수학ETF	2024년_고3_6월	기출문제
	1~30
	기하

[eqn: left ( {5} over {root {3} of {25}} right )^{3 over 2}] 의 값은?

④

[eqn: root {3} of {25} = root {3} of {5^{2}} = 5^{2 over 3}]이므로

[eqn: left ( {5} over {root {3} of {25}} right )^{3 over 2} = left ( {5} over {5^{2 over 3}} right )^{3 over 2} = left ( 5^{1 - {2 over 3}} right )^{3 over 2}]

[eqn: = left ( 5^{1 over 3} right )^{3 over 2} = 5^{1 over 2} = sqrt{5}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {sqrt{5}} over {5}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt{5}]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + x + 2]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(2+h) - f(2)} over {h}]의 값은?

⑤

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + x + 2]에서 도함수를 구하면 [eqn: f'(x) = 2x + 1]

미분계수의 정의에 의해 [eqn: lim from {h -> 0} {f(2+h) - f(2)} over {h} = f'(2)]

따라서 구하는 값은 [eqn: f'(2) = 2 times 2 + 1 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{5} (a_{k}+1) = 9]이고 [eqn: a_{6} = 4]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{6} a_{k}]의 값은?

③

[eqn: sum from {k=1} to {5} (a_{k}+1) = 9]에서

[eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} + sum from {k=1} to {5} 1 = 9], [eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} + 5 = 9] ∴ [eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} = 4]

[eqn: sum from {k=1} to {6} a_{k} = sum from {k=1} to {5} a_{k} + a_{6}]이고 [eqn: a_{6} = 4]이므로 [eqn: sum from {k=1} to {6} a_{k} = 4 + 4 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow 0+} f(x) + lim_{x rightarrow 1-} f(x)]의 값은?

③

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]보다 큰 쪽에서 [eqn: 0]에 한없이 가까워질 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 2]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim from {x -> 0+} f(x) = 2]

또한, [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]보다 작은 쪽에서 [eqn: 1]에 한없이 가까워질 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 1]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim from {x -> 1-} f(x) = 1]

[eqn: ∴ lim from {x -> 0+} f(x) + lim from {x -> 1-} f(x) = 2 + 1 = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=(x^{2}-1)(x^{2}+2x+2)]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값은?

⑤

함수의 곱의 미분법에 의하여

[eqn: f'(x) = (x^{2}-1)'(x^{2}+2x+2) + (x^{2}-1)(x^{2}+2x+2)']

[eqn: f'(x) = 2x(x^{2}+2x+2) + (x^{2}-1)(2x+2)]

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f'(1) = 2(1+2+2) + 0 = 10]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin left ( theta - {pi} over {2} right ) = {3} over {5}]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

①

[eqn: sin left ( theta - {pi} over {2} right ) = - sin left ( {pi} over {2} - theta right ) = - cos theta]이므로

[eqn: - cos theta = {3} over {5}]에서 [eqn: cos theta = - {3} over {5}]

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이므로

[eqn: sin^{2} theta = 1 - left ( - {3} over {5} right )^{2} = {16} over {25}]

[eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]에서 [eqn: theta]는 제[eqn: 3]사분면의 각이므로 [eqn: sin theta < 0]

∴ [eqn: sin theta = - {4} over {5}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {4} over {5}]	② [eqn: - {3} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^{3}-3x^{2}-9x+k=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

④

[eqn: f(x) = x^{3}-3x^{2}-9x+k]라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2}-6x-9 = 3(x+1)(x-3)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = -1] 또는 [eqn: x = 3]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = -1]에서 극댓값 [eqn: f(-1) = k+5]를 가지고, [eqn: x = 3]에서 극솟값 [eqn: f(3) = k-27]을 가진다.

삼차방정식 [eqn: f(x) = 0]이 서로 다른 두 실근을 가지려면 (극댓값) [eqn: times] (극솟값) [eqn: = 0]이어야 하므로

[eqn: (k+5)(k-27) = 0]에서 [eqn: k = -5] 또는 [eqn: k = 27]

모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -5+27=22]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 13]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 25]

[eqn: a_{1} a_{2} < 0]인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{6} = 16], [eqn: 2 a_{8} - 3 a_{7} = 32]
일 때, [eqn: a_{9} + a_{11}]의 값은?

①

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a_{1}], 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_{1} a_{2} = a_{1} times a_{1} r = a_{1}^{2} r < 0]에서 [eqn: a_{1}^{2} > 0]이므로 [eqn: r < 0]

[eqn: 2 a_{8} - 3 a_{7} = 32]에서 [eqn: a_{8} = a_{6} r^{2}], [eqn: a_{7} = a_{6} r]이므로

[eqn: 2 a_{6} r^{2} - 3 a_{6} r = 32]

[eqn: a_{6} = 16]을 대입하면 [eqn: 16(2r^{2} - 3r) = 32]에서 [eqn: 2r^{2} - 3r - 2 = 0]

[eqn: (2r+1)(r-2) = 0] ∴ [eqn: r = - {1} over {2}] 또는 [eqn: r = 2]

[eqn: r < 0]이므로 [eqn: r = - {1} over {2}]

[eqn: a_{9} + a_{11} = a_{6} r^{3} + a_{6} r^{5}]이므로

[eqn: a_{9} + a_{11} = 16 times left ( - {1} over {8} right ) + 16 times left ( - {1} over {32} right ) = -2 - {1} over {2} = - {5} over {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: - {3} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x- {1} over {2}&``` LEFT ( x<0 RIGHT )#-x ^{2} +3&``` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]
에 대하여 함수 [eqn: (f(x) + a)^{2}]이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x neq 0]에서 연속이므로 함수 [eqn: (f(x) + a)^{2}]이 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x = 0]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> 0-} (f(x) + a)^{2} = left ( - {1} over {2} + a right )^{2}]

[eqn: lim from {x -> 0+} (f(x) + a)^{2} = (3 + a)^{2}], [eqn: (f(0) + a)^{2} = (3 + a)^{2}]

함수 [eqn: (f(x) + a)^{2}]이 [eqn: x = 0]에서 연속이려면

[eqn: lim from {x -> 0-} (f(x) + a)^{2} = lim from {x -> 0+} (f(x) + a)^{2} = (f(0) + a)^{2}]이어야 하므로 [eqn: left ( - {1} over {2} + a right )^{2} = (3 + a)^{2}]

[eqn: - {1} over {2} + a = 3 + a] 또는 [eqn: - {1} over {2} + a = -(3 + a)]

[eqn: - {1} over {2} + a = 3 + a]를 만족시키는 실수 [eqn: a]는 존재하지 않으므로

[eqn: - {1} over {2} + a = -3 - a]에서 [eqn: 2a = - {5} over {2}] ∴ [eqn: a = - {5} over {4}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - {9} over {4}]	② [eqn: - {7} over {4}]	③ [eqn: - {5} over {4}]

④ [eqn: - {3} over {4}]	⑤ [eqn: - {1} over {4}]

다음 조건을 만족시키는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이가 [eqn: 9 pi]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

(가) [eqn: 3 sin A = 2 sin B]

(나) [eqn: cos B = cos C]

⑤

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면

외접원의 넓이가 [eqn: 9 pi]이므로 [eqn: pi R^{2} = 9 pi]에서 [eqn: R = 3]

조건 (나)에서 [eqn: cos B = cos C] 이고 [eqn: 0 < B < pi], [eqn: 0 < C < pi]이므로 [eqn: B = C]

즉, 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: b = c]인 이등변삼각형이다.

