수학ETF	2024년_고3_6월	기출문제
	1~30
	확통

[eqn: left ( {5} over {root {3} of {25}} right )^{3 over 2}] 의 값은?

④

[eqn: root {3} of {25} = root {3} of {5^{2}} = 5^{2 over 3}]이므로

[eqn: left ( {5} over {root {3} of {25}} right )^{3 over 2} = left ( {5} over {5^{2 over 3}} right )^{3 over 2} = left ( 5^{1 - {2 over 3}} right )^{3 over 2}]

[eqn: = left ( 5^{1 over 3} right )^{3 over 2} = 5^{1 over 2} = sqrt{5}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {sqrt{5}} over {5}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt{5}]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + x + 2]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(2+h) - f(2)} over {h}]의 값은?

⑤

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + x + 2]에서 도함수를 구하면 [eqn: f'(x) = 2x + 1]

미분계수의 정의에 의해 [eqn: lim from {h -> 0} {f(2+h) - f(2)} over {h} = f'(2)]

따라서 구하는 값은 [eqn: f'(2) = 2 times 2 + 1 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{5} (a_{k}+1) = 9]이고 [eqn: a_{6} = 4]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{6} a_{k}]의 값은?

③

[eqn: sum from {k=1} to {5} (a_{k}+1) = 9]에서

[eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} + sum from {k=1} to {5} 1 = 9], [eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} + 5 = 9] ∴ [eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} = 4]

[eqn: sum from {k=1} to {6} a_{k} = sum from {k=1} to {5} a_{k} + a_{6}]이고 [eqn: a_{6} = 4]이므로 [eqn: sum from {k=1} to {6} a_{k} = 4 + 4 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow 0+} f(x) + lim_{x rightarrow 1-} f(x)]의 값은?

③

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]보다 큰 쪽에서 [eqn: 0]에 한없이 가까워질 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 2]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim from {x -> 0+} f(x) = 2]

또한, [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]보다 작은 쪽에서 [eqn: 1]에 한없이 가까워질 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 1]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim from {x -> 1-} f(x) = 1]

[eqn: ∴ lim from {x -> 0+} f(x) + lim from {x -> 1-} f(x) = 2 + 1 = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=(x^{2}-1)(x^{2}+2x+2)]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값은?

⑤

함수의 곱의 미분법에 의하여

[eqn: f'(x) = (x^{2}-1)'(x^{2}+2x+2) + (x^{2}-1)(x^{2}+2x+2)']

[eqn: f'(x) = 2x(x^{2}+2x+2) + (x^{2}-1)(2x+2)]

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f'(1) = 2(1+2+2) + 0 = 10]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin left ( theta - {pi} over {2} right ) = {3} over {5}]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

①

[eqn: sin left ( theta - {pi} over {2} right ) = - sin left ( {pi} over {2} - theta right ) = - cos theta]이므로

[eqn: - cos theta = {3} over {5}]에서 [eqn: cos theta = - {3} over {5}]

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이므로

[eqn: sin^{2} theta = 1 - left ( - {3} over {5} right )^{2} = {16} over {25}]

[eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]에서 [eqn: theta]는 제[eqn: 3]사분면의 각이므로 [eqn: sin theta < 0]

∴ [eqn: sin theta = - {4} over {5}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {4} over {5}]	② [eqn: - {3} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^{3}-3x^{2}-9x+k=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

④

[eqn: f(x) = x^{3}-3x^{2}-9x+k]라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2}-6x-9 = 3(x+1)(x-3)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = -1] 또는 [eqn: x = 3]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = -1]에서 극댓값 [eqn: f(-1) = k+5]를 가지고, [eqn: x = 3]에서 극솟값 [eqn: f(3) = k-27]을 가진다.

삼차방정식 [eqn: f(x) = 0]이 서로 다른 두 실근을 가지려면 (극댓값) [eqn: times] (극솟값) [eqn: = 0]이어야 하므로

[eqn: (k+5)(k-27) = 0]에서 [eqn: k = -5] 또는 [eqn: k = 27]

모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -5+27=22]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 13]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 25]

[eqn: a_{1} a_{2} < 0]인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{6} = 16], [eqn: 2 a_{8} - 3 a_{7} = 32]
일 때, [eqn: a_{9} + a_{11}]의 값은?

①

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a_{1}], 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_{1} a_{2} = a_{1} times a_{1} r = a_{1}^{2} r < 0]에서 [eqn: a_{1}^{2} > 0]이므로 [eqn: r < 0]

[eqn: 2 a_{8} - 3 a_{7} = 32]에서 [eqn: a_{8} = a_{6} r^{2}], [eqn: a_{7} = a_{6} r]이므로

[eqn: 2 a_{6} r^{2} - 3 a_{6} r = 32]

[eqn: a_{6} = 16]을 대입하면 [eqn: 16(2r^{2} - 3r) = 32]에서 [eqn: 2r^{2} - 3r - 2 = 0]

[eqn: (2r+1)(r-2) = 0] ∴ [eqn: r = - {1} over {2}] 또는 [eqn: r = 2]

[eqn: r < 0]이므로 [eqn: r = - {1} over {2}]

[eqn: a_{9} + a_{11} = a_{6} r^{3} + a_{6} r^{5}]이므로

[eqn: a_{9} + a_{11} = 16 times left ( - {1} over {8} right ) + 16 times left ( - {1} over {32} right ) = -2 - {1} over {2} = - {5} over {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: - {3} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x- {1} over {2}&``` LEFT ( x<0 RIGHT )#-x ^{2} +3&``` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]
에 대하여 함수 [eqn: (f(x) + a)^{2}]이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x neq 0]에서 연속이므로 함수 [eqn: (f(x) + a)^{2}]이 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x = 0]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> 0-} (f(x) + a)^{2} = left ( - {1} over {2} + a right )^{2}]

[eqn: lim from {x -> 0+} (f(x) + a)^{2} = (3 + a)^{2}], [eqn: (f(0) + a)^{2} = (3 + a)^{2}]

함수 [eqn: (f(x) + a)^{2}]이 [eqn: x = 0]에서 연속이려면

[eqn: lim from {x -> 0-} (f(x) + a)^{2} = lim from {x -> 0+} (f(x) + a)^{2} = (f(0) + a)^{2}]이어야 하므로 [eqn: left ( - {1} over {2} + a right )^{2} = (3 + a)^{2}]

[eqn: - {1} over {2} + a = 3 + a] 또는 [eqn: - {1} over {2} + a = -(3 + a)]

[eqn: - {1} over {2} + a = 3 + a]를 만족시키는 실수 [eqn: a]는 존재하지 않으므로

[eqn: - {1} over {2} + a = -3 - a]에서 [eqn: 2a = - {5} over {2}] ∴ [eqn: a = - {5} over {4}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - {9} over {4}]	② [eqn: - {7} over {4}]	③ [eqn: - {5} over {4}]

④ [eqn: - {3} over {4}]	⑤ [eqn: - {1} over {4}]

다음 조건을 만족시키는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이가 [eqn: 9 pi]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

(가) [eqn: 3 sin A = 2 sin B]

(나) [eqn: cos B = cos C]

⑤

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면

외접원의 넓이가 [eqn: 9 pi]이므로 [eqn: pi R^{2} = 9 pi]에서 [eqn: R = 3]

조건 (나)에서 [eqn: cos B = cos C] 이고 [eqn: 0 < B < pi], [eqn: 0 < C < pi]이므로 [eqn: B = C]

즉, 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: b = c]인 이등변삼각형이다.

