고 끝내는 것인데, V자 그래프의 한쪽 직선만 원과 접하는 경우 외에도, 원점을 지나는 직선이 원과 두 점에서 만나는 특정 상황 등을 모두 고려해야 정답에 도달할 수 있습니다. 반드시 그림을 그려가며 m값의 변화에 따른 교점 개수의 변화를 관찰해야 합니다.
  

• 29번

  — 전형적인 대칭이동을 이용한 최단거리 문제입니다. 배의 위치를 점 P, 두 해안 도로를 직선 l₁, l₂라고 할 때, P를 l₁에 대해 대칭시킨 점 P', l₂에 대해 대칭시킨 점 P''를 잡는 것이 풀이의 첫 단추입니다. 그러면 구하고자 하는 최단거리는 선분 P'P''의 길이가 됩니다. 여기서 학생들이 막히는 부분은 P'P''의 길이를 어떻게 구할 것인가인데, 두 해안 도로가 이루는 각이 60°라는 조건이 결정적 힌트입니다. 삼각형 OP'P''에서 OP'=OP''=OP 이고 ∠P'OP'' = 2×60° = 120° 임을 이용하여 코사인 법칙을 적용하면 P'P''의 길이를 x에 대한 식으로 표현하고 문제의 조건을 만족시킬 수 있습니다.
  

• 30번

  — 도시와 기지국 문제를 좌표평면 위의 도형 문제로 치환하여 해석하는 능력이 가장 중요합니다. 각 기지국의 수신 가능 영역은 '원'으로, 도시는 직각삼각형 영역으로 볼 수 있습니다. 먼저 주어진 두 기지국(B, C)이 만드는 두 개의 원을 그리고, 이 원들이 커버하지 못하는 '음영 지역'이 없도록 새로운 기지국(원)을 설치하는 문제입니다. '최소 반경'의 기지국이라는 조건이 핵심 힌트로, 이는 새로운 원이 기존 두 원에 동시에 외접하면서 특정 지점(원점 근처)을 커버해야 함을 의미합니다. 새로 설치할 원의 중심을 (x, y), 반지름을 r이라 두고 기존 두 원과의 외접 조건, 그리고 음영 지역을 없애는 조건을 연립하여 x, y, r을 구하는 복합적인 기하 문제 해결 능력을 요구합니다.