2012년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

28번 수열 문제에서 시그마가 포함된 복잡한 점화식을 보고 당황한 학생들이 많았을 겁니다. 이 시험은 단순 계산 능력보다는 27번처럼 입체 도형의 규칙성을 파악하여 수열의 일반항을 추론하거나, 16번처럼 지표와 가수의 정의를 정확히 이해하고 이차방정식 근과 계수의 관계와 연결하는 등 개념의 깊이를 묻는 문항으로 변별력을 확보했습니다. 특히 21번, 30번과 같이 도형의 닮음을 이용한 수열 및 급수 문제는 수능 수학의 단골 킬러 유형이므로, 그림에서 닮음비와 첫째항을 정확히 찾아내는 연습을 지금부터 꾸준히 해야만 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 상용로그의 지표(정수 부분)와 가수(0 이상 1 미만의 소수 부분)의 정의를 정확히 아는 것이 핵심입니다. 학생들은 종종 이차방정식의 두 근을 지표와 가수로 설정하고 근과 계수의 관계를 이용하는데, 이때 '가수는 항상 0 이상 1 미만'이라는 조건을 놓쳐서 1/(3n)의 범위를 잘못 해석하는 실수를 합니다. 문제 해결의 실마리는 두 근의 합이 3n + 1/(3n)이라는 점에서, 자연수 n에 대해 1/(3n)이 가수의 조건을 만족하는지를 먼저 따져보는 것입니다.
  

• 18번

  — 로그 부등식의 영역을 묻는 문제의 핵심은 '진수 조건'을 절대 빼먹지 않는 것입니다. (가)와 (나)의 부등식을 풀기 전에, y-x > 0, y > 0, 4-x² > 0 이라는 세 가지 진수 조건을 모두 만족하는 영역을 먼저 좌표평면에 그려놓는 것이 실수를 막는 가장 확실한 방법입니다. 이 기본 영역 안에서 주어진 두 부등식이 나타내는 영역의 공통 부분을 찾아야 정답을 고를 수 있으며, 경계선 포함 여부도 꼼꼼히 확인해야 합니다.
  

• 21번

  — 도형과 수열의 극한이 결합된 고난도 문항입니다. 이 문제의 가장 큰 함정은 직사각형의 가로세로비가 1:1, 1:2, ..., 1:n으로 계속 변한다는 점입니다. 따라서 일정한 공비를 갖는 단순 등비수열 문제가 아니므로, 무한등비급수 공식으로 접근하면 오답에 이르게 됩니다. 해결의 첫 단추는 직각이등변삼각형의 닮음 성질을 이용하여 n번째 직사각형의 세로 길이(an)와 가로 길이(nan)의 합이 삼각형의 높이와 어떤 관계를 맺는지 식으로 표현하는 것입니다. 이를 통해 an에 대한 일반항을 구하고 극한값을 계산해야 합니다.
  

• 28번

  — 행렬의 연산과 기하학적 의미를 결합한 창의적인 문항입니다. 이 문제의 핵심은 S(M)의 정의를 정확히 이해하는 것입니다. S(M)은 행렬 M의 성분으로 정의된 두 점 P, Q를 지름의 양 끝으로 하는 원의 넓이를 의미합니다. 문제 해결의 실마리는 AX=B라는 행렬방정식에서 X = A⁻¹B를 계산하여 행렬 X의 네 성분을 먼저 구하는 것입니다. 그 후에 구한 X의 성분들을 이용해 새로운 점 P'과 Q'의 좌표를 설정하고, 두 점 사이의 거리를 구해 지름을 찾으면 S(X)를 계산할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 상용로그의 지표와 가수의 성질을 심도 있게 파고드는 문제입니다. (가) 조건의 이차방정식을 통해 가수가 될 수 있는 후보 g(a)를 두 개로 좁히는 것이 첫 단계입니다. 가장 큰 함정은 (나) 조건 f(a) + f(a²) + f(a³) = 14를 단순히 3f(a)와 관련 있을 것이라 속단하는 것입니다. log a = f(a) + g(a) 이므로, log a² = 2f(a) + 2g(a), log a³ = 3f(a) + 3g(a)가 됩니다. 여기서 2g(a)나 3g(a)의 값이 1을 넘어가면 정수 부분이 f(a²)와 f(a³)에 영향을 주게 되므로, (가)에서 구한 g(a) 값 각각에 대해 케이스를 나누어 (나) 조건을 만족하는지 검증해야 합니다.
  