조건 (가)의 [eqn: 3 sin A = 2 sin B]에 사인법칙을 적용하면

[eqn: 3 times {a} over {2R} = 2 times {b} over {2R}]에서 [eqn: 3a = 2b] ∴ [eqn: a = {2} over {3} b]

꼭짓점 [eqn: rmrmA]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

삼각형 [eqn: rmABC]는 이등변삼각형이므로 점 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점이다.

직각삼각형 [eqn: rmABH]에서 [eqn: rm cosB= {BH} over {AB} =it {{a} over {2}} over {b} = {a} over {2b}]

[eqn: a = {2} over {3} b]이므로 [eqn: cos B = {{2} over {3} b} over {2b} = {1} over {3}]

[eqn: sin^{2} B + cos^{2} B = 1]이고 [eqn: 0 < B < pi]이므로

[eqn: sin B = sqrt{1 - left ( {1} over {3} right )^{2}} = {2 sqrt{2}} over {3}]

사인법칙에서 [eqn: b = 2R sin B]이므로

[eqn: b = 2 times 3 times {2 sqrt{2}} over {3} = 4 sqrt{2}]

[eqn: b = c = 4 sqrt{2}]이고 [eqn: a = {2} over {3} b = {8 sqrt{2}} over {3}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = {1} over {2} a c sin B = {1} over {2} times {8 sqrt{2}} over {3} times 4 sqrt{2} times {2 sqrt{2}} over {3} = {64 sqrt{2}} over {9}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {32} over {9} sqrt{2}]	② [eqn: {40} over {9} sqrt{2}]	③ [eqn: {16} over {3} sqrt{2}]

④ [eqn: {56} over {9} sqrt{2}]	⑤ [eqn: {64} over {9} sqrt{2}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim_{x rightarrow a} {{f(x)-1} over {x-a}} = 3]
을 만족시킨다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,`f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

[eqn: lim from {x -> a} {{f(x)-1} over {x-a}} = 3]에서 [eqn: x -> a]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 [eqn: 0]으로 가야 한다.

[eqn: lim from {x -> a} left ( f(x)-1 right ) = 0]에서 [eqn: f(a) = 1]이고, 미분계수의 정의에 의해 [eqn: f'(a) = 3]이다.

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a, 1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y - 1 = 3(x - a)] 즉, [eqn: y = 3x - 3a + 1]

이 접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: 4]이므로 [eqn: -3a + 1 = 4] ∴ [eqn: a = -1]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: f(x) = x^{3} + px^{2} + qx]라 하면 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2px + q]

[eqn: a = -1]이므로 [eqn: f(-1) = 1], [eqn: f'(-1) = 3]을 대입하면

[eqn: f(-1) = -1 + p - q = 1]에서 [eqn: p - q = 2] ……①

[eqn: f'(-1) = 3 - 2p + q = 3]에서 [eqn: -2p + q = 0] ……②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: p = -2], [eqn: q = -4]

따라서 [eqn: f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 4x]이므로 [eqn: f(1) = 1 - 2 - 4 = -5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=1-2^{-x}] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점  [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=1-2^{-x}]과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmoverline{AB} = 2 overline{CD}]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

③

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하고 [eqn: 2^{-a} = t]라 하면 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 1]사분면의 점이므로 [eqn: a > 0]에서 [eqn: 0 < t < 1]이다.

네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 좌표를 [eqn: t]로 표현하면

[eqn: rm A(it-log _{2} t,1-t)], [eqn: rmB(it-log _{2} t, {1} over {t} )], [eqn: rmC(itlog _{2} (1-t),1-t)], [eqn: rmD(itlog _{2} (1-t), {-t} over {1-t} )]

선분 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmCD]의 길이는

[eqn: {bar{rmAB}} = {1} over {t} -(1-t)= {1-t+t ^{2}} over {t}]

[eqn: {bar{rmCD}} =(1-t)- {-t} over {1-t} = {1-t+t ^{2}} over {1-t}]

조건 [eqn: rmoverline{AB} = 2 overline{CD}]에서 [eqn: {1-t+t^{2}} over {t} = 2 times {1-t+t^{2}} over {1-t}]

[eqn: 1-t+t^{2} = left ( t - {1} over {2} right )^{2} + {3} over {4} > 0]이므로 양변을 [eqn: 1-t+t^{2}]으로 나누면 [eqn: {1} over {t} = {2} over {1-t}]에서 [eqn: 1-t = 2t] ∴ [eqn: t = {1} over {3}]

[eqn: t = {1} over {3}]을 대입하면 [eqn: rmoverline{AB} = {7} over {3}], [eqn: rmoverline{CD} = {7} over {6}]

사각형 [eqn: rmABCD]는 사다리꼴이고, 높이 [eqn: h]는 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표의 차이이므로

[eqn: h = -log_{2} {1} over {3} - log_{2} left ( 1 - {1} over {3} right ) = log_{2} 3 - log_{2} {2} over {3} = 2 log_{2} 3 - 1]

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} ( {bar{rmAB}} + {bar{rmCD}} )h= {1} over {2} LEFT ( {7} over {3} + {7} over {6} RIGHT ) (2log _{2} 3-1)= {7} over {2} `log _{2} 3- {7} over {4}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: rm{5} over {2} log_{2} 3 - {5} over {4}]	② [eqn: rm3 log_{2} 3 - {3} over {2}]	③ [eqn: rm{7} over {2} log_{2} 3 - {7} over {4}]

④ [eqn: 4 log_{2} 3 - 2]	⑤ [eqn: rm{9} over {2} log_{2} 3 - {9} over {4}]

곡선 [eqn: y = {1} over {4} x^{3} + {1} over {2} x]와 직선 [eqn: y = mx + 2] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A], 곡선 [eqn: y = {1} over {4} x^{3} + {1} over {2} x]와 두 직선 [eqn: y = mx + 2], [eqn: x = 2]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B]라 하자. [eqn: B - A = {2} over {3}]일 때, 상수 [eqn: m]의 값은? (단, [eqn: m < -1])

③

[eqn: f(x) = {1} over {4} x^{3} + {1} over {2} x], [eqn: g(x) = mx + 2]라 하자.

곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = g(x)]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha] ([eqn: 0 < alpha < 2])라 하면

[eqn: A = int from {0} to {alpha} left { g(x) - f(x) right } dx], [eqn: B = int from {alpha} to {2} left { f(x) - g(x) right } dx]

[eqn: B - A = int from {alpha} to {2} left { f(x) - g(x) right } dx - int from {0} to {alpha} left { g(x) - f(x) right } dx]

[eqn: = int from {alpha} to {2} left { f(x) - g(x) right } dx + int from {0} to {alpha} left { f(x) - g(x) right } dx][eqn: = int from {0} to {2} left { f(x) - g(x) right } dx]

[eqn: B - A = {2} over {3}]이므로

[eqn: int from {0} to {2} left { {1} over {4} x^{3} + left ( {1} over {2} - m right ) x - 2 right } dx = {2} over {3}]

[eqn: left [ {1} over {16} x^{4} + {1} over {2} left ( {1} over {2} - m right ) x^{2} - 2x right ] _{0} ^{2} = {2} over {3}]

[eqn: 1 + 2 left ( {1} over {2} - m right ) - 4 = {2} over {3}]

[eqn: -2 - 2m = {2} over {3}]에서 [eqn: 2m = - {8} over {3}] ∴ [eqn: m = - {4} over {3}]

[eqn: m = - {4} over {3}]은 [eqn: m < -1]을 만족한다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: - {17} over {12}]	③ [eqn: - {4} over {3}]

④ [eqn: - {5} over {4}]	⑤ [eqn: - {7} over {6}]

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은?

