2022년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 21번 일대일대응 문제에서 함수의 그래프 개형과 치역까지 꼼꼼히 따져야 하는 함정에 빠진 학생들이 많았을 겁니다. 전반적으로 복잡한 계산보다는 고1 수학(상), (하)의 핵심 개념, 특히 함수와 도형의 방정식 단원의 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문항들이 주를 이뤘습니다. 이러한 기본기 중심의 문제 해결 능력은 향후 수능 수학Ⅰ, 수학Ⅱ의 고난도 문항을 풀기 위한 필수적인 발판이 되므로, 이번 시험에서 막혔던 개념은 반드시 복습하고 넘어가야 합니다.

문항 분석

• 18번

  — 최고차항 계수가 1인 삼차다항식 f(x)라는 조건과 (가) 조건을 어떻게 결합할지가 관건입니다. 많은 학생들이 f(x+3)-f(x) = (x-1)(x+2) 라고 착각하는 실수를 범하는데, 나누어떨어진다는 것은 몫이 존재한다는 의미임을 잊지 말아야 합니다. 힌트는 f(x) = x³ + ax² + ... 로 두고 f(x+3)-f(x)를 직접 계산해보면, 이 새로운 다항식의 차수와 최고차항의 계수가 무엇인지 파악하는 데서 실마리를 찾을 수 있습니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 원의 성질과 좌표 기하를 융합한 문제입니다. 출제 의도는 ∠AOP = ∠BAP 라는 조건을 기하학적으로 해석할 수 있는지를 묻는 것입니다. 이 조건은 '삼각형 ABP의 외접원이 직선 OA에 접한다'는 의미와 동일하며, 이는 '접선과 현이 이루는 각'의 성질에 해당합니다. 이 기하학적 사실을 파악하지 못하고 좌표만으로 문제를 해결하려고 하면 계산이 매우 복잡해지므로, 도형의 성질을 먼저 떠올리는 훈련이 중요합니다.
  

• 21번

  — 함수 h(x)가 '일대일대응'이 되기 위한 조건을 묻는, 매우 중요한 유형의 문제입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 함수가 끊어지지 않고(연속), 계속 증가하거나 감소하는 조건만 생각하는 것입니다. 하지만 '일대일대응'은 정의역과 공역이 같고, 치역과 공역이 같아야 합니다. 즉, x=a를 기준으로 나뉜 두 함수의 치역을 합쳤을 때, 빈틈이나 겹치는 부분 없이 실수 전체 집합이 되어야 한다는 점을 놓치면 안 됩니다. 각 이차함수의 꼭짓점의 위치를 기준으로 경우를 나누어 생각하는 것이 해결의 첫걸음입니다.
  

• 단답형 28번

  — 단순히 원소를 나열하여 푸는 문제가 아니라, '원소의 합'을 변수로 활용하여 식을 세워야 하는 문제입니다. 조건 (가)를 S(A∪Bᶜ) = 6 * S(B-A) 와 같이 집합의 원소 합을 나타내는 기호 S(X)를 이용해 식으로 변환하는 것이 첫 단추입니다. 전체집합 U의 원소의 합을 알고 있으므로, 벤다이어그램의 각 영역에 해당하는 원소들의 합 사이의 관계식을 유도해낼 수 있습니다. 그 후 n(B-A)의 범위라는 조건을 이용해 가능한 원소의 조합을 추려나가면 됩니다.
  

• 단답형 29번

  — 3차원 공간도형 문제이지만, 좌표를 도입하면 평면도형 문제처럼 효과적으로 해결할 수 있습니다. 정사각형 ABCD의 중심을 원점(0,0,0)으로 설정하고 각 꼭짓점의 좌표를 a를 이용해 표현하는 것이 가장 효율적인 접근법입니다. 두 정사각뿔의 부피 합과 선분 AF의 길이에 대한 조건을 각각 a와 b에 대한 방정식으로 만들면, 미지수가 2개인 연립방정식을 얻게 됩니다. 이 연립방정식을 정확히 풀어내는 계산 능력이 요구됩니다.
  

• 단답형 30번

  — 이차함수와 원이 결합된 고난도 문항으로, 여러 개념을 종합적으로 사용해야 합니다. 가장 결정적인 실마리는 '선분 AB를 지름으로 하는 원이 원점 O를 지난다'는 조건입니다. 이는 기하학적으로 ∠AOB = 90°임을 의미하며, 대수적으로는 (직선 OA의 기울기) × (직선 OB의 기울기) = -1 이라는 강력한 조건으로 변환됩니다. 두 교점 A, B의 x좌표를 이차방정식 ax² - mx - 4a = 0의 두 근 α, β로 설정하고 근과 계수의 관계를 활용하면 이 기울기 조건을 m과 a의 관계로 단순화시킬 수 있습니다.