2023년 3월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학평은 21번, 29번, 30번으로 이어지는 기하 문제 라인업에서 중학교 도형 총정리가 부족했던 학생들이 큰 어려움을 겪었을 시험입니다. 단순히 공식을 암기한 수준을 넘어, 보조선을 긋고 숨어있는 닮음이나 합동을 찾아내는 통합적인 기하 추론 능력을 요구했죠. 특히 도형의 닮음, 원의 성질 등은 수능 수학에서 삼각함수나 다른 단원과 융합되어 간접적으로 계속 활용되는 핵심 도구이므로, 이번 기회에 약점을 확실히 보완해야 고2, 고3 때 발목 잡히지 않을 것입니다. 전반적인 계산량은 많지 않았지만, 개념의 깊이를 묻는 문항들이 많아 상위권 변별력을 확보하려는 의도가 엿보입니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제의 핵심은 '선분 BE를 수직이등분한다'는 조건을 기하학적으로 어떻게 해석하느냐에 있습니다. 수직이등분선 위의 한 점(C)에서 선분의 양 끝점(B, E)까지의 거리는 같다는 성질(CB=CE)을 떠올려야 합니다. 많은 학생들이 이 조건을 보고 당황하지만, 마름모의 기본 성질(AB=BC)과 결합하면 삼각형 BCE가 이등변삼각형임을 바로 알 수 있죠. 여기서부터 각도 추적을 시작하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
  

• 20번

  — BF의 길이라는 다소 뜬금없는 정보에서 원의 반지름을 유추해내는 것이 첫 번째 관문입니다. 점 F가 선분 OD의 수직이등분선 위에 있다는 사실은 삼각형 OFD가 OF=DF인 이등변삼각형임을 알려주는 결정적 힌트입니다. 이 사실을 이용해 삼각형 OBF에서 코사인 법칙을 적용하거나, 보조선을 그어 직각삼각형을 만들어 삼각비를 활용하면 반지름의 길이를 구할 수 있습니다. 좌표평면을 도입하려는 순간 계산의 늪에 빠지게 되니, 순수 기하학적 접근이 중요합니다.
  

• 21번

  — 내심(Incenter)의 가장 중요한 성질인 '각의 이등분선의 교점'과 '평행선'이라는 두 가지 키워드를 엮는 문제입니다. BC와 DE가 평행하므로 엇각의 크기가 같다는 점을 이용하면, 삼각형 DBI와 ECI가 각각 이등변삼각형임을 증명할 수 있습니다. (DB=DI, EC=EI) 이 사실을 발견하는 순간, 삼각형 ADE의 둘레 길이는 (AD+DI) + (AE+EI)가 되어 결국 AB+AC의 길이와 같아진다는 유명한 성질로 귀결됩니다. 각 변의 길이를 직접 구하려 하면 절대 풀 수 없는, 개념 이해를 묻는 문제입니다.
  

• 28번

  — p²q < n ≤ pq²를 만족하는 자연수 n의 개수가 pq(q-p)임을 정확히 계산하는 것이 첫 단추입니다. 많은 학생들이 부등식 양 끝 값을 단순히 빼서 개수를 구하는 실수를 범하는데, 한쪽은 등호가 없고 다른 쪽은 등호가 있으므로 그 차이가 그대로 개수가 됩니다. 그 다음, pq(q-p) = 308 이라는 식을 세우고 308을 소인수분해(2² × 7 × 11)하여 p, q, q-p에 해당하는 소수들을 찾아내는 정수론적 추론이 필요합니다. p와 q가 소수라는 조건과 p<q라는 조건을 놓치지 않고 경우의 수를 꼼꼼히 따져야 하는 고난도 문항입니다.
  

• 29번

  — 여러 개의 삼각형이 겹쳐 있어 어떤 삼각형끼리 닮음인지 한눈에 파악하기 어려운 문제입니다. 이 문제의 실마리는 평행선(BC//FG)에서 찾을 수 있습니다. 평행선은 동위각을 만들어내므로 △AFG와 △ABC의 닮음을, 엇갈린 모래시계 모양을 통해 △DFG와 △DBC의 닮음을 찾아내야 합니다. 주어진 길이의 비(DE:DA:DB)를 이용해 닮음비를 설정하고, 이를 넓이비(닮음비의 제곱)로 확장하여 두 삼각형 AFD와 EDG의 넓이를 p, q에 대한 식으로 표현하는 것이 핵심 전략입니다.
  

• 30번

  — 원이 등장하는 기하 문제의 최종 보스 격으로, 원주각, 접선과 현이 이루는 각, 닮음, 피타고라스 정리 등 중학 기하의 모든 개념을 총동원해야 합니다. 결정적인 힌트는 점 C와 D에서의 접선이 만나는 점이 F라는 조건으로, 이는 FC=FD임을 의미합니다. 또한, BD ⊥ AC 라는 조건과 접선-현의 각(∠FDC = ∠DAC)을 이용하면 숨어있는 닮음 삼각형(예: △ADE와 △FDE)을 발견할 수 있습니다. 이처럼 복잡하게 얽힌 조건들을 하나씩 해석하며 기하학적 성질을 연쇄적으로 적용해 나가는 능력이 요구되는 최고난도 문항입니다.