조건 (가)의 [eqn: 3 sin A = 2 sin B]에 사인법칙을 적용하면

[eqn: 3 times {a} over {2R} = 2 times {b} over {2R}]에서 [eqn: 3a = 2b] ∴ [eqn: a = {2} over {3} b]

꼭짓점 [eqn: rmrmA]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

삼각형 [eqn: rmABC]는 이등변삼각형이므로 점 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점이다.

직각삼각형 [eqn: rmABH]에서 [eqn: rm cosB= {BH} over {AB} =it {{a} over {2}} over {b} = {a} over {2b}]

[eqn: a = {2} over {3} b]이므로 [eqn: cos B = {{2} over {3} b} over {2b} = {1} over {3}]

[eqn: sin^{2} B + cos^{2} B = 1]이고 [eqn: 0 < B < pi]이므로

[eqn: sin B = sqrt{1 - left ( {1} over {3} right )^{2}} = {2 sqrt{2}} over {3}]

사인법칙에서 [eqn: b = 2R sin B]이므로

[eqn: b = 2 times 3 times {2 sqrt{2}} over {3} = 4 sqrt{2}]

[eqn: b = c = 4 sqrt{2}]이고 [eqn: a = {2} over {3} b = {8 sqrt{2}} over {3}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = {1} over {2} a c sin B = {1} over {2} times {8 sqrt{2}} over {3} times 4 sqrt{2} times {2 sqrt{2}} over {3} = {64 sqrt{2}} over {9}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {32} over {9} sqrt{2}]	② [eqn: {40} over {9} sqrt{2}]	③ [eqn: {16} over {3} sqrt{2}]

④ [eqn: {56} over {9} sqrt{2}]	⑤ [eqn: {64} over {9} sqrt{2}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim_{x rightarrow a} {{f(x)-1} over {x-a}} = 3]
을 만족시킨다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,`f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

[eqn: lim from {x -> a} {{f(x)-1} over {x-a}} = 3]에서 [eqn: x -> a]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 [eqn: 0]으로 가야 한다.

[eqn: lim from {x -> a} left ( f(x)-1 right ) = 0]에서 [eqn: f(a) = 1]이고, 미분계수의 정의에 의해 [eqn: f'(a) = 3]이다.

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a, 1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y - 1 = 3(x - a)] 즉, [eqn: y = 3x - 3a + 1]

이 접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: 4]이므로 [eqn: -3a + 1 = 4] ∴ [eqn: a = -1]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: f(x) = x^{3} + px^{2} + qx]라 하면 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2px + q]

[eqn: a = -1]이므로 [eqn: f(-1) = 1], [eqn: f'(-1) = 3]을 대입하면

[eqn: f(-1) = -1 + p - q = 1]에서 [eqn: p - q = 2] ……①

[eqn: f'(-1) = 3 - 2p + q = 3]에서 [eqn: -2p + q = 0] ……②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: p = -2], [eqn: q = -4]

따라서 [eqn: f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 4x]이므로 [eqn: f(1) = 1 - 2 - 4 = -5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=1-2^{-x}] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점  [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=1-2^{-x}]과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmoverline{AB} = 2 overline{CD}]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

③

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하고 [eqn: 2^{-a} = t]라 하면 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 1]사분면의 점이므로 [eqn: a > 0]에서 [eqn: 0 < t < 1]이다.

네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 좌표를 [eqn: t]로 표현하면

[eqn: rm A(it-log _{2} t,1-t)], [eqn: rmB(it-log _{2} t, {1} over {t} )], [eqn: rmC(itlog _{2} (1-t),1-t)], [eqn: rmD(itlog _{2} (1-t), {-t} over {1-t} )]

선분 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmCD]의 길이는

[eqn: {bar{rmAB}} = {1} over {t} -(1-t)= {1-t+t ^{2}} over {t}]

[eqn: {bar{rmCD}} =(1-t)- {-t} over {1-t} = {1-t+t ^{2}} over {1-t}]

조건 [eqn: rmoverline{AB} = 2 overline{CD}]에서 [eqn: {1-t+t^{2}} over {t} = 2 times {1-t+t^{2}} over {1-t}]

[eqn: 1-t+t^{2} = left ( t - {1} over {2} right )^{2} + {3} over {4} > 0]이므로 양변을 [eqn: 1-t+t^{2}]으로 나누면 [eqn: {1} over {t} = {2} over {1-t}]에서 [eqn: 1-t = 2t] ∴ [eqn: t = {1} over {3}]

[eqn: t = {1} over {3}]을 대입하면 [eqn: rmoverline{AB} = {7} over {3}], [eqn: rmoverline{CD} = {7} over {6}]

사각형 [eqn: rmABCD]는 사다리꼴이고, 높이 [eqn: h]는 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표의 차이이므로

[eqn: h = -log_{2} {1} over {3} - log_{2} left ( 1 - {1} over {3} right ) = log_{2} 3 - log_{2} {2} over {3} = 2 log_{2} 3 - 1]

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} ( {bar{rmAB}} + {bar{rmCD}} )h= {1} over {2} LEFT ( {7} over {3} + {7} over {6} RIGHT ) (2log _{2} 3-1)= {7} over {2} `log _{2} 3- {7} over {4}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: rm{5} over {2} log_{2} 3 - {5} over {4}]	② [eqn: rm3 log_{2} 3 - {3} over {2}]	③ [eqn: rm{7} over {2} log_{2} 3 - {7} over {4}]

④ [eqn: 4 log_{2} 3 - 2]	⑤ [eqn: rm{9} over {2} log_{2} 3 - {9} over {4}]

곡선 [eqn: y = {1} over {4} x^{3} + {1} over {2} x]와 직선 [eqn: y = mx + 2] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A], 곡선 [eqn: y = {1} over {4} x^{3} + {1} over {2} x]와 두 직선 [eqn: y = mx + 2], [eqn: x = 2]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B]라 하자. [eqn: B - A = {2} over {3}]일 때, 상수 [eqn: m]의 값은? (단, [eqn: m < -1])

③

[eqn: f(x) = {1} over {4} x^{3} + {1} over {2} x], [eqn: g(x) = mx + 2]라 하자.

곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = g(x)]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha] ([eqn: 0 < alpha < 2])라 하면

[eqn: A = int from {0} to {alpha} left { g(x) - f(x) right } dx], [eqn: B = int from {alpha} to {2} left { f(x) - g(x) right } dx]

[eqn: B - A = int from {alpha} to {2} left { f(x) - g(x) right } dx - int from {0} to {alpha} left { g(x) - f(x) right } dx]

[eqn: = int from {alpha} to {2} left { f(x) - g(x) right } dx + int from {0} to {alpha} left { f(x) - g(x) right } dx][eqn: = int from {0} to {2} left { f(x) - g(x) right } dx]

[eqn: B - A = {2} over {3}]이므로

[eqn: int from {0} to {2} left { {1} over {4} x^{3} + left ( {1} over {2} - m right ) x - 2 right } dx = {2} over {3}]

[eqn: left [ {1} over {16} x^{4} + {1} over {2} left ( {1} over {2} - m right ) x^{2} - 2x right ] _{0} ^{2} = {2} over {3}]

[eqn: 1 + 2 left ( {1} over {2} - m right ) - 4 = {2} over {3}]

[eqn: -2 - 2m = {2} over {3}]에서 [eqn: 2m = - {8} over {3}] ∴ [eqn: m = - {4} over {3}]

[eqn: m = - {4} over {3}]은 [eqn: m < -1]을 만족한다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: - {17} over {12}]	③ [eqn: - {4} over {3}]

④ [eqn: - {5} over {4}]	⑤ [eqn: - {7} over {6}]

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은?

[eqn: log_{2} sqrt{-n^{2}+10n+75} - log_{4} (75-kn)]의 값이 양수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: 12]이다.

④

로그의 진수 조건에서

[eqn: -n^{2}+10n+75 > 0]에서 [eqn: n^{2}-10n-75 < 0]

[eqn: (n+5)(n-15) < 0] ∴ [eqn: -5 < n < 15]

[eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n < 15] ……①

[eqn: 75-kn > 0]에서 [eqn: n < {75} over {k}] ……②

주어진 조건에서 [eqn: log_{2} sqrt{-n^{2}+10n+75} - log_{4} (75-kn) > 0]이므로

[eqn: log_{4} (-n^{2}+10n+75) > log_{4} (75-kn)]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: -n^{2}+10n+75 > 75-kn], [eqn: n^{2}-(10+k)n < 0]

[eqn: n(n-10-k) < 0], [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n < 10+k] ……③

①, ②, ③을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: 12]가 되려면 [eqn: 15], [eqn: {75} over {k}], [eqn: 10+k] 중 최솟값을 [eqn: M]이라 할 때

[eqn: 12 < M leq 13]이어야 한다.

[eqn: k]는 자연수이므로

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때, [eqn: M = 11] (조건 불만족)

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때, [eqn: M = 12] (조건 불만족)

(ⅲ) [eqn: k=3]일 때, [eqn: M = 13] (조건 만족)

(ⅳ) [eqn: k=4]일 때, [eqn: M = 14] (조건 불만족)

(ⅴ) [eqn: k=5]일 때, [eqn: M = 15] (조건 불만족)

(ⅵ) [eqn: k=6]일 때, [eqn: M = {25} over {2} = 12.5] (조건 만족)

(ⅶ) [eqn: k geq 7]일 때, [eqn: {75} over {k} leq {75} over {7} < 11]이므로 [eqn: M < 11] (조건 불만족)

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 6]이므로 합은 [eqn: 9]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 상수 [eqn: k][eqn: LEFT ( k GEQ 0 RIGHT )]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2x-k&``` LEFT ( x LEQ k RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x>k RIGHT )}}]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{0}^{x} g(t) left { left | t(t-1) right | + t(t-1) right } dt geq 0]이고
[eqn: int_{3}^{x} g(t) left { left | (t-1)(t+2) right | - (t-1)(t+2) right } dt geq 0]이다.

[eqn: g(k+1)]의 최솟값은?

②

조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 [eqn: x=k]에서 연속이고 미분계수가 존재한다.

[eqn: g(k) = 2k-k = k]이므로 [eqn: f(k) = k]

[eqn: x < k]에서 [eqn: g'(x) = 2]이므로 [eqn: f'(k) = 2]

또한 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 증가하므로 [eqn: x > k]에서 [eqn: f'(x) geq 0]이다.

조건 (나)의 첫 번째 식에서 [eqn: h_{1}(t) = left | t(t-1) right | + t(t-1)]이라 하면

[eqn: h_{1}(t) = left { matrix { 2t(t-1) & left ( t leq 0 right ) # 2t(t-1) & left ( t geq 1 right ) # 0 & left ( 0 < t < 1 right ) } right .]

[eqn: x > 1]일 때 [eqn: int_{0}^{x} g(t) h_{1}(t) dt = int_{1}^{x} g(t) times 2t(t-1) dt geq 0]

[eqn: t > 1]에서 [eqn: 2t(t-1) > 0]이므로 [eqn: x > 1]인 모든 [eqn: x]에 대하여 위 부등식이 성립하려면 [eqn: g(1) geq 0]이어야 한다.

조건 (나)의 두 번째 식에서 [eqn: h_{2}(t) = left | (t-1)(t+2) right | - (t-1)(t+2)]라 하면

[eqn: h_{2}(t) = left { matrix { -2(t-1)(t+2) & left ( -2 < t < 1 right ) # 0 & left ( t leq -2 right ) # 0 & left ( t geq 1 right ) } right .]

[eqn: x < 1]일 때 [eqn: int_{3}^{x} g(t) h_{2}(t) dt = int_{1}^{x} g(t) h_{2}(t) dt = - int_{x}^{1} g(t) h_{2}(t) dt geq 0]

즉, [eqn: int_{x}^{1} g(t) h_{2}(t) dt leq 0]

[eqn: x < 1]에서 [eqn: h_{2}(t) geq 0]이므로 [eqn: x < 1]인 모든 [eqn: x]에 대하여 위 부등식이 성립하려면 [eqn: g(1) leq 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: g(1) = 0]이다.

