수열의 귀납적 정의정적분으로 정의된 함수지수/로그 함수의 그래프와 대칭성도함수의 활용과 그래프 추론평균값 정리이차곡선의 정의 활용벡터의 연산과 위치벡터미분계수와 도함수의 활용지수/로그 함수의 그래프와 도형함수의 연속성과 미분가능성역함수의 미분법과 적분법부분적분법과 치환적분법사인법칙과 코사인법칙지수/로그 함수의 그래프 해석함수의 연속성미분계수와 평균값 정리중복조합조건부 확률과 함수의 개수

총평

이번 9월 모의평가는 22번 수열 문제에서 k값의 조건을 꼼꼼히 따지지 않으면 함정에 빠지기 쉬웠고, 미적분 30번은 F(x) ≥ f(x)라는 조건을 새로운 함수를 설정해 해석하는 능력이 관건이었습니다. 전체적으로 과도한 계산을 요구하기보다는, 주어진 조건의 의미를 정확히 파악하고 여러 개념을 논리적으로 연결하는 사고력을 중점적으로 평가하고 있어요. 특히 15번처럼 정적분으로 정의된 함수를 다루는 방식이나 14번의 지수/로그 함수와 도형의 결합은 수능에서도 반복적으로 출제되는 핵심 유형이므로, 기출문제를 통해 조건 해석 능력을 기르는 것이 막판 뒤집기의 열쇠가 될 겁니다.