[eqn: log_{2} sqrt{-n^{2}+10n+75} - log_{4} (75-kn)]의 값이 양수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: 12]이다.

④

로그의 진수 조건에서

[eqn: -n^{2}+10n+75 > 0]에서 [eqn: n^{2}-10n-75 < 0]

[eqn: (n+5)(n-15) < 0] ∴ [eqn: -5 < n < 15]

[eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n < 15] ……①

[eqn: 75-kn > 0]에서 [eqn: n < {75} over {k}] ……②

주어진 조건에서 [eqn: log_{2} sqrt{-n^{2}+10n+75} - log_{4} (75-kn) > 0]이므로

[eqn: log_{4} (-n^{2}+10n+75) > log_{4} (75-kn)]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: -n^{2}+10n+75 > 75-kn], [eqn: n^{2}-(10+k)n < 0]

[eqn: n(n-10-k) < 0], [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n < 10+k] ……③

①, ②, ③을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: 12]가 되려면 [eqn: 15], [eqn: {75} over {k}], [eqn: 10+k] 중 최솟값을 [eqn: M]이라 할 때

[eqn: 12 < M leq 13]이어야 한다.

[eqn: k]는 자연수이므로

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때, [eqn: M = 11] (조건 불만족)

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때, [eqn: M = 12] (조건 불만족)

(ⅲ) [eqn: k=3]일 때, [eqn: M = 13] (조건 만족)

(ⅳ) [eqn: k=4]일 때, [eqn: M = 14] (조건 불만족)

(ⅴ) [eqn: k=5]일 때, [eqn: M = 15] (조건 불만족)

(ⅵ) [eqn: k=6]일 때, [eqn: M = {25} over {2} = 12.5] (조건 만족)

(ⅶ) [eqn: k geq 7]일 때, [eqn: {75} over {k} leq {75} over {7} < 11]이므로 [eqn: M < 11] (조건 불만족)

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 6]이므로 합은 [eqn: 9]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 상수 [eqn: k][eqn: LEFT ( k GEQ 0 RIGHT )]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2x-k&``` LEFT ( x LEQ k RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x>k RIGHT )}}]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{0}^{x} g(t) left { left | t(t-1) right | + t(t-1) right } dt geq 0]이고
[eqn: int_{3}^{x} g(t) left { left | (t-1)(t+2) right | - (t-1)(t+2) right } dt geq 0]이다.

[eqn: g(k+1)]의 최솟값은?

②

조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 [eqn: x=k]에서 연속이고 미분계수가 존재한다.

[eqn: g(k) = 2k-k = k]이므로 [eqn: f(k) = k]

[eqn: x < k]에서 [eqn: g'(x) = 2]이므로 [eqn: f'(k) = 2]

또한 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 증가하므로 [eqn: x > k]에서 [eqn: f'(x) geq 0]이다.

조건 (나)의 첫 번째 식에서 [eqn: h_{1}(t) = left | t(t-1) right | + t(t-1)]이라 하면

[eqn: h_{1}(t) = left { matrix { 2t(t-1) & left ( t leq 0 right ) # 2t(t-1) & left ( t geq 1 right ) # 0 & left ( 0 < t < 1 right ) } right .]

[eqn: x > 1]일 때 [eqn: int_{0}^{x} g(t) h_{1}(t) dt = int_{1}^{x} g(t) times 2t(t-1) dt geq 0]

[eqn: t > 1]에서 [eqn: 2t(t-1) > 0]이므로 [eqn: x > 1]인 모든 [eqn: x]에 대하여 위 부등식이 성립하려면 [eqn: g(1) geq 0]이어야 한다.

조건 (나)의 두 번째 식에서 [eqn: h_{2}(t) = left | (t-1)(t+2) right | - (t-1)(t+2)]라 하면

[eqn: h_{2}(t) = left { matrix { -2(t-1)(t+2) & left ( -2 < t < 1 right ) # 0 & left ( t leq -2 right ) # 0 & left ( t geq 1 right ) } right .]

[eqn: x < 1]일 때 [eqn: int_{3}^{x} g(t) h_{2}(t) dt = int_{1}^{x} g(t) h_{2}(t) dt = - int_{x}^{1} g(t) h_{2}(t) dt geq 0]

즉, [eqn: int_{x}^{1} g(t) h_{2}(t) dt leq 0]

[eqn: x < 1]에서 [eqn: h_{2}(t) geq 0]이므로 [eqn: x < 1]인 모든 [eqn: x]에 대하여 위 부등식이 성립하려면 [eqn: g(1) leq 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: g(1) = 0]이다.

[eqn: k]의 값의 범위를 나누어 [eqn: g(1)=0]을 만족하는 [eqn: k]를 구하면

(ⅰ) [eqn: k geq 1]일 때

[eqn: g(1) = 2(1) - k = 0]에서 [eqn: k = 2]

(ⅱ) [eqn: 0 leq k < 1]일 때

[eqn: g(1) = f(1) = 0]

[eqn: g(x)]가 증가함수이므로 [eqn: g(k) = k leq g(1) = 0]에서 [eqn: k = 0]

[eqn: k = 0]이면 [eqn: g(0) = 0], [eqn: g(1) = 0]이 되어 [eqn: g(x)]가 증가함수라는 조건에 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: k = 2]

[eqn: f(2) = 2], [eqn: f'(2) = 2]이므로 [eqn: f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c]라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b]

[eqn: f'(2) = 12 + 4a + b = 2]에서 [eqn: b = -4a - 10]

[eqn: f(2) = 8 + 4a + 2(-4a - 10) + c = 2]에서 [eqn: c = 4a + 14]

∴ [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2ax - 4a - 10]

[eqn: x > 2]에서 [eqn: f'(x) geq 0]이 항상 성립해야 하므로

[eqn: f'(x) = 3 left ( x + {a} over {3} right )^{2} - {a^{2}} over {3} - 4a - 10 geq 0]

(ⅰ) [eqn: - {a} over {3} leq 2], 즉 [eqn: a geq -6]일 때

[eqn: x > 2]에서 [eqn: f'(x)]는 증가하므로 [eqn: f'(2) = 2 geq 0]이 되어 항상 성립한다.