• 30번

  — 두 함수의 그래프로 둘러싸인 넓이를 묻는 문제로, 두 함수의 관계를 파악하는 것이 관건입니다. f(x)와 g(x)를 직접 적분하여 S₁을 구하는 것은 불가능에 가깝습니다. 출제 의도는 두 함수의 그래프가 y=x 대칭(역함수) 관계와 어떤 연관이 있는지를 파악하는 것입니다. f(x) = 2^(x-2) + 1 과 g(x) = log₂(x-1) + 2 를 각각 y=2^x, y=log₂x 그래프의 평행이동으로 해석하면, S₁의 넓이를 평행이동과 대칭성을 이용해 더 구하기 쉬운 도형(주로 직사각형)의 넓이로 변환하여 풀 수 있다는 실마리를 얻을 수 있습니다. S₁을 직접 구하기보다 S₁ + S₂를 포함하는 전체 넓이에서 S₂를 빼는 방식으로 접근하는 것이 효율적입니다.
  

• 단답형 27번

  — 입체도형의 규칙성을 파악하여 수열의 일반항을 구하는 문제입니다. a₁, a₂, a₃를 직접 세어보고 섣불리 등차수열이나 등비수열로 단정하는 것이 가장 흔한 오답 패턴입니다. 이 수열은 계차수열(an+1 - an)이 규칙을 갖는 형태입니다. 문제를 풀기 위한 결정적 아이디어는 n층으로 쌓았을 때 보이는 블록의 개수를 '위에서 보이는 개수', '앞(과 뒤)에서 보이는 개수', '옆(오른쪽과 왼쪽)에서 보이는 개수'로 나누어 생각하되, 겹치는 부분을 제외하는 방식으로 접근하는 것입니다. 특히 위에서 보이는 블록은 n²개라는 점을 파악하면 계차수열의 규칙을 쉽게 발견할 수 있습니다.
  

• 단답형 28번

  — 점화식에 Σ(시그마) 기호가 포함된 매우 까다로운 형태의 문제입니다. a₁, a₂, a₃... 를 순서대로 대입하여 규칙을 찾으려고 하면 계산이 복잡해져 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 핵심 돌파구는 'n번째 항까지의 합을 포함한 점화식은 n번째 식과 (n-1)번째 식의 차를 이용한다'는 원리를 적용하는 것입니다. 주어진 점화식에 n 대신 n-1을 대입한 식을 만든 후, 원래 식에서 빼면 Σ 항이 사라지고 an+1, an, an-1 사이의 간단한 삼항 점화식을 얻을 수 있습니다. 이로부터 피보나치 수열과 유사한 규칙성을 발견할 수 있습니다.
  

• 단답형 29번

  — 좌표평면 위의 점과 원, 그리고 삼각형의 넓이를 수열과 결합한 복합적인 문제입니다. 삼각형 ABP의 밑변 AB의 길이는 고정되어 있으므로, 넓이의 최댓값과 최솟값은 높이에 의해 결정됩니다. 여기서 높이는 원 Cn 위의 점 Pn과 직선 AB 사이의 거리입니다. 학생들은 점과 직선 사이의 거리를 직접 계산하려다 복잡한 계산에 빠지는 실수를 합니다. 문제 해결의 힌트는 원의 중심에서 직선 AB까지의 거리에 반지름을 더하고 뺀 값이 각각 높이의 최댓값과 최솟값이 된다는 기하학적 성질을 이용하는 것입니다. 넓이의 차 an은 결국 (밑변 길이) × (원의 지름) / 2 이므로, 원의 반지름이 등비수열을 이룬다는 점을 파악하면 쉽게 풀립니다.
  

• 단답형 30번

  — 프랙탈 도형에서 넓이의 합을 구하는 전형적인 무한등비급수 문제입니다. 이 유형의 핵심은 '첫째항(S₁)'과 '공비(r)'를 정확하게 구하는 것입니다. 많은 학생들이 공비를 구할 때, 길이의 닮음비와 넓이의 닮음비를 혼동하여 실수합니다. 공비는 (길이 닮음비)²이라는 것을 명심해야 합니다. 이 문제 해결의 실마리는 큰 정사각형 R과 그 안의 중점을 연결해 만든 작은 정사각형 R₁ 사이의 닮음비를 찾는 것입니다. 한 변의 길이가 4인 정사각형의 중점을 연결하면 생기는 마름모(정사각형 R₁)의 한 변 길이는 피타고라스 정리를 통해 쉽게 구할 수 있으며, 이것이 닮음비를 찾는 결정적 단서가 됩니다.