문항 분석

14번 — 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 배경으로, 직선의 기울기와 선분의 길이라는 기하학적 조건을 좌표로 해석하는 능력을 묻는 문항입니다. 많은 학생들이 두 점의 좌표를 미지수로 설정하고 거리 공식을 직접 사용하여 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 기울기가 3이고 빗변의 길이가 n√10이라는 조건에서 x좌표의 차이가 n, y좌표의 차이가 3n이라는 사실을 즉시 간파하는 것입니다. 이를 통해 두 점의 좌표 관계를 간단히 표현하고 원의 중심 조건을 적용하는 것이 핵심입니다.
15번 — 정적분으로 정의된 함수에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 문제입니다. (가) 조건의 적분식을 미분하여 f(x)와 g(x)에 대한 관계식을 도출하고, (나) 조건 f(x) = xg'(x)를 어떻게 활용할지 파악하는 것이 관건입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 (가) 식을 미분하여 얻은 도함수 3x³+8x²-3x = x(f(x)+g(x))에서 f(x)를 소거할 생각을 못하고 막막해하는 것입니다. (나) 조건을 대입하여 g(x)와 g'(x)에 대한 식을 만들면 g(x)가 이차함수임을 추론할 수 있고, 이를 통해 계수비교법으로 g(x)를 확정하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
21번 — 평균값 정리의 의미를 부등식으로 표현한, 매우 세련된 문제입니다. 출제 의도는 주어진 부등식의 가운데 항 (f(k+2)-f(k))/2가 구간 [k, k+2]에서의 평균변화율이며, 이는 특정 지점에서의 미분계수 f'(c)와 같다는 것을 파악하는 것입니다. 이 아이디어를 떠올리지 못하고 부등식 자체에 매몰되어 k에 숫자를 대입하며 규칙을 찾으려 하면 절대 풀 수 없습니다. 모든 정수 k에 대해 성립하므로, f'(x)라는 이차함수가 2k-8과 4k²+14k를 변형한 어떤 이차식 사이에 '끼어있다'는 '샌드위치 정리'의 아이디어를 미분계수에 적용해야 합니다. f'(x)를 ax²+bx+c로 두고 양쪽 부등식을 만족시키는 계수를 찾는 것이 이 문제의 핵심 돌파구입니다.
22번 — 주어진 점화식이 두 가지 경우로 나뉘는 수열의 귀납적 추론 문제입니다. a₅=0이라는 결과로부터 역으로 a₄, a₃, a₂, a₁을 추적해 나가야 하며, 이 과정에서 (가) 조건 a₂a₃<0을 만족시키는 경로만을 선택해야 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 an+1 = an - 2/k 또는 an+1 = -kan 라는 두 갈래 길에서 어떤 선택을 해야 하는지, 그리고 그 선택이 k의 값에 따라 어떻게 달라지는지를 체계적으로 분류하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 a₁=k(양수)에서 출발하여 a₂와 a₃를 구해보며 (가) 조건을 만족시키는 k의 범위를 먼저 특정하는 것입니다. 이 초기 조건을 통해 가능한 경로의 수를 줄인 후, a₅=0에 도달하는 모든 k값을 빠짐없이 찾아내는 끈기가 필요합니다.
기하 29번 — 하나의 점이 쌍곡선과 포물선 위에 동시에 존재할 때, 두 이차곡선의 정의를 어떻게 융합하여 활용할 수 있는지를 묻는 문제입니다. 점 P의 좌표를 미지수로 두고 두 곡선의 방정식에 대입해 연립하는 것은 계산 지옥으로 가는 지름길입니다. 이 문제의 핵심은 포물선의 정의, 즉 '초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다'는 성질(PF=PH)을 가장 먼저 적용하는 것입니다. 이 관계를 문제에 주어진 비례식 PH:HF=3:2√2와 결합하면, 직각삼각형 PHF의 세 변의 길이 관계를 알아낼 수 있고, 이를 통해 P의 좌표를 손쉽게 확정할 수 있습니다. 그 후에야 쌍곡선의 정의를 이용해 a, b 값을 구하는 것이 순서입니다.
기하 30번 — 두 개의 분리된 도형 위를 움직이는 두 점에 대한 벡터 합의 크기를 묻는, 위치벡터와 도형의 평행이동 개념이 핵심인 문제입니다. |PQ+OE|²의 형태를 보고 점 P, Q의 좌표를 각각 매개변수로 설정하면 식이 너무 복잡해져 풀 수 없습니다. 이 문제의 실마리는 벡터의 덧셈을 시점을 원점으로 통일한 위치벡터의 관점에서 재해석하는 것입니다. |(OQ+OE)-OP|²로 식을 변형하면, 문제는 '삼각형 CDB를 벡터 OE만큼 평행이동시킨 도형 위의 점'과 '삼각형 AOB 위의 점' 사이의 거리의 제곱 문제로 치환됩니다. 결국 두 다각형 사이의 최단거리와 최장거리를 구하는 기하 문제로 귀결되며, 각 도형의 꼭짓점과 변 사이의 거리를 비교하여 최대, 최소를 찾아야 합니다.
미적분 28번 — 역함수의 정적분 `∫g⁻¹(x)dx`가 포함된 등식을 보면, 많은 학생들이 역함수를 직접 구하려 하거나 공식 암기에만 의존해 당황하기 쉽습니다. 이 문제의 출제 의도는 역함수와 원래 함수의 정적분 사이의 관계, 특히 부분적분법을 활용하여 식을 변형하는 능력을 보는 것입니다. 결정적인 실마리는 주어진 등식의 좌변을 `[xg⁻¹(x)] - ∫g(t)dt` 꼴로 변형하고, 우변의 `∫f'(2x)sin(πx)dx` 역시 부분적분을 시도하여 두 식을 연결하는 것입니다. 이 과정에서 g(x)의 정의를 적절히 대입하면 복잡해 보이던 식이 소거되며 원하는 값을 얻을 수 있습니다.
미적분 29번 — 이 문제는 Sm의 정의가 이중 시그마처럼 보여 심리적으로 위축될 수 있지만, 본질은 '수열의 합과 일반항의 관계'와 '부분분수 분해'입니다. 가장 큰 함정은 복잡한 Sm 식을 그대로 두고 `am = Sm - Sm-1`을 계산하려는 시도입니다. 이는 계산 지옥에 빠지는 지름길이죠. 문제 해결의 열쇠는 Sm의 정의에 있는 시그마 안쪽 항 `1/(n(n+m+1))`을 `1/(m+1) * (1/n - 1/(n+m+1))`로 먼저 부분분수 분해하는 것입니다. 이렇게 식을 정리하면 Sm이 m에 대한 매우 간단한 식으로 표현되고, 그 후에 `am = Sm - Sm-1`을 적용하면 an을 손쉽게 구할 수 있습니다.
미적분 30번 — 이 문항은 `F'(x)=f(x)`와 `F(x) ≥ f(x)`라는 두 조건을 통합적으로 해석하는 능력을 요구합니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 `F(x) ≥ f(x)`라는 부등식을 어떻게 다뤄야 할지 몰라 막막해하는 것입니다. 이 문제의 결정적 아이디어는 `F(x) - f(x) ≥ 0`으로 이항한 후, 이 식을 미분과 연결 짓는 것입니다. `H(x) = e⁻ˣF(x)`와 같이 적절한 함수를 설정하여 미분하면 `H'(x) = e⁻ˣ(f(x)-F(x)) ≤ 0` 이라는 사실을 발견할 수 있고, 이는 H(x)가 감소함수임을 의미합니다. 이 사실과 f(x) 그래프의 개형을 종합하여 F(0)이 가질 수 있는 값의 범위를 추론해내야 하는, 최상위권 변별력을 위한 문제입니다.
확률과 통계 28번 — 함수의 개수와 조건부 확률이 결합된 문항으로, 'a가 b의 약수이면 f(a)는 f(b)의 약수'라는 추상적인 조건을 구체적인 함숫값 관계로 해석하는 것이 핵심입니다. 정의역 {1, 2, 3, 4} 내의 약수 관계(1→2, 1→4, 2→4, 1→3)를 먼저 명확히 정리해야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 이 관계들을 동시에 고려하려다 경우를 중복하거나 누락하는 것입니다. 이 문제의 실마리는 가장 많은 수의 약수가 되는 f(1)의 값을 기준으로 케이스를 분류하는 것입니다. f(1)이 1, 2, 3, 4 중 어떤 값을 갖는지에 따라 f(2), f(3), f(4)가 가질 수 있는 값의 범위가 결정되므로, f(1)부터 순차적으로 함숫값을 결정해 나가는 것이 가장 체계적이고 실수를 줄이는 접근법입니다.
확률과 통계 30번 — 중복조합을 활용하는 고난도 경우의 수 문제입니다. 흰 공과 검은 공을 나누는 것을 별개로 생각하고, (가) 조건(A는 2개 이하)과 (나) 조건(B는 2개 이상)을 동시에 만족시켜야 합니다. 이 문제의 핵심은 복잡한 제약 조건을 어떤 기준으로 분류하여 체계적으로 셀 것인가입니다. 학생 B가 받는 공의 총 개수(흰 공+검은 공)가 2개 이상이라는 점에 착안하여, B가 받는 흰 공과 검은 공의 개수를 기준으로 케이스를 나누는 것이 가장 효율적입니다. 예를 들어, B가 (흰공 2, 검은공 0), (흰공 1, 검은공 1) 등을 받는 경우로 나눈 뒤, 각각의 경우에 남은 공을 A와 C에게 분배하는 것입니다. 이때 A가 2개 이하로 받는 조건은 전체 경우에서 A가 3개 이상 받는 경우를 빼는 여사건의 아이디어를 적용하면 계산을 간결하게 만들 수 있습니다.