(ⅱ) [eqn: - {a} over {3} > 2], 즉 [eqn: a < -6]일 때

[eqn: x > 2]에서 [eqn: f'(x)]의 최솟값은 [eqn: - {a^{2}} over {3} - 4a - 10]이므로

[eqn: - {a^{2}} over {3} - 4a - 10 geq 0]에서 [eqn: a^{2} + 12a + 30 leq 0]

[eqn: -6 - sqrt{6} leq a leq -6 + sqrt{6}]

[eqn: a < -6]이므로 [eqn: -6 - sqrt{6} leq a < -6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a geq -6 - sqrt{6}]

구하고자 하는 값은 [eqn: g(k+1) = g(3) = f(3)]이므로

[eqn: f(3) = 27 + 9a + 3(-4a - 10) + 4a + 14 = a + 11]

[eqn: a geq -6 - sqrt{6}]이므로 [eqn: f(3) geq 5 - sqrt{6}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 4 - sqrt{6}]	② [eqn: 5 - sqrt{6}]	③ [eqn: 6 - sqrt{6}]

④ [eqn: 7 - sqrt{6}]	⑤ [eqn: 8 - sqrt{6}]

방정식 [eqn: log_{2}(x+1)-5=log_{1 over 2}(x-3)]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

로그의 진수 조건에서 [eqn: x+1 > 0], [eqn: x-3 > 0]이므로

[eqn: x > 3] ……①

방정식 [eqn: log_{2}(x+1)-5=log_{1 over 2}(x-3)]에서

[eqn: log_{1 over 2}(x-3) = -log_{2}(x-3)]이므로

[eqn: log_{2}(x+1) + log_{2}(x-3) = 5]

[eqn: log_{2} left { (x+1)(x-3) right } = 5]

로그의 정의에 의해 [eqn: (x+1)(x-3) = 2^{5}]에서

[eqn: x^{2} - 2x - 35 = 0]

[eqn: (x-7)(x+5) = 0] ∴ [eqn: x = 7] 또는 [eqn: x = -5]

①에 의해 [eqn: x > 3]이므로 [eqn: x = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 6x^{2} + 2]이고 [eqn: f(0) = 3]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 23]

[eqn: f'(x) = 6x^{2} + 2]이므로

[eqn: f(x) = int (6x^{2} + 2) dx = 2x^{3} + 2x + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 3]에서 [eqn: C = 3]

[eqn: f(x) = 2x^{3} + 2x + 3]이므로

[eqn: f(2) = 16 + 4 + 3 = 23]

따라서 정답은 [eqn: 23]이다.

[eqn: sum_{k=1}^{9} (ak^{2}-10k) = 120]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

시그마의 성질에 의해 주어진 식을 정리하면

[eqn: a sum from {k=1} to {9} k^{2} - 10 sum from {k=1} to {9} k = 120]

자연수의 거듭제곱의 합 공식에서

[eqn: sum from {k=1} to {9} k^{2} = {9 times 10 times 19} over {6} = 285], [eqn: sum from {k=1} to {9} k = {9 times 10} over {2} = 45]이므로

[eqn: 285a - 10 times 45 = 120]에서 [eqn: 285a = 570] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t geq 0])에서의 속도 [eqn: v(t)]가
[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {cases{-t ^{2} +t+2&``` LEFT ( 0 LEQ t LEQ 3 RIGHT )#k LEFT ( t-3 RIGHT ) -4&``` LEFT ( t>3 RIGHT )}}]
이다. 출발한 후 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 1]일 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: 0 leq t leq 3]에서 [eqn: v(t) = -t^{2}+t+2 = -(t-2)(t+1)]이므로 [eqn: v(t)=0]인 시각은 [eqn: t=2]이다.

[eqn: t=2]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 [eqn: t=2]에서 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 첫 번째로 바뀐다.

[eqn: t > 3]에서 [eqn: v(t) = k(t-3)-4]이고 [eqn: k>0]이므로 [eqn: v(t)=0]인 시각은 [eqn: t = 3 + {4} over {k}]이다.

[eqn: t = 3 + {4} over {k}]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: t = 3 + {4} over {k}]에서 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 두 번째로 바뀐다.

시각 [eqn: t=0]에서의 위치가 [eqn: 0]이므로 시각 [eqn: t = 3 + {4} over {k}]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: int _{0} ^{3} {} (-t ^{2} +t+2)dt+ int _{3} ^{3+ {4} over {k}} {} (k(t-3)-4)dt][eqn: = LEFT [ - {1} over {3} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2} +2t RIGHT ] _{0} ^{3} + LEFT [ {k} over {2} (t-3) ^{2} -4(t-3) RIGHT ] _{3} ^{3+ {4} over {k}}][eqn: = {3} over {2} - {8} over {k}]

점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 1]이므로 [eqn: {3} over {2} - {8} over {k} = 1]에서 [eqn: {8} over {k} = {1} over {2}] [eqn: therefore k = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

[eqn: 5] 이하의 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 열린구간 [eqn: (0, 2 pi)]에서 정의된 함수 [eqn: y = a sin x + b]의 그래프가 직선 [eqn: x = pi]와 만나는 점의 집합을 [eqn: A]라 하고, 두 직선 [eqn: y = 1], [eqn: y = 3]과 만나는 점의 집합을 각각 [eqn: B], [eqn: C] 라 하자. [eqn: n(A cup B cup C) = 3]이 되도록 하는 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]에 대하여 [eqn: a + b]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M times m]의 값을 구하시오.

[eqn: 24]

함수 [eqn: y = a sin x + b]의 그래프와 직선 [eqn: x = pi]가 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: a sin pi + b = b]이므로

[eqn: A = left { ( pi, b) right }]이고 [eqn: n(A) = 1]이다.

집합 [eqn: B]는 [eqn: y = 1], 집합 [eqn: C]는 [eqn: y = 3] 위의 점들의 집합이므로 [eqn: B cap C = emptyset]이다.

[eqn: b]의 값에 따라 집합 [eqn: A]와 [eqn: B], [eqn: C]의 포함 관계를 나누어 생각한다.

(ⅰ) [eqn: b = 1]일 때

[eqn: A subset B]이므로 [eqn: n(A cup B cup C) = n(B) + n(C) = 3]이다.

집합 [eqn: B]는 [eqn: a sin x + 1 = 1]에서 [eqn: sin x = 0]을 만족하는 점의 집합이다.

[eqn: 0 < x < 2 pi]에서 [eqn: sin x = 0]의 해는 [eqn: x = pi]뿐이므로 [eqn: n(B) = 1]이다.

따라서 [eqn: n(C) = 2]이어야 한다.

집합 [eqn: C]는 [eqn: a sin x + 1 = 3]에서 [eqn: sin x = {2} over {a}]를 만족하는 점의 집합이므로

[eqn: 0 < {2} over {a} < 1]에서 [eqn: a > 2]이다.

[eqn: a]는 [eqn: 5] 이하의 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

가능한 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (3, 1)], [eqn: (4, 1)], [eqn: (5, 1)]이다.

(ⅱ) [eqn: b = 3]일 때

[eqn: A subset C]이므로 [eqn: n(A cup B cup C) = n(B) + n(C) = 3]이다.

집합 [eqn: C]는 [eqn: a sin x + 3 = 3]에서 [eqn: sin x = 0]을 만족하는 점의 집합이므로 [eqn: n(C) = 1]이다.

따라서 [eqn: n(B) = 2]이어야 한다.