[eqn: k]의 값의 범위를 나누어 [eqn: g(1)=0]을 만족하는 [eqn: k]를 구하면

(ⅰ) [eqn: k geq 1]일 때

[eqn: g(1) = 2(1) - k = 0]에서 [eqn: k = 2]

(ⅱ) [eqn: 0 leq k < 1]일 때

[eqn: g(1) = f(1) = 0]

[eqn: g(x)]가 증가함수이므로 [eqn: g(k) = k leq g(1) = 0]에서 [eqn: k = 0]

[eqn: k = 0]이면 [eqn: g(0) = 0], [eqn: g(1) = 0]이 되어 [eqn: g(x)]가 증가함수라는 조건에 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: k = 2]

[eqn: f(2) = 2], [eqn: f'(2) = 2]이므로 [eqn: f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c]라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b]

[eqn: f'(2) = 12 + 4a + b = 2]에서 [eqn: b = -4a - 10]

[eqn: f(2) = 8 + 4a + 2(-4a - 10) + c = 2]에서 [eqn: c = 4a + 14]

∴ [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2ax - 4a - 10]

[eqn: x > 2]에서 [eqn: f'(x) geq 0]이 항상 성립해야 하므로

[eqn: f'(x) = 3 left ( x + {a} over {3} right )^{2} - {a^{2}} over {3} - 4a - 10 geq 0]

(ⅰ) [eqn: - {a} over {3} leq 2], 즉 [eqn: a geq -6]일 때

[eqn: x > 2]에서 [eqn: f'(x)]는 증가하므로 [eqn: f'(2) = 2 geq 0]이 되어 항상 성립한다.

(ⅱ) [eqn: - {a} over {3} > 2], 즉 [eqn: a < -6]일 때

[eqn: x > 2]에서 [eqn: f'(x)]의 최솟값은 [eqn: - {a^{2}} over {3} - 4a - 10]이므로

[eqn: - {a^{2}} over {3} - 4a - 10 geq 0]에서 [eqn: a^{2} + 12a + 30 leq 0]

[eqn: -6 - sqrt{6} leq a leq -6 + sqrt{6}]

[eqn: a < -6]이므로 [eqn: -6 - sqrt{6} leq a < -6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a geq -6 - sqrt{6}]

구하고자 하는 값은 [eqn: g(k+1) = g(3) = f(3)]이므로

[eqn: f(3) = 27 + 9a + 3(-4a - 10) + 4a + 14 = a + 11]

[eqn: a geq -6 - sqrt{6}]이므로 [eqn: f(3) geq 5 - sqrt{6}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 4 - sqrt{6}]	② [eqn: 5 - sqrt{6}]	③ [eqn: 6 - sqrt{6}]

④ [eqn: 7 - sqrt{6}]	⑤ [eqn: 8 - sqrt{6}]

방정식 [eqn: log_{2}(x+1)-5=log_{1 over 2}(x-3)]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

로그의 진수 조건에서 [eqn: x+1 > 0], [eqn: x-3 > 0]이므로

[eqn: x > 3] ……①

방정식 [eqn: log_{2}(x+1)-5=log_{1 over 2}(x-3)]에서

[eqn: log_{1 over 2}(x-3) = -log_{2}(x-3)]이므로

[eqn: log_{2}(x+1) + log_{2}(x-3) = 5]

[eqn: log_{2} left { (x+1)(x-3) right } = 5]

로그의 정의에 의해 [eqn: (x+1)(x-3) = 2^{5}]에서

[eqn: x^{2} - 2x - 35 = 0]

[eqn: (x-7)(x+5) = 0] ∴ [eqn: x = 7] 또는 [eqn: x = -5]

①에 의해 [eqn: x > 3]이므로 [eqn: x = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 6x^{2} + 2]이고 [eqn: f(0) = 3]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 23]

[eqn: f'(x) = 6x^{2} + 2]이므로

[eqn: f(x) = int (6x^{2} + 2) dx = 2x^{3} + 2x + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 3]에서 [eqn: C = 3]

[eqn: f(x) = 2x^{3} + 2x + 3]이므로

[eqn: f(2) = 16 + 4 + 3 = 23]

따라서 정답은 [eqn: 23]이다.

[eqn: sum_{k=1}^{9} (ak^{2}-10k) = 120]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

시그마의 성질에 의해 주어진 식을 정리하면

[eqn: a sum from {k=1} to {9} k^{2} - 10 sum from {k=1} to {9} k = 120]

자연수의 거듭제곱의 합 공식에서

[eqn: sum from {k=1} to {9} k^{2} = {9 times 10 times 19} over {6} = 285], [eqn: sum from {k=1} to {9} k = {9 times 10} over {2} = 45]이므로

[eqn: 285a - 10 times 45 = 120]에서 [eqn: 285a = 570] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t geq 0])에서의 속도 [eqn: v(t)]가
[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {cases{-t ^{2} +t+2&``` LEFT ( 0 LEQ t LEQ 3 RIGHT )#k LEFT ( t-3 RIGHT ) -4&``` LEFT ( t>3 RIGHT )}}]
이다. 출발한 후 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 1]일 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: 0 leq t leq 3]에서 [eqn: v(t) = -t^{2}+t+2 = -(t-2)(t+1)]이므로 [eqn: v(t)=0]인 시각은 [eqn: t=2]이다.

[eqn: t=2]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 [eqn: t=2]에서 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 첫 번째로 바뀐다.

[eqn: t > 3]에서 [eqn: v(t) = k(t-3)-4]이고 [eqn: k>0]이므로 [eqn: v(t)=0]인 시각은 [eqn: t = 3 + {4} over {k}]이다.

[eqn: t = 3 + {4} over {k}]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: t = 3 + {4} over {k}]에서 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 두 번째로 바뀐다.

시각 [eqn: t=0]에서의 위치가 [eqn: 0]이므로 시각 [eqn: t = 3 + {4} over {k}]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: int _{0} ^{3} {} (-t ^{2} +t+2)dt+ int _{3} ^{3+ {4} over {k}} {} (k(t-3)-4)dt][eqn: = LEFT [ - {1} over {3} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2} +2t RIGHT ] _{0} ^{3} + LEFT [ {k} over {2} (t-3) ^{2} -4(t-3) RIGHT ] _{3} ^{3+ {4} over {k}}][eqn: = {3} over {2} - {8} over {k}]

점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 1]이므로 [eqn: {3} over {2} - {8} over {k} = 1]에서 [eqn: {8} over {k} = {1} over {2}] [eqn: therefore k = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

[eqn: 5] 이하의 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 열린구간 [eqn: (0, 2 pi)]에서 정의된 함수 [eqn: y = a sin x + b]의 그래프가 직선 [eqn: x = pi]와 만나는 점의 집합을 [eqn: A]라 하고, 두 직선 [eqn: y = 1], [eqn: y = 3]과 만나는 점의 집합을 각각 [eqn: B], [eqn: C] 라 하자. [eqn: n(A cup B cup C) = 3]이 되도록 하는 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]에 대하여 [eqn: a + b]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M times m]의 값을 구하시오.

