2012년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 29번 상용로그 지표와 가수 문항에서 시간을 많이 뺏기거나 개념이 흔들린 학생들이 많았을 겁니다. 전반적으로 수열, 극한, 삼각함수 등 수학 B형의 핵심 단원들을 깊이 있게 다루면서도, 20번이나 27번처럼 도형과 극한을 결합한 문항들의 비중이 높아 시각적 분석 능력과 계산력을 동시에 요구했죠. 특히 이러한 도형 해석 능력은 현행 수능 미적분 과목의 28~30번 킬러 문항의 기본기를 다지는 데 있어 매우 중요한 훈련이 되므로, 틀린 문항들은 반드시 다시 풀어보며 아이디어를 체화해야 합니다.

문항 분석

• 18번

  — n행의 규칙을 파악하는 것이 관건인 수열 추론 문제입니다. 출제 의도는 여러 규칙이 복합적으로 적용된 상황에서 필요한 정보를 정확히 뽑아낼 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 n행의 공차가 (2n-3)으로 계속 변한다는 사실을 놓치고, 하나의 등차수열로 오해하여 계산하는 경우입니다. 결정적 실마리는 구하고자 하는 값 an이 'n행 (n+2)열의 수'라는 것을 인지하고, 먼저 'n행 1열의 수'가 이루는 수열의 규칙을 찾은 뒤, 이를 첫째항으로 삼아 공차가 (2n-3)인 등차수열의 (n+2)번째 항을 구하는 것입니다.
  

• 20번

  — 전형적인 프랙탈 도형의 등비급수 문제입니다. 첫째항 l₁은 반지름이 OA₂/2인 반원 6개의 호의 길이 합으로 비교적 쉽게 구할 수 있지만, 많은 학생들이 공비를 구하는 과정에서 헤맸을 겁니다. 이 문제의 핵심은 닮음의 중심이 원점 O라는 것을 파악하고, 두 번째 원 O₂의 반지름 OA₂의 길이를 첫 번째 원 O₁의 반지름 OA₁(=2)과의 관계식으로 표현하는 것입니다. 삼각형 OP₁A₂에서 사인법칙을 이용하는 것이 가장 결정적인 실마리가 될 겁니다. 단순히 눈에 보이는 길이의 비율이 아니라, 닮음의 기본 원리를 적용해 반지름의 비율을 찾아내야 공비를 정확히 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 삼각함수의 성질을 종합적으로 이해하고 있는지를 묻는 합답형 문항입니다. ㄱ(주기)은 쉽게 판단 가능하지만, ㄴ의 Σ 계산에서 많은 학생들이 당황했을 수 있습니다. 함수 f(x)의 주기가 6이라는 점을 이용하면, 6개 항의 합이 반복되는 규칙을 발견할 수 있습니다. 2012를 6으로 나눈 몫과 나머지를 활용하는 것이 계산을 줄이는 핵심이죠. ㄷ(방정식의 실근 합)이 가장 까다로운데, f(x) = cos(2πx/3) 방정식을 풀기 위해 그래프를 그려 교점의 x좌표를 찾는 것이 가장 직관적입니다. 이때 주어진 범위(0 < x < 10)를 놓치지 않고, 교점들의 대칭성을 활용하여 실근의 합을 효율적으로 계산해야 실수를 줄일 수 있습니다.
  

• 26번

  — 모든 양의 실수 x에 대해 로그부등식이 항상 성립할 조건을 찾는 문제입니다. 출제 의도는 치환을 통해 로그부등식을 이차부등식으로 변환하고, '항상 성립하는 부등식'의 조건을 판별식으로 연결할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 log₂(x/a)를 t로 치환한 뒤, x가 양수라는 조건 때문에 t의 범위가 제한될 것이라 착각하는 것입니다. x가 모든 양수 값을 가지면 t=log₂(x/a)는 모든 실수 값을 가지므로, 판별식 D≤0을 바로 적용해야 합니다. 이것이 문제를 풀어내는 결정적 열쇠입니다.
  