집합 [eqn: B]는 [eqn: a sin x + 3 = 1]에서 [eqn: sin x = - {2} over {a}]를 만족하는 점의 집합이므로

[eqn: -1 < - {2} over {a} < 0]에서 [eqn: a > 2]이다.

[eqn: a]는 [eqn: 5] 이하의 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

가능한 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (3, 3)], [eqn: (4, 3)], [eqn: (5, 3)]이다.

(ⅲ) [eqn: b in left { 2, 4, 5 right }]일 때

[eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]는 모두 서로소이므로 [eqn: n(A cup B cup C) = 1 + n(B) + n(C) = 3]에서 [eqn: n(B) + n(C) = 2]이다.

집합 [eqn: B]는 [eqn: sin x = {1-b} over {a}], 집합 [eqn: C]는 [eqn: sin x = {3-b} over {a}]를 만족하는 점의 집합이다.

[eqn: b = 2]이면 [eqn: sin x = - {1} over {a}]와 [eqn: sin x = {1} over {a}]의 해의 개수의 합이 [eqn: 2]이어야 하므로 [eqn: a = 1]이다.

[eqn: b = 4]이면 [eqn: sin x = - {3} over {a}]와 [eqn: sin x = - {1} over {a}]의 해의 개수의 합이 [eqn: 2]이어야 하므로 [eqn: a = 2]이다.

[eqn: b = 5]이면 [eqn: sin x = - {4} over {a}]와 [eqn: sin x = - {2} over {a}]의 해의 개수의 합이 [eqn: 2]이어야 하므로 [eqn: a = 3]이다.

가능한 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 2)], [eqn: (2, 4)], [eqn: (3, 5)]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구한 순서쌍 [eqn: (a, b)]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은

[eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]이다.

따라서 [eqn: M = 8], [eqn: m = 3]이므로 [eqn: M times m = 24]

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f'(a) leq 0]인 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

(나) 집합 [eqn: left { x | f(x) = k right }]의 원소의 개수가 [eqn: 3] 이상이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: {8} over {3}]이다.

[eqn: f(0) = 0], [eqn: f'(1) = 0]일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 4]인 삼차함수이다.

조건 (가)에서 [eqn: f'(a) leq 0]인 실수 [eqn: a]의 최댓값이 [eqn: 2]이므로 [eqn: f'(2) = 0]이고 [eqn: x > 2]에서 [eqn: f'(x) > 0]이다.

[eqn: f'(1) = 0]이므로 [eqn: f'(x) = 4(x-1)(x-2)(x-alpha)]라 하자.

[eqn: f'(a) leq 0]인 [eqn: a]의 최댓값이 [eqn: 2]가 되려면 [eqn: alpha < 2]이어야 한다.

[eqn: f'(x) = 4(x^3 - (alpha+3)x^2 + (3alpha+2)x - 2alpha)]이므로

[eqn: f(x) = x^4 - {4(alpha+3)} over {3}x^3 + 2(3alpha+2)x^2 - 8alpha x + C]

[eqn: f(0) = 0]이므로 [eqn: C = 0]

∴ [eqn: f(x) = x^4 - {4(alpha+3)} over {3}x^3 + 2(3alpha+2)x^2 - 8alpha x]

조건 (나)에서 방정식 [eqn: f(x) = k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3] 이상이 되려면 사차함수 [eqn: f(x)]의 그래프 개형상 [eqn: f'(x) = 0]이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 [eqn: alpha neq 1]이다.

[eqn: f(2) = 16 - {32(alpha+3)} over {3} + 8(3alpha+2) - 16alpha = -{8} over {3}alpha]

(ⅰ) [eqn: alpha < 1]일 때

방정식 [eqn: f(x) = k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3] 이상이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: f(alpha)]와 [eqn: f(2)] 중 크거나 같은 값이다.

[eqn: f( alpha )= alpha ^{4} - {4( alpha +3)} over {3} alpha ^{3} +2(3 alpha +2) alpha ^{2} -8 alpha ^{2}][eqn: =- {1} over {3} alpha ^{2(( alpha -3) ^{2}} +3) LEQ 0]

조건 (나)에서 [eqn: k]의 최솟값이 [eqn: {8} over {3}]이므로 [eqn: f(2) = -{8} over {3}alpha = {8} over {3}]에서 [eqn: alpha = -1]

이때 [eqn: f(-1) = -{19} over {3}]이므로 [eqn: f(-1)]과 [eqn: f(2)] 중 크거나 같은 값은 [eqn: f(2) = {8} over {3}]이 되어 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) [eqn: 1 < alpha < 2]일 때

방정식 [eqn: f(x) = k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3] 이상이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: f(1)]과 [eqn: f(2)] 중 크거나 같은 값이다.

[eqn: f(1) = 1 - {4(alpha+3)} over {3} + 2(3alpha+2) - 8alpha = 1 - {10} over {3}alpha]

[eqn: 1 < alpha < 2]이므로 [eqn: f(1) < -{7} over {3}]이고, [eqn: f(2) = -{8} over {3}alpha < -{8} over {3}]이므로 [eqn: f(1)]과 [eqn: f(2)] 중 크거나 같은 값이 [eqn: {8} over {3}]이 될 수 없다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: alpha = -1]이므로

[eqn: f(x) = x^4 - {8} over {3}x^3 - 2x^2 + 8x]

따라서 [eqn: f(3) = 81 - 72 - 18 + 24 = 15]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은
[eqn: a_{2} = -a_{1}]
이고, [eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} - sqrt {n} TIMES a _{sqrt {n}}&``` LEFT ( sqrt {n} 이``자연수이고``a _{n} >0인``경우 RIGHT )#a _{n} +1&``` LEFT ( 그``외의``경우 RIGHT )}}]
를 만족시킨다. [eqn: a_{15} = 1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 곱을 구하시오.

[eqn: 231]

[eqn: a_{1} = k]라 하면 주어진 조건에 의해 [eqn: a_{2} = -k]

[eqn: n=2, 3]일 때 [eqn: sqrt{n}]은 자연수가 아니므로

[eqn: a_{3} = a_{2} + 1 = -k + 1]

[eqn: a_{4} = a_{3} + 1 = -k + 2]

[eqn: n=10, 11, 12, 13, 14]일 때 [eqn: sqrt{n}]은 자연수가 아니므로

[eqn: a_{15} = a_{10} + 5]

[eqn: a_{15} = 1]에서 [eqn: a_{10} = -4]

[eqn: n=4]일 때 [eqn: sqrt{4} = 2]이므로 [eqn: a_{4}]의 부호에 따라 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: a_{4} > 0], 즉 [eqn: k < 2]일 때

[eqn: a_{5} = a_{4} - 2a_{2} = (-k + 2) - 2(-k) = k + 2]

[eqn: n=5, 6, 7, 8]일 때 [eqn: sqrt{n}]은 자연수가 아니므로

[eqn: a_{9} = a_{5} + 4 = k + 6]

[eqn: n=9]일 때 [eqn: sqrt{9} = 3]이므로 [eqn: a_{9}]의 부호에 따라 경우를 나눈다.