[eqn: 24]

함수 [eqn: y = a sin x + b]의 그래프와 직선 [eqn: x = pi]가 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: a sin pi + b = b]이므로

[eqn: A = left { ( pi, b) right }]이고 [eqn: n(A) = 1]이다.

집합 [eqn: B]는 [eqn: y = 1], 집합 [eqn: C]는 [eqn: y = 3] 위의 점들의 집합이므로 [eqn: B cap C = emptyset]이다.

[eqn: b]의 값에 따라 집합 [eqn: A]와 [eqn: B], [eqn: C]의 포함 관계를 나누어 생각한다.

(ⅰ) [eqn: b = 1]일 때

[eqn: A subset B]이므로 [eqn: n(A cup B cup C) = n(B) + n(C) = 3]이다.

집합 [eqn: B]는 [eqn: a sin x + 1 = 1]에서 [eqn: sin x = 0]을 만족하는 점의 집합이다.

[eqn: 0 < x < 2 pi]에서 [eqn: sin x = 0]의 해는 [eqn: x = pi]뿐이므로 [eqn: n(B) = 1]이다.

따라서 [eqn: n(C) = 2]이어야 한다.

집합 [eqn: C]는 [eqn: a sin x + 1 = 3]에서 [eqn: sin x = {2} over {a}]를 만족하는 점의 집합이므로

[eqn: 0 < {2} over {a} < 1]에서 [eqn: a > 2]이다.

[eqn: a]는 [eqn: 5] 이하의 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

가능한 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (3, 1)], [eqn: (4, 1)], [eqn: (5, 1)]이다.

(ⅱ) [eqn: b = 3]일 때

[eqn: A subset C]이므로 [eqn: n(A cup B cup C) = n(B) + n(C) = 3]이다.

집합 [eqn: C]는 [eqn: a sin x + 3 = 3]에서 [eqn: sin x = 0]을 만족하는 점의 집합이므로 [eqn: n(C) = 1]이다.

따라서 [eqn: n(B) = 2]이어야 한다.

집합 [eqn: B]는 [eqn: a sin x + 3 = 1]에서 [eqn: sin x = - {2} over {a}]를 만족하는 점의 집합이므로

[eqn: -1 < - {2} over {a} < 0]에서 [eqn: a > 2]이다.

[eqn: a]는 [eqn: 5] 이하의 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

가능한 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (3, 3)], [eqn: (4, 3)], [eqn: (5, 3)]이다.

(ⅲ) [eqn: b in left { 2, 4, 5 right }]일 때

[eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]는 모두 서로소이므로 [eqn: n(A cup B cup C) = 1 + n(B) + n(C) = 3]에서 [eqn: n(B) + n(C) = 2]이다.

집합 [eqn: B]는 [eqn: sin x = {1-b} over {a}], 집합 [eqn: C]는 [eqn: sin x = {3-b} over {a}]를 만족하는 점의 집합이다.

[eqn: b = 2]이면 [eqn: sin x = - {1} over {a}]와 [eqn: sin x = {1} over {a}]의 해의 개수의 합이 [eqn: 2]이어야 하므로 [eqn: a = 1]이다.

[eqn: b = 4]이면 [eqn: sin x = - {3} over {a}]와 [eqn: sin x = - {1} over {a}]의 해의 개수의 합이 [eqn: 2]이어야 하므로 [eqn: a = 2]이다.

[eqn: b = 5]이면 [eqn: sin x = - {4} over {a}]와 [eqn: sin x = - {2} over {a}]의 해의 개수의 합이 [eqn: 2]이어야 하므로 [eqn: a = 3]이다.

가능한 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 2)], [eqn: (2, 4)], [eqn: (3, 5)]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구한 순서쌍 [eqn: (a, b)]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은

[eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]이다.

따라서 [eqn: M = 8], [eqn: m = 3]이므로 [eqn: M times m = 24]

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f'(a) leq 0]인 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

(나) 집합 [eqn: left { x | f(x) = k right }]의 원소의 개수가 [eqn: 3] 이상이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: {8} over {3}]이다.

[eqn: f(0) = 0], [eqn: f'(1) = 0]일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 4]인 삼차함수이다.

조건 (가)에서 [eqn: f'(a) leq 0]인 실수 [eqn: a]의 최댓값이 [eqn: 2]이므로 [eqn: f'(2) = 0]이고 [eqn: x > 2]에서 [eqn: f'(x) > 0]이다.

[eqn: f'(1) = 0]이므로 [eqn: f'(x) = 4(x-1)(x-2)(x-alpha)]라 하자.

[eqn: f'(a) leq 0]인 [eqn: a]의 최댓값이 [eqn: 2]가 되려면 [eqn: alpha < 2]이어야 한다.

[eqn: f'(x) = 4(x^3 - (alpha+3)x^2 + (3alpha+2)x - 2alpha)]이므로

[eqn: f(x) = x^4 - {4(alpha+3)} over {3}x^3 + 2(3alpha+2)x^2 - 8alpha x + C]

[eqn: f(0) = 0]이므로 [eqn: C = 0]

∴ [eqn: f(x) = x^4 - {4(alpha+3)} over {3}x^3 + 2(3alpha+2)x^2 - 8alpha x]

조건 (나)에서 방정식 [eqn: f(x) = k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3] 이상이 되려면 사차함수 [eqn: f(x)]의 그래프 개형상 [eqn: f'(x) = 0]이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 [eqn: alpha neq 1]이다.

[eqn: f(2) = 16 - {32(alpha+3)} over {3} + 8(3alpha+2) - 16alpha = -{8} over {3}alpha]

(ⅰ) [eqn: alpha < 1]일 때

방정식 [eqn: f(x) = k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3] 이상이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: f(alpha)]와 [eqn: f(2)] 중 크거나 같은 값이다.

[eqn: f( alpha )= alpha ^{4} - {4( alpha +3)} over {3} alpha ^{3} +2(3 alpha +2) alpha ^{2} -8 alpha ^{2}][eqn: =- {1} over {3} alpha ^{2(( alpha -3) ^{2}} +3) LEQ 0]

조건 (나)에서 [eqn: k]의 최솟값이 [eqn: {8} over {3}]이므로 [eqn: f(2) = -{8} over {3}alpha = {8} over {3}]에서 [eqn: alpha = -1]

이때 [eqn: f(-1) = -{19} over {3}]이므로 [eqn: f(-1)]과 [eqn: f(2)] 중 크거나 같은 값은 [eqn: f(2) = {8} over {3}]이 되어 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) [eqn: 1 < alpha < 2]일 때

방정식 [eqn: f(x) = k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3] 이상이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: f(1)]과 [eqn: f(2)] 중 크거나 같은 값이다.

