2023년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의고사는 30번 문항에서 여러 조건을 조합해 두 이차함수의 관계를 추론하는 과정이 까다로워 최상위권 변별력을 확보하려 한 점이 돋보입니다. 전반적으로 다항식, 이차방정식과 함수 등 1학기 중간고사 범위의 핵심 개념들을 충실히 물어보면서도, 17번, 21번, 28번처럼 그래프와 도형을 결합하여 기하학적 직관과 대수적 풀이 능력을 동시에 요구하는 문항들이 많았습니다. 특히 이차함수의 그래프 개형과 성질을 제한된 범위 내에서 깊이 있게 분석하는 20번과 같은 문항은 수1, 수2의 함수 파트와 직접적으로 연결되므로, 단순히 답을 내는 것을 넘어 조건 해석 능력을 기르는 데 집중해야 합니다.

문항 분석

• 17번

  — 이차함수와 직선의 교점의 x좌표가 곧 이차방정식의 두 실근임을 이용하는 문제입니다. 많은 학생들이 교점 A, B의 좌표를 직접 구하려다 복잡한 계산에 빠지는 실수를 합니다. 이 문제의 핵심은 두 근을 α, β로 설정하고 근과 계수의 관계를 활용하여 식을 간단히 표현하는 것입니다. 결정적 실마리는 점 C의 좌표를 α, β로 표현하고, 주어진 BC의 길이를 이용해 α, β에 대한 식을 세워 미지수 a의 값을 구하는 데 있습니다.
  

• 20번

  — 제한된 범위에서 이차함수의 최대, 최소를 묻는 문제로, 대칭축의 위치에 따라 경우를 나누어 분석하는 능력이 핵심입니다. 출제 의도는 학생들이 대칭축 x=a가 주어진 구간 [2, 6]과 [6, 10]에 대해 어느 위치에 있는지 체계적으로 따질 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 (나) 조건, 즉 '[2, 6]에서의 최댓값'과 '[6, 10]에서의 최솟값'이 같다는 조건을 어떻게 식으로 옮길지 막막해하는 것입니다. 포물선 그래프를 직접 그려 대칭축 a를 좌우로 움직여보며 두 값이 같아지는 순간이 언제일지 시각적으로 파악하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 21번

  — 두 이차함수와 직선 y=k의 위치 관계를 기하학적으로 해석하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 두 포물선 y=x²과 y=x²-6x+6의 대칭성을 파악하는 것입니다. 특히 y=x²-6x+6은 y=x²을 평행이동한 것이며, 대칭축이 x=3이라는 사실이 중요합니다. ㄴ 보기에서 CD²-AB²의 값을 계산할 때, 각 점의 좌표를 k로 표현하여 직접 계산하면 매우 복잡해집니다. 대신, AB의 중점은 y축(x=0)이고 CD의 중점은 직선 x=3이라는 대칭성을 이용하면 각 선분의 길이를 훨씬 간단하게 표현할 수 있고, 그 값이 k에 관계없이 일정함을 쉽게 보일 수 있습니다.
  

• 28번

  — 이차함수와 직선이 접할 조건(판별식 D=0)을 활용하여 접점의 좌표를 구하고, 이를 바탕으로 여러 삼각형의 넓이를 계산하는 종합적인 문제입니다. 출제 의도는 좌표평면 위에서 도형의 넓이를 구하기 위해 필요한 점들의 좌표를 능숙하게 설정하고 계산할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 점 C(선분 OA와 BH의 교점)의 좌표를 구하는 과정입니다. 두 직선 OA와 BH의 방정식을 각각 구한 뒤, 연립방정식을 풀어 교점 C의 좌표를 정확히 찾아내는 것이 S₁과 S₂의 넓이를 구하는 결정적 단계입니다.
  

• 29번

  — 복소수의 거듭제곱에서 나타나는 주기성을 파악하고, 이를 이용해 주어진 조건을 만족하는 자연수 해를 찾는 문제입니다. (1+i)/√2 라는 복소수를 보고 바로 제곱, 네제곱 등을 계산하여 주기가 8임을 발견하는 것이 문제 해결의 핵심입니다. 많은 학생들이 이 주기성을 찾지 못하고 m, n에 숫자를 대입하려다 시간을 낭비합니다. 일단 z⁸=1임을 알아내면, 주어진 등식은 z^(m-n) = -i 꼴로 변형됩니다. 여기서 m-n이 8로 나눈 나머지가 얼마가 되어야 하는지를 찾고, 49 이하의 자연수 m, n 조건 하에서 m+n이 최대가 되는 순서쌍을 찾는 것이 최종 목표입니다.
  

• 30번

  — 주어진 세 가지 조건을 통해 두 이차함수 f(x), g(x)의 관계를 추론하고 식을 구체화하는 최고난도 문항입니다. (가) 조건에서 f(x)=ax² 꼴임을, (나) 조건에서 f(x)+g(x)는 x=2에서 x축에 접하는 아래로 볼록한 이차함수, 즉 c(x-2)² 꼴임을 추론해야 합니다. 가장 결정적인 힌트는 (다) 조건으로, 모든 실수 x에 대해 f(x)-g(x) ≥ f(1)-g(1)이 성립한다는 것은 함수 h(x)=f(x)-g(x)가 x=1에서 최솟값을 갖는다는 의미, 즉 대칭축이 x=1인 이차함수임을 알려줍니다. 이 세 가지 단서를 종합하여 f(x)와 g(x)를 미지수가 포함된 식으로 표현하고, 마지막 조건인 실근의 개수를 이용해 미지수의 범위를 확정하는 흐름으로 풀어야 합니다.