① [eqn: a_{9} > 0], 즉 [eqn: k > -6]일 때 ([eqn: -6 < k < 2])

[eqn: a_{10} = a_{9} - 3a_{3} = (k + 6) - 3(-k + 1) = 4k + 3]

[eqn: 4k + 3 = -4]에서 [eqn: k = - {7} over {4}] (조건 만족)

② [eqn: a_{9} leq 0], 즉 [eqn: k leq -6]일 때

[eqn: a_{10} = a_{9} + 1 = k + 7]

[eqn: k + 7 = -4]에서 [eqn: k = -11] (조건 만족)

(ⅱ) [eqn: a_{4} leq 0], 즉 [eqn: k geq 2]일 때

[eqn: a_{5} = a_{4} + 1 = -k + 3]

[eqn: n=5, 6, 7, 8]일 때 [eqn: sqrt{n}]은 자연수가 아니므로

[eqn: a_{9} = a_{5} + 4 = -k + 7]

[eqn: n=9]일 때 [eqn: sqrt{9} = 3]이므로 [eqn: a_{9}]의 부호에 따라 경우를 나눈다.

① [eqn: a_{9} > 0], 즉 [eqn: k < 7]일 때 ([eqn: 2 leq k < 7])

[eqn: a_{10} = a_{9} - 3a_{3} = (-k + 7) - 3(-k + 1) = 2k + 4]

[eqn: 2k + 4 = -4]에서 [eqn: k = -4] (조건 불만족)

② [eqn: a_{9} leq 0], 즉 [eqn: k geq 7]일 때

[eqn: a_{10} = a_{9} + 1 = -k + 8]

[eqn: -k + 8 = -4]에서 [eqn: k = 12] (조건 만족)

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값은 [eqn: - {7} over {4}], [eqn: -11], [eqn: 12]이므로 그 곱은

[eqn: left ( - {7} over {4} right ) times (-11) times 12 = 231]

따라서 정답은 [eqn: 231]이다.

두 벡터 [eqn: vec{a}]와 [eqn: vec{b}]에 대하여
[eqn: vec{a} + 3(vec{a} - vec{b}) = k vec{a} - 3 vec{b}]
이다. 실수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: vec{a} neq vec{0}], [eqn: vec{b} neq vec{0}])

④

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

[eqn: vec{a} + 3(vec{a} - vec{b}) = 4vec{a} - 3vec{b}]

이므로

[eqn: 4vec{a} - 3vec{b} = k vec{a} - 3 vec{b}]

[eqn: (4 - k)vec{a} = vec{0}]

[eqn: vec{a} neq vec{0}]이므로

[eqn: 4 - k = 0]

∴ [eqn: k = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

타원 [eqn: {x^{2}} over {18} + {y^{2}} over {b^{2}} = 1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 3,` sqrt {5} RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편은? (단, [eqn: b]는 양수이다.)

②

점 [eqn: (3, sqrt{5})]가 타원 [eqn: {x^{2}} over {18} + {y^{2}} over {b^{2}} = 1] 위의 점이므로

[eqn: {9} over {18} + {5} over {b^{2}} = 1]에서 [eqn: {5} over {b^{2}} = {1} over {2}] ∴ [eqn: b^{2} = 10]

따라서 타원의 방정식은 [eqn: {x^{2}} over {18} + {y^{2}} over {10} = 1]이다.

타원 위의 점 [eqn: (3, sqrt{5})]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {3x} over {18} + {sqrt{5}y} over {10} = 1]

즉, [eqn: {x} over {6} + {sqrt{5}y} over {10} = 1]이다.

이 직선의 [eqn: y]절편을 구하기 위해 [eqn: x = 0]을 대입하면

[eqn: {sqrt{5}y} over {10} = 1] ∴ [eqn: y = {10} over {sqrt{5}} = 2 sqrt{5}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {3} over {2} sqrt{5}]	② [eqn: 2 sqrt{5}]	③ [eqn: {5} over {2} sqrt{5}]

④ [eqn: 3 sqrt{5}]	⑤ [eqn: {7} over {2} sqrt{5}]

좌표평면에서 두 벡터 [eqn: {vec{a}} =(-3,`3)], [eqn: {vec{b}} =(1,`-1)]에 대하여 벡터 [eqn: vec{p}]가
[eqn: left | vec{p} - vec{a} right | = left | vec{b} right |]
를 만족시킬 때, [eqn: left | vec{p} - vec{b} right |]의 최솟값은?

④

[eqn: vec{b} = (1, -1)]이므로 [eqn: |vec{b}| = sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = sqrt{2}]

점 [eqn: rmP], [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 위치벡터를 각각 [eqn: vec{p}], [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]라 하면

[eqn: |vec{p} - vec{a}| = |vec{b}|]에서 [eqn: |vec{p} - vec{a}| = sqrt{2}]이므로

점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA(-3, 3)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt{2}]인 원 위의 점이다.

[eqn: |vec{p} - vec{b}|]는 원 위의 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmB(1, -1)] 사이의 거리이다.

두 점 [eqn: rmA(-3, 3)], [eqn: rmB(1, -1)] 사이의 거리는

[eqn: rmbar{AB} = sqrt{(1 - (-3))^{2} + (-1 - 3)^{2}} = sqrt{16 + 16} = 4 sqrt{2}]

따라서 [eqn: |vec{p} - vec{b}|]의 최솟값은 원의 중심 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmB] 사이의 거리에서 원의 반지름의 길이를 뺀 값과 같으므로

[eqn: 4 sqrt{2} - sqrt{2} = 3 sqrt{2}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {3} over {2} sqrt{2}]	② [eqn: 2 sqrt{2}]	③ [eqn: {5} over {2} sqrt{2}]

④ [eqn: 3 sqrt{2}]	⑤ [eqn: {7} over {2} sqrt{2}]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {b^{2}} = 1]의 한 초점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y = x]이고 [eqn: rmoverline{PQ} = 8]일 때, [eqn: a^{2} + b^{2} + c^{2}]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 양수이다.)

③

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {b^{2}} = 1]의 점근선의 방정식은 [eqn: y = +- {b} over {a} x]이다.

한 점근선의 방정식이 [eqn: y = x]이고 [eqn: a], [eqn: b]는 양수이므로

[eqn: {b} over {a} = 1]에서 [eqn: a = b]

쌍곡선의 초점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: c^{2} = a^{2} + b^{2}]이므로 [eqn: c^{2} = 2a^{2}]

점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선의 방정식은 [eqn: x = c]이다.

[eqn: x = c]를 쌍곡선의 방정식에 대입하면 [eqn: {c^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {b^{2}} = 1]

[eqn: c^{2} = 2a^{2}], [eqn: b^{2} = a^{2}]을 대입하면 [eqn: {2a^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}} = 1]에서 [eqn: 2 - {y^{2}} over {a^{2}} = 1]

[eqn: y^{2} = a^{2}] ∴ [eqn: y = +- a]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표는 각각 [eqn: (c, a)], [eqn: (c, -a)]이므로 [eqn: {bar{rmPQ}} =2a]

[eqn: {bar{rmPQ}} =8]이므로 [eqn: 2a = 8] ∴ [eqn: a = 4]

따라서 [eqn: a^{2} = 16], [eqn: b^{2} = 16], [eqn: c^{2} = 32]이므로

[eqn: a^{2} + b^{2} + c^{2} = 16 + 16 + 32 = 64]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 56]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 68]	⑤ [eqn: 72]

그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD]의 네 변의 중점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR], [eqn: rmS]를 꼭짓점으로 하는 타원의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 점 [eqn: rmF]를 초점, 직선 [eqn: rmAB]를 준선으로 하는 포물선이 세 점 [eqn: rmF'], [eqn: rmQ], [eqn: rmS]를 지난다. 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 [eqn: 32 sqrt{2}] 일 때, 선분 [eqn: rmFF']의 길이는?