[eqn: f(1) = 1 - {4(alpha+3)} over {3} + 2(3alpha+2) - 8alpha = 1 - {10} over {3}alpha]

[eqn: 1 < alpha < 2]이므로 [eqn: f(1) < -{7} over {3}]이고, [eqn: f(2) = -{8} over {3}alpha < -{8} over {3}]이므로 [eqn: f(1)]과 [eqn: f(2)] 중 크거나 같은 값이 [eqn: {8} over {3}]이 될 수 없다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: alpha = -1]이므로

[eqn: f(x) = x^4 - {8} over {3}x^3 - 2x^2 + 8x]

따라서 [eqn: f(3) = 81 - 72 - 18 + 24 = 15]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은
[eqn: a_{2} = -a_{1}]
이고, [eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} - sqrt {n} TIMES a _{sqrt {n}}&``` LEFT ( sqrt {n} 이``자연수이고``a _{n} >0인``경우 RIGHT )#a _{n} +1&``` LEFT ( 그``외의``경우 RIGHT )}}]
를 만족시킨다. [eqn: a_{15} = 1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 곱을 구하시오.

[eqn: 231]

[eqn: a_{1} = k]라 하면 주어진 조건에 의해 [eqn: a_{2} = -k]

[eqn: n=2, 3]일 때 [eqn: sqrt{n}]은 자연수가 아니므로

[eqn: a_{3} = a_{2} + 1 = -k + 1]

[eqn: a_{4} = a_{3} + 1 = -k + 2]

[eqn: n=10, 11, 12, 13, 14]일 때 [eqn: sqrt{n}]은 자연수가 아니므로

[eqn: a_{15} = a_{10} + 5]

[eqn: a_{15} = 1]에서 [eqn: a_{10} = -4]

[eqn: n=4]일 때 [eqn: sqrt{4} = 2]이므로 [eqn: a_{4}]의 부호에 따라 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: a_{4} > 0], 즉 [eqn: k < 2]일 때

[eqn: a_{5} = a_{4} - 2a_{2} = (-k + 2) - 2(-k) = k + 2]

[eqn: n=5, 6, 7, 8]일 때 [eqn: sqrt{n}]은 자연수가 아니므로

[eqn: a_{9} = a_{5} + 4 = k + 6]

[eqn: n=9]일 때 [eqn: sqrt{9} = 3]이므로 [eqn: a_{9}]의 부호에 따라 경우를 나눈다.

① [eqn: a_{9} > 0], 즉 [eqn: k > -6]일 때 ([eqn: -6 < k < 2])

[eqn: a_{10} = a_{9} - 3a_{3} = (k + 6) - 3(-k + 1) = 4k + 3]

[eqn: 4k + 3 = -4]에서 [eqn: k = - {7} over {4}] (조건 만족)

② [eqn: a_{9} leq 0], 즉 [eqn: k leq -6]일 때

[eqn: a_{10} = a_{9} + 1 = k + 7]

[eqn: k + 7 = -4]에서 [eqn: k = -11] (조건 만족)

(ⅱ) [eqn: a_{4} leq 0], 즉 [eqn: k geq 2]일 때

[eqn: a_{5} = a_{4} + 1 = -k + 3]

[eqn: n=5, 6, 7, 8]일 때 [eqn: sqrt{n}]은 자연수가 아니므로

[eqn: a_{9} = a_{5} + 4 = -k + 7]

[eqn: n=9]일 때 [eqn: sqrt{9} = 3]이므로 [eqn: a_{9}]의 부호에 따라 경우를 나눈다.

① [eqn: a_{9} > 0], 즉 [eqn: k < 7]일 때 ([eqn: 2 leq k < 7])

[eqn: a_{10} = a_{9} - 3a_{3} = (-k + 7) - 3(-k + 1) = 2k + 4]

[eqn: 2k + 4 = -4]에서 [eqn: k = -4] (조건 불만족)

② [eqn: a_{9} leq 0], 즉 [eqn: k geq 7]일 때

[eqn: a_{10} = a_{9} + 1 = -k + 8]

[eqn: -k + 8 = -4]에서 [eqn: k = 12] (조건 만족)

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값은 [eqn: - {7} over {4}], [eqn: -11], [eqn: 12]이므로 그 곱은

[eqn: left ( - {7} over {4} right ) times (-11) times 12 = 231]

따라서 정답은 [eqn: 231]이다.

네 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

③

네 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 [eqn: 1]이 [eqn: 2]개 있으므로

구하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!} = 12]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B] 는 서로 배반사건이고
[eqn: P(A ^{C} `)= {5} over {6}], [eqn: P(A cup B) = {3} over {4}]
일 때, [eqn: P(B^{C})]의 값은?

②

여사건의 확률의 성질에 의해

[eqn: P(A) = 1 - P(A^{C}) = 1 - {5} over {6} = {1} over {6}]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 배반사건이므로 확률의 덧셈정리에 의해

[eqn: P(A cup B) = P(A) + P(B)]

[eqn: {3} over {4} = {1} over {6} + P(B)]에서 [eqn: P(B) = {3} over {4} - {1} over {6} = {7} over {12}]

여사건의 확률의 성질에 의해

[eqn: P(B^{C}) = 1 - P(B) = 1 - {7} over {12} = {5} over {12}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {11} over {24}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {13} over {24}]

다항식 [eqn: (x^{2}-2)^{5}]의 전개식에서 [eqn: x^{6}]의 계수는?

④

다항식 [eqn: (x^{2}-2)^{5}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{5} rm C _{it r rm} ( it x ^{2} ) ^{5-r} (-2) ^{r} = _{5} rm C _{it r rm} (it-2) ^{r} x ^{10-2r}] (단, [eqn: r=0, 1, 2, 3, 4, 5])

[eqn: x^{6}] 항은 [eqn: 10-2r = 6]일 때이므로 [eqn: 2r = 4] ∴ [eqn: r = 2]

따라서 [eqn: x^{6}]의 계수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{2}} (-2)^{2} = 10 times 4 = 40]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -50]	② [eqn: -20]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 70]

문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 문자열 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 문자 [eqn: a]가 한 개만 포함되거나 문자 [eqn: b]가 한 개만 포함된 문자열이 선택될 확률은?

