2022학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 경찰대 1차 수학 시험은 17번, 19번처럼 절댓값과 삼각함수 그래프에 대한 깊이 있는 해석을 요구하는 문항에서 변별력을 확보하려 한 점이 눈에 띕니다. 단순히 공식을 암기해서 푸는 수준을 넘어, 각 개념이 어떻게 유기적으로 연결되는지를 묻는 문항들이 다수 포진해 있어 체감 난이도가 높았을 거예요. 특히 다항함수의 성질을 추론하는 20번 같은 문항은 최근 평가원 수능에서 강조하는 '추론 능력'과 그 결을 같이 하므로, 수능을 준비하는 학생들에게도 좋은 학습 자료가 될 것입니다. 계산 과정의 복잡성보다는 조건 해석의 정확성이 점수를 가르는 핵심이었던 시험입니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문항은 절댓값 기호 안의 2차 함수가 0이 되는 지점을 기준으로 f(x)의 형태가 달라지는 것을 파악하는 것이 출제 의도입니다. 많은 학생들이 x²-4(x²+n) 전체에 절댓값이 있다고 착각하거나, 혹은 x²+n > 0 이므로 절댓값을 그냥 풀어버리는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 f(x)가 결국 x의 값에 따라 두 개의 다른 사차함수 그래프의 일부로 구성된다는 점을 인지하고, 각 함수의 도함수를 구해 극값을 갖는 조건(판별식)을 n에 대한 부등식으로 표현하는 것입니다. '극값을 갖는 a의 개수가 4개 이상'이라는 조건을 만족하는 n의 범위를 찾는 과정에서 꼼꼼한 계산이 요구됩니다.
  

• 18번

  — 삼차함수의 극대 조건, 정적분, 그리고 극한이 결합된 종합적인 문제 해결 능력을 평가하는 문항입니다. 핵심은 f'(x)=0의 두 근 중 어느 것이 극댓값을 만드는 x좌표 'a'인지를 t의 범위(0<t<3)를 이용하여 정확히 판단하는 것입니다. 여기서 t값에 따라 a가 달라질 수 있다는 가능성을 놓치면 안 됩니다. g(t)를 t에 대한 식으로 표현한 후, 정적분 ∫f(x)dx 역시 t에 대한 식으로 계산해야 하는데, 이 과정에서 계산 실수가 발생하기 쉽습니다. 최종적으로 구해야 하는 극한값은 분모, 분자가 모두 t에 대한 다항식이므로, 최고차항의 계수 비교 또는 로피탈의 정리를 통해 깔끔하게 마무리할 수 있습니다.
  

• 19번

  — 두 삼각함수 그래프의 교점 개수를 추론하는, 그래프 해석 능력이 관건인 문제입니다. 출제 의도는 f(x)의 그래프를 cosx와 sinx의 대소 관계에 따라 정확히 그릴 수 있는지를 먼저 확인하는 것입니다. f(x)는 주기가 2π인 함수이지만, π/4와 5π/4를 경계로 함수식이 바뀌는 점에 유의해야 합니다. 최솟값 p를 구하는 과정은 g(x)=cos(ax)의 주기가 변함에 따라 [0, π/4] 구간에서 교점이 3개가 되는 '최초의 순간'을 포착하는 것이 핵심입니다. 이때 cos(a * π/4)의 값이 어떻게 되어야 하는지를 생각하는 것이 문제 해결의 실마리(Hint)가 됩니다. p값을 구한 후 q값을 셀 때, 전체 구간에서 교점 개수를 꼼꼼히 세지 않으면 틀리기 쉽습니다.
  

• 20번

  — 여러 개의 까다로운 조건을 조합하여 두 다항함수 f(x)와 g(x)를 추론해내는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 (나) 조건의 '등차수열'을 해석하는 것입니다. f(x)g(x)=0의 해는 f(x)=0의 해와 g(x)=0의 해의 합집합이며, 이 해들이 -4와 4를 포함하여 등차수열을 이룬다는 사실로부터 P(x)와 Q(x)의 근을 특정할 수 있습니다. (다) 조건은 f(x)의 극값 위치와 g(x)의 극값 위치에 대한 정보를 제공하며, 이를 통해 여러 가지 케이스 중 유일하게 성립하는 경우를 걸러내는 결정적 역할을 합니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 P(x)와 Q(x)의 근을 여러 조합으로 가정할 때, (다) 조건을 만족하는 유일한 케이스를 찾아내지 못하고 헤매는 것입니다. f(x)=g(x)의 두 교점은 두 함수의 차, 즉 h(x)=f(x)-g(x)라는 새로운 함수의 근이라는 관점으로 접근하면 계산을 줄일 수 있습니다.
  

• 24번

  — 기하학적 상황을 함수로 표현하고 그 함수의 불연속점을 찾는, 창의적 발상을 요구하는 문제입니다. 출제 의도는 '삼각형 ABX의 넓이 t'가 고정될 때, 원 C 위에 존재하는 점 X의 개수 f(t)가 어떻게 변하는지를 관찰하는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 삼각형의 넓이가 (1/2) * (밑변 AB의 길이) * (높이) 이므로, 넓이 t는 점 X와 직선 AB 사이의 거리에 정비례한다는 사실을 이용하는 것입니다. 점 X의 개수는 '직선 AB로부터 특정 거리만큼 떨어진 직선'과 '원 C'의 교점 개수와 같습니다. f(t)가 불연속이 되는 지점은 바로 이 교점의 개수가 변하는 순간, 즉 원 C와 해당 직선이 '접하는' 순간이라는 것을 깨닫는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 25번

  — 자연수 조건이 결합된 로그 점화식을 해석하여 특정 집합의 원소를 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 점화식 log(a_n) + log(a_{n+1}) = 2n을 a_{n+1}에 대해 정리하여 수열 {a_n}의 항들 사이의 관계를 파악하는 것입니다. a_{n+1} = 10^(2n) / a_n 이라는 관계식을 얻을 수 있습니다. 모든 항이 '자연수'라는 조건이 매우 강력한 힌트입니다. a_1부터 차례로 항을 나열해보면, a_1, 100/a_1, 100a_1, 10000/a_1, ... 와 같이 홀수 항과 짝수 항의 패턴이 나타납니다. 모든 항이 자연수가 되려면 a_1은 100의 약수, a_2는 10000의 약수 등... 모든 항에 대한 조건을 동시에 만족시키는 a_1을 찾아야 합니다. 결국 a_1은 모든 10^(2k)의 약수가 되어야 한다는 결론에 도달하게 되며, 이를 만족하는 a_1 값들을 찾아내는 것이 관건입니다.