②

타원의 중심을 원점 [eqn: rmO(0, 0)]이라 하면

네 꼭짓점은 [eqn: rmP(it-a,0)], [eqn: rmR(ita,0)], [eqn: rmS(it0,b)], [eqn: rmQ(it0,-b)]이고 두 초점은 [eqn: rmF(itc,0)], [eqn: rmF prime (it-c,0)]이다. (단, [eqn: a > c > 0], [eqn: b > 0])

타원의 성질에 의해 [eqn: a^{2} = b^{2} + c^{2}] ……①

직사각형 [eqn: rmABCD]의 가로 길이는 [eqn: 2a], 세로 길이는 [eqn: 2b]이므로 넓이는

[eqn: 2a times 2b = 4ab = 32 sqrt{2}]에서 [eqn: ab = 8 sqrt{2}] ……②

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: x = -a]이다.

포물선의 정의에 의해 점 [eqn: rmF']에서 초점 [eqn: rmF]까지의 거리와 준선 [eqn: x = -a]까지의 거리가 같으므로

[eqn: 2c = -c - (-a)]에서 [eqn: 2c = a - c]

∴ [eqn: a = 3c]

①에 [eqn: a = 3c]를 대입하면

[eqn: b^{2} = (3c)^{2} - c^{2} = 8c^{2}]

[eqn: b > 0], [eqn: c > 0]이므로 [eqn: b = 2 sqrt{2} c]

②에 [eqn: a = 3c], [eqn: b = 2 sqrt{2} c]를 대입하면

[eqn: 3c times 2 sqrt{2} c = 8 sqrt{2}]에서 [eqn: 6 sqrt{2} c^{2} = 8 sqrt{2}], [eqn: c^{2} = {4} over {3}]

[eqn: c > 0]이므로 [eqn: c = {2 sqrt{3}} over {3}]

선분 [eqn: rmFF']의 길이는 [eqn: 2c]이므로 [eqn: 2c = 2 times {2 sqrt{3}} over {3} = {4} over {3} sqrt{3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {7} over {6} sqrt{3}]	② [eqn: {4} over {3} sqrt{3}]	③ [eqn: {3} over {2} sqrt{3}]

④ [eqn: {5} over {3} sqrt{3}]	⑤ [eqn: {11} over {6} sqrt{3}]

좌표평면에서 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,`0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 1,`1 RIGHT )]에 대하여 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가
[eqn: rmleft | vec{OP} right | = 1], [eqn: rmleft | vec{BQ} right | = 3], [eqn: rmvec{AP} cdot (vec{QA} + vec{QP}) = 0]
을 만족시킨다. [eqn: rmleft | vec{PQ} right |]의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmvec{AP} cdot vec{BQ}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고,  [eqn: rmleft | vec{AP} right | > 0]이다.)

③

선분 [eqn: rmAP]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rmvec{QA} + vec{QP} = 2vec{QM}]이다.

조건에서 [eqn: rmvec{AP} cdot (vec{QA} + vec{QP}) = 0]이므로 [eqn: rmvec{AP} cdot 2vec{QM} = 0]에서 [eqn: rmvec{AP} cdot vec{QM} = 0]이다.

선분 [eqn: rmAP]와 선분 [eqn: rmQM]이 수직이므로 삼각형 [eqn: rmQAP]는 이등변삼각형이고 [eqn: rmleft | vec{QA} right | = left | vec{QP} right |]이다.

[eqn: rmleft | vec{PQ} right | = left | vec{QP} right | = left | vec{QA} right |]이므로 [eqn: rmleft | vec{PQ} right |]가 최소가 되는 상황은 점 [eqn: rmA(1, 0)]과 중심이 [eqn: rmB(1, 1)]이고 반지름이 [eqn: 3]인 원 위의 점 [eqn: rmQ] 사이의 거리가 최소가 되는 상황이다.

점 [eqn: rmA]와 중심 [eqn: rmB] 사이의 거리는 [eqn: rmrmbarAB`= sqrt {(1-1) ^{2} +(1-0) ^{2}} =1]이다.

점 [eqn: rmA]가 원 [eqn: B]의 내부에 있으므로 [eqn: rmleft | vec{QA} right |]의 최솟값은 [eqn: 3 - 1 = 2]이다.

[eqn: rmleft | vec{QA} right |]가 최소일 때 점 [eqn: rmQ]는 반직선 [eqn: rmBA]가 원과 만나는 점이므로 [eqn: rmvec{BQ}]의 방향은 [eqn: rmvec{BA}]와 같다.

[eqn: rmvec{BA} = (0, -1)]이고 [eqn: rmleft | vec{BQ} right | = 3]이므로 [eqn: rmvec{BQ} = (0, -3)]이다.

[eqn: rmvec{OQ} = vec{OB} + vec{BQ} = (1, 1) + (0, -3) = (1, -2)]이므로 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: (1, -2)]이다.

점 [eqn: rmP LEFT ( itx,`y RIGHT )]는 [eqn: x^{2} + y^{2} = 1] 위의 점이고 [eqn: rmleft | vec{QP} right | = left | vec{QA} right | = 2]이므로 [eqn: (x-1)^{2} + (y+2)^{2} = 4]를 만족한다.

[eqn: x^{2} + y^{2} = 1] ……①

[eqn: (x-1)^{2} + (y+2)^{2} = 4]에서 [eqn: x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 1 = 0] ……②

①을 ②에 대입하면 [eqn: 1 - 2x + 4y + 1 = 0]에서 [eqn: x = 2y + 1]

이를 ①에 대입하면 [eqn: (2y+1)^{2} + y^{2} = 1]에서 [eqn: 5y^{2} + 4y = 0]

[eqn: y(5y + 4) = 0] ∴ [eqn: y = 0] 또는 [eqn: y = - {4} over {5}]

[eqn: y = 0]일 때 [eqn: x = 1]이므로 [eqn: rmP(1, 0)]이고 이는 점 [eqn: rmA]와 일치하여 [eqn: rmleft | vec{AP} right | > 0] 조건에 위배된다.

[eqn: y = - {4} over {5}]일 때 [eqn: x = - {3} over {5}]이므로 [eqn: rmP left ( - {3} over {5}, - {4} over {5} right )]이다.

[eqn: rmvec{AP} = left ( - {3} over {5} - 1, - {4} over {5} - 0 right ) = left ( - {8} over {5}, - {4} over {5} right )]이므로

[eqn: rmvec{AP} cdot vec{BQ} = left ( - {8} over {5} right ) times 0 + left ( - {4} over {5} right ) times (-3) = {12} over {5}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {6} over {5}]	② [eqn: {9} over {5}]	③ [eqn: {12} over {5}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {18} over {5}]

좌표평면에 곡선 [eqn: left | y^{2} - 1 right | = {x^{2}} over {a^{2}}]과 네 점 [eqn: rmA LEFT ( it0,`c+1 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it0,`-c-1 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmD LEFT ( it-c,`0 RIGHT )]이 있다. 곡선 위의 점 중 [eqn: y]좌표의 절댓값이 [eqn: 1]보다 작거나 같은 모든 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmoverline{PC} + overline{PD} = sqrt{5}]이다. 곡선 위의 점 [eqn: rmQ]가 제[eqn: 1]사분면에 있고 [eqn: rmoverline{AQ} = 10]일 때, 삼각형 [eqn: rmABQ]의 둘레의 길이를 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: c]는 양수이다.)