③

문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 [eqn: 4^{4} = 256]

선택된 문자열에 문자 [eqn: a]가 한 개만 포함되는 사건을 [eqn: A], 문자 [eqn: b]가 한 개만 포함되는 사건을 [eqn: B]라 하자.

사건 [eqn: A]는 [eqn: 4]개의 자리 중 [eqn: a]가 들어갈 [eqn: 1]개의 자리를 선택하고, 나머지 [eqn: 3]개의 자리에 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 나열하는 경우이므로

[eqn: n(A)= _{4} rmC _{1} TIMES 3 ^{3} =4 TIMES 27=108]

마찬가지로 사건 [eqn: B]의 경우의 수는

[eqn: n(B)= _{4} rmC _{1} TIMES 3 ^{3} =108]

사건 [eqn: A cap B]는 문자 [eqn: a]가 한 개, 문자 [eqn: b]가 한 개 포함되는 경우이다.

[eqn: 4]개의 자리 중 [eqn: a]가 들어갈 [eqn: 1]개의 자리를 선택하고, 남은 [eqn: 3]개의 자리 중 [eqn: b]가 들어갈 [eqn: 1]개의 자리를 선택한 후, 나머지 [eqn: 2]개의 자리에 [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 나열하는 경우이므로

[eqn: n(A SMALLINTER B)= _{4} rmC _{1} TIMES _{3} C _{1} TIMES 2 ^{2} =4 TIMES 3 TIMES 4=48]

따라서 문자 [eqn: a]가 한 개만 포함되거나 문자 [eqn: b]가 한 개만 포함되는 사건 [eqn: A cup B]의 경우의 수는

[eqn: n(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B)][eqn: = 108 + 108 - 48 = 168]

구하는 확률은

[eqn: P(A cup B) = {168} over {256} = {21} over {32}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {41} over {64}]	③ [eqn: {21} over {32}]

④ [eqn: {43} over {64}]	⑤ [eqn: {11} over {16}]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 의자가 있다. 이 [eqn: 6]개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 합이 [eqn: 11]이 되지 않도록 배열하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

①

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수 중 서로 다른 두 수의 합이 [eqn: 11]이 되는 경우는 [eqn: 5]와 [eqn: 6]뿐이다.

[eqn: 6]개의 의자를 원형으로 배열하는 전체 경우의 수는 [eqn: (6-1)! = 5! = 120]

[eqn: 5]와 [eqn: 6]이 적혀 있는 의자가 서로 이웃하게 배열되는 경우의 수는 [eqn: 5]와 [eqn: 6]을 하나의 묶음으로 생각하여 [eqn: 5]개를 원형으로 배열하는 경우의 수에 [eqn: 5]와 [eqn: 6]이 자리를 바꾸는 경우의 수를 곱한 것과 같으므로 [eqn: (5-1)! times 2! = 4! times 2 = 48]

구하는 경우의 수는 전체 경우의 수에서 [eqn: 5]와 [eqn: 6]이 이웃하는 경우의 수를 뺀 것과 같으므로 [eqn: 120 - 48 = 72]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 72]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 84]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 96]

탁자 위에 놓인 [eqn: 4]개의 동전에 대하여 다음 시행을 한다.

[eqn: 4]개의 동전 중 임의로 한 개의 동전을 택하여 한 번 뒤집는다.

처음에 [eqn: 3]개의 동전은 앞면이 보이도록, [eqn: 1]개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 위의 시행을 [eqn: 5]번 반복한 후 [eqn: 4]개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있을 때, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은?

①

[eqn: n]번째 시행 후 앞면이 보이는 동전의 개수를 확률변수 [eqn: X_{n}]이라 하면 초기 상태에서 앞면이 [eqn: 3]개, 뒷면이 [eqn: 1]개이므로 [eqn: X_{0} = 3]이다.

앞면이 [eqn: k]개일 때 [eqn: 1]번의 시행 후 앞면의 개수가 [eqn: k-1]개가 될 확률은 [eqn: {k} over {4}]이고, [eqn: k+1]개가 될 확률은 [eqn: {4-k} over {4}]이다.

[eqn: 1]회 시행 후 앞면의 개수에 대한 확률은

[eqn: P(X_{1}=2) = P(X_{0}=3) times {3} over {4} = {3} over {4}]

[eqn: P(X_{1}=4) = P(X_{0}=3) times {1} over {4} = {1} over {4}]

[eqn: 2]회 시행 후 앞면의 개수에 대한 확률은

[eqn: P(X_{2}=1) = P(X_{1}=2) times {2} over {4} = {3} over {4} times {2} over {4} = {3} over {8}]

[eqn: P(X _{2} =3)=P(X _{1} =2) TIMES {2} over {4} +P(X _{1} =4) TIMES {4} over {4} = {5} over {8}]

[eqn: 3]회 시행 후 앞면의 개수에 대한 확률은

[eqn: P(X_{3}=0) = P(X_{2}=1) times {1} over {4} = {3} over {8} times {1} over {4} = {3} over {32}]

[eqn: P(X _{3} =2)=P(X _{2} =1) TIMES {3} over {4} +P(X _{2} =3) TIMES {3} over {4} = {24} over {32}]

[eqn: P(X_{3}=4) = P(X_{2}=3) times {1} over {4} = {5} over {8} times {1} over {4} = {5} over {32}]

[eqn: 4]회 시행 후 앞면의 개수에 대한 확률은

[eqn: P(X _{4} =1)=P(X _{3} =0) TIMES {4} over {4} +P(X _{3} =2) TIMES {2} over {4} = {15} over {32}]

[eqn: P(X _{4} =3)=P(X _{3} =2) TIMES {2} over {4} +P(X _{3} =4) TIMES {4} over {4} = {17} over {32}]

[eqn: 5]회 시행 후 [eqn: 4]개의 동전이 모두 같은 면이 보이려면 앞면이 [eqn: 0]개이거나 [eqn: 4]개이어야 하므로

[eqn: P(X_{5}=0) = P(X_{4}=1) times {1} over {4} = {15} over {32} times {1} over {4} = {15} over {128}]

[eqn: P(X_{5}=4) = P(X_{4}=3) times {1} over {4} = {17} over {32} times {1} over {4} = {17} over {128}]

구하는 확률은 [eqn: 5]회 시행 후 [eqn: 4]개의 동전이 모두 같은 면이 보일 때, 모두 앞면이 보일 조건부확률이므로

[eqn: {P(X_{5}=4)} over {P(X_{5}=0) + P(X_{5}=4)} = {{17} over {128}} over {{15} over {128} + {17} over {128}} = {17} over {32}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {17} over {32}]	② [eqn: {35} over {64}]	③ [eqn: {9} over {16}]