• 27번

  — 삼각함수 극한의 도형 활용 문제 중에서도 난도가 높은 편입니다. 두 원 O₁, O₂의 넓이 f(θ), g(θ)를 θ에 대한 식으로 표현하는 것이 관건이죠. 원 O₁은 삼각형 AOP에 내접하므로, 삼각형의 넓이와 세 변의 길이를 θ로 표현한 뒤 '넓이 = (1/2) * 내접원 반지름 * 둘레' 공식을 사용하는 것이 정석입니다. 원 O₂는 부채꼴 OBP에 내접하는데, 원의 중심 O₂에서 선분 OB에 수선의 발을 내리고 직각삼각형을 만들어 반지름을 구하는 것이 문제 해결의 결정적 아이디어입니다. 이 과정에서 삼각함수 정의를 능숙하게 사용해야 하며, 최종적으로 lim(θ→0+) f(θ)/θ²와 g(θ)/θ²의 극한값을 구하는 계산까지 정확하게 해내야 합니다.
  

• 28번

  — x의 거듭제곱을 포함한 함수의 극한으로 정의된 f(x)와 다항함수 g(x)의 곱이 연속이 될 조건을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 학생들이 x의 범위를 |x|<1, |x|>1, x=1, x=-1로 나누어 f(x)를 정확히 구할 수 있는지를 평가하는 것입니다. f(x)는 x=1과 x=-1에서 불연속이 되는데, 곱함수 f(x)g(x-a)가 모든 실수에서 연속이 되려면 '불연속인 지점의 f(x) 값'과 곱해지는 'g(x-a)의 함숫값'이 0이 되어야 한다는 것이 이 문제의 핵심 원리입니다. 즉, f(x)가 불연속이 되는 x=1과 x=-1에서 g(1-a)=0, g(-1-a)=0 이라는 두 조건을 만족시키는 a 값들을 찾아 합을 구하면 됩니다.
  

• 29번

  — 상용로그의 지표와 가수를 좌표평면 위의 점으로 연결한, 지금은 교육과정에서 빠졌지만 당시엔 매우 중요한 유형이었습니다. 문제의 핵심은 각 점 P₁, P₃, P₁₀, Pₘ의 좌표를 로그의 정의를 이용해 정확히 찍는 것입니다. P₁(log1), P₃(log3), P₁₀(log10)의 좌표는 고정되어 있지만, Pₘ(log m)의 좌표는 10<m<100 범위에 따라 달라집니다. 이 범위에서 log m의 지표는 1, 가수는 log m - 1이므로 Pₘ의 좌표는 (1, log m - 1)이 됩니다. 사각형 P₁P₁₀PₘP₃의 넓이는 두 개의 삼각형 넓이 합으로 구할 수 있는데, 넓이를 최대로 만들려면 Pₘ의 y좌표, 즉 log m - 1이 최대가 되어야 합니다. 따라서 m이 100보다 작은 자연수 중 가장 큰 값인 99일 때 넓이가 최대가 된다는 것을 추론하는 것이 결정적입니다.
  

• 30번

  — 짝수 항과 홀수 항의 점화식이 다르게 주어진 매우 까다로운 수열 추론 문제입니다. aₖ = 1/7이 되는 자연수 k를 찾아야 하는데, 점화식의 형태를 보면 a₂ₙ₊₁ = 1/a₂ₙ 이므로 k는 홀수이고, aₖ₋₁ = 7이라는 것을 역으로 추적하는 것이 해결의 실마리입니다. 즉, aₘ = 7이 되는 m을 찾고, 다시 aₙ = 6 (∵ a₂ₙ = 1+aₙ)이 되는 n을 찾는 방식으로 목표값부터 거꾸로 항을 추적해 내려가야 합니다. a₁=1부터 순서대로 항을 나열하며 규칙을 찾는 방법도 있지만, 이 문제처럼 특정 항의 값을 제시한 경우는 역추적 방식이 훨씬 효율적입니다. 이 과정에서 인덱스가 2배가 되거나, 2배 후 1이 더해지는 관계를 정확히 파악하는 것이 중요합니다.