함수의 그래프 개형 추론미분계수와 접선의 방정식정적분으로 정의된 함수수열의 귀납적 정의와 추론함수의 연속성과 미분가능성로그 부등식과 진수 조건사인법칙과 코사인법칙의 활용함수의 그래프 추론수열의 귀납적 정의와 역추적미분계수의 기하학적 의미로그 부등식과 자연수 조건조합을 이용한 확률 계산함수의 개수 세기사인법칙과 코사인법칙

총평

이번 6월 모의평가는 22번 수열 문제에서 규칙을 역추적하는 과정이 상당히 까다로워 많은 상위권 학생들의 발목을 잡았을 겁니다. 전반적으로 과도한 계산을 요구하기보다는, 15번이나 21번처럼 주어진 조건을 정확히 해석하여 함수의 그래프 개형을 논리적으로 추론해내는 능력을 깊이 있게 측정하는 문항들이 많았어요. 이러한 경향은 실제 수능에서도 고난도 문항의 변별력을 그래프 해석 능력에서 찾겠다는 평가원의 의지를 보여주므로, 기출문제를 풀 때도 단순히 답을 내는 것을 넘어 '왜 이 조건이 주어졌을까?'를 곱씹는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

14번 — 이 문항은 로그 부등식을 해결하고, 그 해의 범위에 포함되는 자연수의 개수 조건을 만족시키는 미지수를 찾는 문제입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 로그의 진수 조건(75-kn > 0)을 꼼꼼히 따지지 않고 부등식만 풀다가 k의 범위를 잘못 설정하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 주어진 부등식을 n에 대한 이차부등식으로 변환하고, 이 부등식을 만족하는 자연수 n의 범위를 k에 대한 식으로 표현하는 것입니다. 그 후, 이 범위 안에 자연수가 정확히 12개 포함되도록 하는 k의 범위를 찾아내야 합니다.
15번 — 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 성질을 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 (가) 조건의 '증가하고 미분가능하다'를 f(x)에 대한 조건으로 해석할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 g'(x) = f(x) ≥ 0 이라는 점과, x=k에서 연속성과 미분가능성 조건(f(k)=k, f'(k)=2)을 동시에 활용해야 하는 복잡함에 빠져 시간을 허비하기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 g'(x)를 구하여 f(x)가 만족해야 할 조건(항상 0 이상, 특정 점에서의 함숫값과 미분계수)을 모두 뽑아내고, 이를 통해 삼차함수 f(x)의 식을 구체화하는 것입니다.
21번 — 사차함수 f(x)의 그래프 개형을 추론하는 문제입니다. (가) 조건 'f'(a) ≤ 0인 실수 a의 최댓값이 2이다'를 단순히 f'(2)=0으로만 해석하면 함정에 빠집니다. 이 조건은 x=2가 극대점이거나, 혹은 f'(x)가 x=2까지 계속 0 이하이다가 x>2부터 양수가 되는, 즉 감소 구간의 끝일 가능성을 모두 포함합니다. 문제 해결의 첫 단추는 f'(1)=0 조건과 (가) 조건을 종합하여 도함수 f'(x)의 그래프 개형을 먼저 확정하는 것입니다. 가능한 f'(x)의 개형을 추론한 뒤, (나) 조건의 최솟값을 이용해 f(x)의 식을 완성해야 합니다.