[eqn: 25]

[eqn: left | y right | leq 1]일 때, [eqn: y^{2} - 1 leq 0]이므로 곡선의 방정식은

[eqn: 1 - y^{2} = {x^{2}} over {a^{2}}], 즉 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} + y^{2} = 1]이다.

이 곡선은 타원이고, 점 [eqn: rmC(itc,0)], [eqn: rmD(it-c,0)]은 [eqn: x]축 위의 점이므로 타원의 두 초점이다.

타원의 정의에 의해 [eqn: {bar{rmPC}} + {bar{rmPD}} =2a= sqrt {5}]이므로 [eqn: a^{2} = {5} over {4}]이다.

초점의 좌표 [eqn: c]는 [eqn: c^{2} = a^{2} - 1 = {1} over {4}]이고 [eqn: c > 0]이므로 [eqn: c = {1} over {2}]이다.

[eqn: left | y right | > 1]일 때, [eqn: y^{2} - 1 > 0]이므로 곡선의 방정식은

[eqn: y^{2} - 1 = {x^{2}} over {a^{2}}], 즉 [eqn: y^{2} - {x^{2}} over {a^{2}} = 1]이다.

이 곡선은 주축의 길이가 [eqn: 2]인 쌍곡선이다.

[eqn: c = {1} over {2}]이므로 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rmA left ( 0, {3} over {2} right )], [eqn: rmB left ( 0, - {3} over {2} right )]이다.

쌍곡선의 두 초점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: +-c prime]이라 하면

[eqn: (c')^{2} = 1 + a^{2} = 1 + {5} over {4} = {9} over {4}]에서 [eqn: c' = {3} over {2}]이므로 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 쌍곡선의 초점이다.

점 [eqn: rmQ]가 타원 위의 점이라 가정하면 타원의 장축의 길이가 [eqn: sqrt{5}]이므로 [eqn: rmoverline{AQ} = 10]을 만족할 수 없다.

따라서 점 [eqn: rmQ]는 쌍곡선 위의 점이다.

점 [eqn: rmQ]가 제[eqn: 1]사분면에 있으므로 점 [eqn: rmQ]는 초점 [eqn: rmA]에 더 가깝다.

쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{BQ} - overline{AQ} = 2]이고 [eqn: rmoverline{AQ} = 10]이므로 [eqn: rmoverline{BQ} = 12]이다.

[eqn: rmoverline{AB} = {3} over {2} - left ( - {3} over {2} right ) = 3]이므로

삼각형 [eqn: rmABQ]의 둘레의 길이는

[eqn: rmoverline{AB} + overline{AQ} + overline{BQ} = 3 + 10 + 12 = 25]

따라서 정답은 [eqn: 25]이다.

두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( 5,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( -5,`0 RIGHT )]이고, 주축의 길이가 [eqn: 6]인 쌍곡선이 있다. 쌍곡선 위의 [eqn: rmoverline{PF} < overline{PF'}]인 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmQ]가
[eqn: LEFT ( LEFT | {vec{rm FP it}} RIGHT | +1 RIGHT ) {vec{rmF prime Q}} `=5 {vec{rmQP}}]
를 만족시킨다. 점 [eqn: rmA LEFT ( -9,`-3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{rmAQ}} RIGHT |]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 10]

쌍곡선의 두 초점이 [eqn: rmF(5, 0)], [eqn: rmF'(-5, 0)]이고 주축의 길이가 [eqn: 6]이므로 쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: rmleft | overline{PF'} - overline{PF} right | = 6]

조건에서 [eqn: rmoverline{PF} < overline{PF'}]이므로 점 [eqn: rmP]는 쌍곡선의 우측 가지 위에 있고 [eqn: rmoverline{PF'} - overline{PF} = 6] 즉, [eqn: rmoverline{PF'} = overline{PF} + 6]

주어진 벡터 방정식 [eqn: rm( left | vec{FP} right | + 1 ) vec{F'Q} = 5 vec{QP}]에 [eqn: rmvec{QP} = vec{F'P} - vec{F'Q}]를 대입하면

[eqn: rm( left | vec{FP} right | + 1 ) vec{F'Q} = 5 ( vec{F'P} - vec{F'Q} )]

[eqn: rm( left | vec{FP} right | + 6 ) vec{F'Q} = 5 vec{F'P}]

이때 [eqn: rmleft | vec{FP} right | = overline{PF}]이고 [eqn: rmoverline{PF} + 6 = overline{PF'} = left | vec{F'P} right |]이므로

[eqn: rmleft | vec{F'P} right | vec{F'Q} = 5 vec{F'P}]

[eqn: rmvec{F'Q} = {5} over {left | vec{F'P} right |} vec{F'P}]

따라서 점 [eqn: rmQ]는 중심이 [eqn: rmF'(-5, 0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원 [eqn: (x+5)^{2} + y^{2} = 25] 위의 점이며, 반직선 [eqn: rmF'P] 위에 있다.

쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x^{2}} over {3^{2}} - {y^{2}} over {4^{2}} = 1]이므로 점근선의 방정식은 [eqn: y = +- {4} over {3} x]이다.

점 [eqn: rmP]가 쌍곡선의 우측 가지 위를 움직일 때, 반직선 [eqn: rmF'P]의 기울기 [eqn: m]의 범위는 [eqn: - {4} over {3} < m < {4} over {3}]이다.

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{Q}]라 하면, 기울기가 [eqn: m = +- {4} over {3}]일 때 원과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x = -5 + 5 times {3} over {5} = -2]이므로 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 범위는 [eqn: x_{Q} > -2]이다.

점 [eqn: rmA(-9, -3)]과 원의 중심 [eqn: rmF'(-5, 0)] 사이의 거리는

[eqn: rmoverline{AF'} = sqrt{(-5 - (-9))^{2} + (0 - (-3))^{2}} = 5]

이므로 점 [eqn: rmA]는 원 [eqn: (x+5)^{2} + y^{2} = 25] 위의 점이다.

[eqn: rmleft | vec{AQ} right |]가 최대가 되려면 점 [eqn: rmQ]는 원의 중심 [eqn: rmF']에 대하여 점 [eqn: rmA]와 대칭인 점이어야 한다.

이 점을 [eqn: rmQ_{max}]라 하면 [eqn: rmQ_{max}]의 좌표는 [eqn: (-1, 3)]이다.

[eqn: rmQ_{max}]의 [eqn: x]좌표 [eqn: -1]은 [eqn: -1 > -2]를 만족시키므로 점 [eqn: rmQ]가 될 수 있다.

따라서 [eqn: rmleft | vec{AQ} right |]의 최댓값은 원의 지름의 길이인 [eqn: 2 times 5 = 10]이다.

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.