2022년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 21번 원과 사각형 넓이 문제나 30번 조각난 이차함수 문제에서 시간 관리에 실패한 학생들이 많았을 겁니다. 전반적으로 '도형의 방정식'과 '이차함수' 단원에 힘을 실은 출제 경향이 뚜렷했고, 복잡한 계산보다는 기하학적 직관과 정의의 정확한 활용을 요구하는 문항들이 변별력을 갈랐습니다. 특히 17번, 21번, 28번과 같이 좌표평면 위에서 도형을 해석하는 능력은 고2, 고3 과정의 미적분, 기하 문제의 기초 체력이 되므로, 단순히 공식만 암기하는 것이 아니라 그림을 그려가며 조건을 분석하는 훈련을 반드시 해야 합니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문제는 대칭이동을 이용한 최단 거리 문제의 정석입니다. 출제 의도는 두 점이 각각 x축과 y=x 위를 움직일 때, 꺾인 선분 길이의 합이 최소가 되는 상황을 기하학적으로 해석할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 점 C와 D의 좌표를 변수로 설정하고 복잡한 거리 공식으로 해결하려다 시간을 낭비하는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 '두 점 사이의 최단 거리는 직선'이라는 기본 원리를 적용하기 위해, 고정된 점 A를 x축에 대해 대칭시키고, 점 B를 직선 y=x에 대해 대칭시켜 일직선으로 만드는 것입니다.
  

• 21번

  — 원의 성질과 넓이의 최댓값을 결합한 고난도 문항입니다. 사각형 PABC의 넓이는 삼각형 ABC와 삼각형 PAC의 넓이 합으로 쪼개서 생각해야 합니다. 삼각형 ABC의 넓이는 세 점의 좌표가 주어졌으므로 고정값이죠. 결국 사각형의 넓이가 최대가 되려면, 밑변 AC로부터 가장 멀리 떨어진 점 P를 호 AC 위에서 찾아야 합니다. 여기서 함정은 P의 좌표를 직접 구하려는 시도입니다. 핵심은 밑변 AC와 평행한 직선이 원과 접할 때, 그 접점 P에서 높이가 최대가 된다는 기하학적 사실을 이용하는 것입니다. 이 원리를 이용하면 점 P를 지나고 AC에 수직인 직선이 원의 중심을 지난다는 사실로 쉽게 접근할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 좌표기하와 삼각비의 개념을 종합적으로 활용해야 하는 문제입니다. 원이 x축과 직선 y=mx에 동시에 접한다는 조건에서 원의 중심 좌표를 (a, 2)로 두고, 중심에서 두 직선까지의 거리가 반지름 2와 같다는 식을 세우는 것이 첫 단추입니다. 많은 학생들이 점과 직선 사이의 거리 공식을 y=mx에 적용하는 과정에서 절댓값 처리나 m에 대한 복잡한 식으로 인해 길을 잃습니다. 이 문제의 결정적 힌트는 원의 중심, 원점, 접점 P를 연결하여 만들어지는 직각삼각형을 관찰하는 것입니다. 원의 중심과 원점을 잇는 직선이 두 접선이 이루는 각을 이등분한다는 성질을 이용하면 m의 값을 훨씬 간단하게 유도할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 두 이차방정식의 근의 관계를 파고드는 심층적인 문항입니다. 근과 계수의 관계를 두 방정식에 각각 적용하여 α+β, αβ와 (α+2)+(β+2), (α+2)(β+2) 사이의 관계식을 세우는 것이 기본입니다. 하지만 이 문제의 핵심은 주어진 조건 (나) αⁿ+βⁿ = αⁿ⁺¹+βⁿ⁺¹ 을 어떻게 해석하느냐에 있습니다. 이 식을 αⁿ(1-α) + βⁿ(1-β) = 0 형태로 변형하고, α와 β가 x²+ax+b=0의 근이라는 사실, 즉 α²=-aα-b, β²=-bβ-b를 활용하여 차수를 낮추고 관계를 추론하는 능력을 요구합니다. 단순히 연립방정식 풀이로만 접근하면 계산의 늪에 빠지기 쉬운 함정이 있습니다.
  

• 30번

  — 최고난도 문항으로, 이차함수의 대칭성과 그래프 추론 능력을 극한까지 요구합니다. f(x)와 g(x)가 원점 대칭 관계라는 것은 g(x) = -f(-x)임을 의미하며, 이를 통해 f(x)=x²+kx, g(x)=-x²+kx 꼴임을 추론하는 것이 문제 해결의 시작입니다. 함수 h(x)는 두 이차함수의 그래프가 교차하는 지점 α, β를 기준으로 바깥쪽은 f(x), 안쪽은 g(x)를 따르는 새로운 함수입니다. 조건 (가)에서 h(x)=h(β)의 실근이 3개라는 것은, y=h(β)라는 상수함수가 h(x)의 그래프와 세 점에서 만난다는 뜻이며, 이는 g(x)의 꼭짓점 y좌표가 h(β)와 같다는 결정적인 기하학적 정보를 제공합니다. 이 관계를 통해 α, β, k 사이의 관계식을 찾아내고, 조건 (나)를 이용해 최종적으로 함수를 확정해야 하는 다단계 추론 문제입니다.