22번 — 복잡한 귀납적 정의로 주어진 수열을 역추적하는 문제입니다. a_15=1에서 출발하여 a_1을 찾아야 하는데, 각 단계에서 가능한 a_n의 값이 여러 개일 수 있다는 점이 함정입니다. 특히 √n이 자연수가 되는 항(n=4, 9, 16, ...)에서 점화식이 바뀌므로, a_16, a_9, a_4를 거꾸로 구해 나갈 때 분기점이 발생합니다. 이 모든 경우를 체계적으로 따지지 않으면 일부 해를 놓치게 됩니다. 해결의 실마리는 a_15부터 시작하여 a_14, a_13 순서로 거꾸로 항을 추적하되, n=15, 8, 3일 때(a_16, a_9, a_4를 구할 때) a_n의 부호에 따라 경우가 나뉠 수 있음을 인지하고 트리 구조처럼 모든 경로를 빠짐없이 탐색하는 것입니다.
미적분 28번 — 함수 g(t)의 정의를 정확히 이해하는 것이 관건인 문제입니다. g(t)는 `f(x)=t`를 만족하는 x의 '최솟값'으로, 이는 f(x)의 역함수와 유사한 개념이지만 일대일대응이 아닐 경우 불연속점이 발생할 수 있습니다. 이 문제의 핵심 출제 의도는 'g(t)가 t=12에서만 불연속'이라는 조건이 'f(x)의 극솟값이 12'라는 사실과 동치임을 간파하는 것입니다. 많은 학생들이 g(t)의 불연속성에 대한 의미를 파악하지 못하고 헤매는 경우가 많습니다. 문제 해결의 실마리는 먼저 x=a에서 f(x)가 연속이고 미분가능하다는 조건을 이용해 함수식을 어느 정도 특정하고, 그 후 극솟값이 12라는 정보를 대입하여 미지수 a를 완전히 결정하는 것입니다. 최종적인 g' 값은 역함수 미분법을 활용해야 합니다.
미적분 30번 — 삼각함수와 무리함수 그래프 교점의 위치를 근사적으로 추론하고, 이를 삼각함수의 극한과 결합하는 최고난도 문항입니다. `a_{n+1} - a_n`의 극한을 직접 구하는 것은 불가능에 가깝습니다. 이 문제의 핵심은 n이 무한대로 갈 때 교점 `a_n`이 `y=tan(x)`의 점근선인 `(n-1)π + π/2`가 아니라, x축과의 교점인 `(n-1)π`에 가까워진다는 사실을 직관적으로 파악하는 것입니다. `a_n = (n-1)π + ε_n` (단, ε_n → 0)으로 치환하고, `tan(a_n) = tan(ε_n) ≈ ε_n`이라는 테일러 근사를 사용하는 것이 결정적 실마리입니다. 이 근사식을 `tan(a_n) = √(10/a_n)`에 대입하여 `ε_n`을 n에 대한 식으로 표현하고, 이를 통해 `a_{n+1}-a_n`의 극한을 계산해내야 합니다.
확률과 통계 29번 — 조합을 이용하여 확률을 계산하는 문제입니다. 흰 공의 개수를 n으로 설정하고 p(흰 공 2개)와 q(흰 공 1개, 검은 공 1개)를 n에 대한 식으로 표현하는 것이 첫 단계입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 p=q라는 조건을 식으로 세운 후, 이 식을 정리하여 n의 값을 구하는 과정에서 계산 실수를 하거나 복잡함에 압도당하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 전체 공이 40개라는 사실을 이용해 미지수(흰 공 n개, 검은 공 40-n개)를 하나로 통일하고, 조합 식을 세워 n에 대한 방정식을 풀어내는 것입니다. n값만 정확히 구하면 r을 계산하는 것은 간단합니다.
확률과 통계 30번 — 두 가지 복잡한 조건을 동시에 만족시키는 함수의 개수를 세는 문제입니다. (가) 조건 x+f(x)∈X와 (나) 조건 f(x)≥f(x+1)을 한 번에 고려하면 매우 혼란스럽습니다. 특히 (나) 조건이 x=-2, -1, 0, 1에 대해서만 성립하고 f(2)는 자유롭다는 점을 놓치기 쉽습니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 먼저 (가) 조건을 이용해 각 정의역 원소 x에 대해 f(x)가 가질 수 있는 값의 후보들을 모두 나열하는 것입니다. 그 다음, 이 후보들 중에서 (나)의 감소 조건을 만족하는 f(-2), f(-1), f(0), f(1)의 순서쌍을 중복조합을 이용하여 구하고, 마지막으로 f(2)가 될 수 있는 값의 개수를 따로 곱해주는 단계적 접근이 필요합니다.