2022년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의평가는 21번 이차함수 최대/최소 문제에서 대칭축의 위치에 따라 케이스를 나누는 부분에서 많은 학생들이 시간을 허비했을 겁니다. 다항식, 방정식, 함수 등 고1 수학(상)의 핵심 단원들을 충실하게 평가하면서도, 29번, 30번처럼 여러 개념을 융합하고 깊은 해석을 요구하는 문항으로 상위권 변별력을 확실히 했습니다. 특히 이차함수의 그래프 해석과 추론 능력은 향후 배우게 될 수1, 수2, 그리고 수능 수학의 성패를 좌우하는 가장 중요한 기본기이므로, 이번 시험을 계기로 자신의 약점을 철저히 분석하고 넘어가야 합니다.

문항 분석

• 15번

  — 이차다항식 P(x)와 관련된 두 조건을 해석하는 문제입니다. (가) 조건의 부등식 P(x) ≥ -2x-3의 해가 특정 구간으로 주어진 것을 보고, 'P(x) + 2x + 3 = 0'이라는 새로운 방정식의 두 근이 0과 1임을 간파하는 것이 핵심입니다. 많은 학생들이 이 부등식을 판별식으로 접근하려다 시간을 낭비하는 실수를 합니다. (가)에서 최고차항 계수를 미지수로 둔 식을 세우고, (나) 조건의 '중근' 키워드를 판별식 D=0으로 연결하면 미지수를 확정할 수 있습니다.
  

• 16번

  — 정삼각형과 내부의 점을 다루는 기하 문제지만, 좌표평면을 도입하면 훨씬 간단한 이차함수 최대/최소 문제로 변환됩니다. 출제 의도는 도형의 성질을 좌표로 표현하는 능력과 식을 세워 최적화하는 능력을 동시에 평가하는 것입니다. 변 BC의 중점 P를 원점으로 설정하고 각 꼭짓점의 좌표를 구하는 것이 가장 효율적인 첫걸음입니다. 이후 선분 AP 위의 점 Q의 좌표를 변수 x로 표현하고, AQ²+BQ²+CQ²을 x에 대한 이차식으로 정리하면 해결의 실마리가 보일 것입니다.
  

• 21번

  — 제한된 범위 내에서의 이차함수 최솟값을 묻는, 내신과 모의고사 모두에서 사랑받는 유형입니다. 이 문제의 함정은 최솟값이 5라고 해서 꼭짓점의 y좌표가 무조건 5라고 단정하는 것입니다. 핵심은 대칭축 x=a가 주어진 범위 [1, 2]의 왼쪽에 있는지(a<1), 사이에 있는지(1≤a≤2), 오른쪽에 있는지(a>2) 세 가지 경우로 나누어 생각하는 것입니다. 각 케이스별로 최솟값을 만드는 x값이 달라지므로, 이를 이용해 b를 a에 대한 식으로 표현하고 각 보기의 참거짓을 판별해야 하는, 꼼꼼함이 요구되는 문항입니다.
  

• 28번

  — 두 이차부등식을 풀어 연립부등식의 해 영역에 '정수가 존재하지 않을' 조건을 찾는 문제입니다. 각 부등식을 인수분해하여 해의 범위를 a에 대한 식으로 나타내는 것이 첫 단계입니다. 학생들이 가장 많이 실수하는 부분은, 두 해의 구간을 수직선에 나타내고 공통 범위에 정수가 없도록 하는 a의 범위를 정할 때, 경계값의 등호 포함 여부를 판단하는 것입니다. 두 해 구간이 완전히 겹치지 않거나, 겹치더라도 그 폭이 1보다 작아 정수가 들어갈 틈이 없는 상황을 정확히 그려내는 능력이 관건입니다.
  

• 29번

  — 두 다항식 P(x), Q(x)의 관계를 추론하는 고난도 문항입니다. (나) 조건의 x³-10x+13-P(x)={Q(x)}² 식을 P(x)에 대해 정리하고, P(x)가 3차, Q(x)가 1차식임을 이용해 Q(x)=ax+b로 설정하는 것이 문제 해결의 출발점입니다. 여기서 얻은 P(x), Q(x)를 (가) 조건에 대입하여 항등식의 성질로 미정계수를 결정해야 합니다. 특히 P(x)Q(x)의 인수 중 x²-3x+3은 실근을 갖지 않으므로, P(x)나 Q(x) 둘 중 하나가 통째로 이 인수를 가져야 한다는 점을 이용하면 풀이 시간을 단축시킬 수 있습니다.
  

• 30번

  — 두 이차함수 f(x), g(x)의 그래프 개형과 평행이동을 통해 방정식의 실근 개수를 추론하는 최고난도 문항입니다. f(x)+p=k와 g(x)-p=k의 실근 개수가 같다는 것은, y=f(x)+p와 y=g(x)-p의 그래프를 직선 y=k가 잘랐을 때 교점 개수가 같다는 의미입니다. (가), (나) 조건으로부터 두 함수의 꼭짓점이 y축 위에 있고 서로 y값이 4만큼 차이 남을 파악한 뒤, 두 함수를 각각 y축으로 p, -p 만큼 평행이동 시킨 그래프의 대칭성을 이용하는 것이 결정적 힌트입니다. 두 꼭짓점의 중점을 지나는 유일한 직선 k가 존재할 때의 상황을 기하학적으로 해석해야 p값의 범위를 구할 수 있습니다.