④ [eqn: {37} over {64}]	⑤ [eqn: {19} over {32}]

[eqn: 40]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 각각의 공은 흰 공 또는 검은 공 중 하나이다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공 [eqn: 2]개를 꺼낼 확률을 [eqn: p], 흰 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 1]개를 꺼낼 확률을 [eqn: q], 검은 공 [eqn: 2]개를 꺼낼 확률을 [eqn: r]이라 하자. [eqn: p=q]일 때, [eqn: 60r]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p>0])

[eqn: 6]

흰 공의 개수를 [eqn: w], 검은 공의 개수를 [eqn: b]라 하면

[eqn: w + b = 40] ……①

주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{40}} C _{{2}}]이므로

[eqn: p= {{} _{w} rmC _{2}} over {{} _{40} rmC _{2}} = {w(w-1)} over {40 TIMES 39}]

[eqn: q= {{} _{w} rmC _{1} TIMES _{b} rmC _{1}} over {{} _{40} rmC _{2}} = {2wb} over {40 TIMES 39}]

[eqn: r= {{} _{b} rmC _{2}} over {{} _{40} rmC _{2}} = {b(b-1)} over {40 TIMES 39}]

조건에서 [eqn: p = q]이므로 [eqn: {w(w-1)} over {40 times 39} = {2wb} over {40 times 39}]

[eqn: w(w-1) = 2wb]

이때 [eqn: p > 0]이므로 [eqn: w geq 2]이고 [eqn: w neq 0]이다.

양변을 [eqn: w]로 나누면 [eqn: w - 1 = 2b] ……②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: 40 - b - 1 = 2b]에서 [eqn: 3b = 39]

∴ [eqn: b = 13]

[eqn: b = 13]을 [eqn: r]의 식에 대입하면 [eqn: r = {13 times 12} over {40 times 39} = {1} over {10}]

따라서 [eqn: 60r = 60 times {1} over {10} = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

집합 [eqn: X= LEFT { -2,`-1,`0,`1,`2 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f : X rightarrow X]의 개수를 구하시오.

(가) [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x + f(x) in X]이다.

(나) [eqn: x = -2, -1, 0, 1]일 때 [eqn: f(x) geq f(x+1)]이다.

[eqn: 108]

조건 (가)에서 [eqn: x in X]에 대하여 [eqn: x + f(x) in X]이고 [eqn: f(x) in X]이므로

[eqn: x = -2]일 때, [eqn: -2 + f(-2) in X]에서 [eqn: f(-2) in left { 0, 1, 2 right }]

[eqn: x = -1]일 때, [eqn: -1 + f(-1) in X]에서 [eqn: f(-1) in left { -1, 0, 1, 2 right }]

[eqn: x = 0]일 때, [eqn: 0 + f(0) in X]에서 [eqn: f(0) in left { -2, -1, 0, 1, 2 right }]

[eqn: x = 1]일 때, [eqn: 1 + f(1) in X]에서 [eqn: f(1) in left { -2, -1, 0, 1 right }]

[eqn: x = 2]일 때, [eqn: 2 + f(2) in X]에서 [eqn: f(2) in left { -2, -1, 0 right }]

조건 (나)에서 [eqn: f(-2) geq f(-1) geq f(0) geq f(1) geq f(2)]이므로 [eqn: f(0)]의 값을 기준으로 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f(0) = 2]일 때

[eqn: f(-2) geq f(-1) geq 2]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(-2), f(-1))]은 [eqn: (2, 2)]의 [eqn: 1]개이다.

[eqn: 2 geq f(1) geq f(2)]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(1), f(2))]는

[eqn: f(1) = 1]일 때 [eqn: 3]개, [eqn: f(1) = 0]일 때 [eqn: 3]개, [eqn: f(1) = -1]일 때 [eqn: 2]개, [eqn: f(1) = -2]일 때 [eqn: 1]개이므로 총 [eqn: 9]개이다.

이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 1 times 9 = 9]이다.

(ⅱ) [eqn: f(0) = 1]일 때

[eqn: f(-2) geq f(-1) geq 1]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(-2), f(-1))]은

[eqn: f(-2) = 2]일 때 [eqn: 2]개, [eqn: f(-2) = 1]일 때 [eqn: 1]개이므로 총 [eqn: 3]개이다.

[eqn: 1 geq f(1) geq f(2)]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(1), f(2))]는 (ⅰ)과 같이 [eqn: 9]개이다.

이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 3 times 9 = 27]이다.

(ⅲ) [eqn: f(0) = 0]일 때

[eqn: f(-2) geq f(-1) geq 0]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(-2), f(-1))]은

[eqn: f(-2) = 2]일 때 [eqn: 3]개, [eqn: f(-2) = 1]일 때 [eqn: 2]개, [eqn: f(-2) = 0]일 때 [eqn: 1]개이므로 총 [eqn: 6]개이다.

[eqn: 0 geq f(1) geq f(2)]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(1), f(2))]는

[eqn: f(1) = 0]일 때 [eqn: 3]개, [eqn: f(1) = -1]일 때 [eqn: 2]개, [eqn: f(1) = -2]일 때 [eqn: 1]개이므로 총 [eqn: 6]개이다.

이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 6 times 6 = 36]이다.

(ⅳ) [eqn: f(0) = -1]일 때

[eqn: f(-2) geq f(-1) geq -1]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(-2), f(-1))]은

[eqn: f(-2) = 2]일 때 [eqn: 4]개, [eqn: f(-2) = 1]일 때 [eqn: 3]개, [eqn: f(-2) = 0]일 때 [eqn: 2]개이므로 총 [eqn: 9]개이다.

[eqn: -1 geq f(1) geq f(2)]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(1), f(2))]는

[eqn: f(1) = -1]일 때 [eqn: 2]개, [eqn: f(1) = -2]일 때 [eqn: 1]개이므로 총 [eqn: 3]개이다.

이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 9 times 3 = 27]이다.

(ⅴ) [eqn: f(0) = -2]일 때

[eqn: f(-2) geq f(-1) geq -2]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(-2), f(-1))]은

[eqn: f(-1) in left { -1, 0, 1, 2 right }]이므로 (ⅳ)와 같이 총 [eqn: 9]개이다.

[eqn: -2 geq f(1) geq f(2)]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(1), f(2))]는 [eqn: (-2, -2)]의 [eqn: 1]개이다.

이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 9 times 1 = 9]이다.

따라서 (ⅰ)~(ⅴ)에 의해 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 9 + 27 + 36 + 27 + 9 = 108]

따라서 정답은 [eqn: 108]이다.