2023학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 경찰대 시험은 20번 문항에서 'BX sinθ'의 기하학적 의미를 '점 B에서 직선 XA의 평행선까지의 거리'로 해석했는지 여부가 시간 단축의 관건이었을 겁니다. 전반적으로 복잡한 계산을 요구하거나, 11번처럼 식을 변형하여 망원급수 형태를 발견해야 하는 등, 단순히 공식을 적용하는 것을 넘어선 수학적 통찰력을 요구하는 문항들이 많았습니다. 이는 주어진 조건과 식을 해석하고 재구성하는 능력을 중시하는 최근 수능 준킬러 및 킬러 문항의 출제 경향과 정확히 일치하므로, 경찰대 지망생이 아니더라도 수능 고득점을 목표하는 학생이라면 반드시 풀어봐야 할 가치가 있는 시험입니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문항의 핵심은 '점 P와 원 S의 거리'가 t일 때, 점 P가 그리는 자취(반지름이 1+t인 동심원)와 정삼각형의 교점의 개수를 함수 f(t)로 정의하고 그 불연속점을 찾는 것입니다. 많은 학생들이 0 < t < 1 구간에서 교점이 6개라는 점은 쉽게 찾지만, t=0 (원과 삼각형의 접점)과 t=1 (원이 삼각형의 꼭짓점을 지나는 순간)이라는 양 끝 경계에서의 함수값을 따로 확인하지 않아 불연속점의 개수를 1개로 착각하는 실수를 범하기 쉽습니다. 힌트는 '불연속'이 될 가능성이 있는 지점은 항상 기하학적 상황이 극적으로 변하는 '특별한 순간'이라는 점을 기억하는 것입니다.
  

• 17번

  — 로그의 진수가 2의 거듭제곱이 되어야 한다는 조건을 파악한 후, 삼각방정식 `sin(aπx) = C`의 해의 개수가 8개가 되도록 하는 자연수 a, b를 찾는 문제입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은, 해의 개수가 8개가 되는 경우를 `sin(aπx)`가 0, 1, -1이 아닌 특정 값을 가질 때(이 경우 해는 'a'개)만 생각하여 a=8이라고 단정하는 것입니다. 하지만 이 문제는 `sin(aπx)=0`일 때, 또는 두 개 이상의 다른 2의 거듭제곱 값에 대한 해의 개수의 합이 8이 되는 경우(b=1일 때)까지 모두 고려해야 합니다. 결정적 실마리는 `f(x)`의 치역 `[2b-1, 2b+1]`의 폭이 2라는 점을 이용하여, 이 안에 2의 거듭제곱이 몇 개나 존재할 수 있는지 경우를 나누어 접근하는 것입니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 `BX sinθ`라는 식의 기하학적 의미를 파악하는 것이 전부입니다. 좌표와 삼각함수로 `sinθ`를 직접 계산하려 하면 복잡한 식에 갇히게 됩니다. `BX sinθ`는 벡터 `BX`를 벡터 `OA` 방향과 수직인 방향으로 정사영시킨 길이를 의미하며, 이는 곧 '점 B에서, 점 X를 지나고 직선 OA에 평행한 직선까지의 거리'와 같습니다. 이 사실을 깨닫는 순간, 문제는 '원 S 위의 점 X에 대해, 점 B(0,4)와 직선 2x-y-(2x_X-y_X)=0 사이의 거리를 최대로 만드는 것'으로 바뀝니다. 이는 원의 중심에서 직선까지의 거리에 반지름을 더하는, 고1 때 배운 점과 직선 사이 거리 공식의 활용 문제로 귀결됩니다.
  

• 24번

  — 모든 실수 x에 대해 주어진 삼각부등식이 성립할 조건을 찾는 문제입니다. `cos x = t`로 치환하여 t에 대한 부등식으로 바꾸는 것이 첫 단추이지만, 가장 큰 함정은 치환 후 변수 t의 범위가 `[-1, 1]`로 제한된다는 사실을 간과하는 것입니다. 단순히 판별식 D ≤ 0만 사용하면, t의 범위와 무관하게 항상 성립할 조건만 찾게 되어 오답으로 이어집니다. 이 문제의 핵심은 `f(t) = -at^3 - 4t + 4` (원래 식을 전개하면 `(a(1-t^2)-4)t+4 >= 0`이므로 `-at^3 + (a-4)t + 4 >= 0`) 라는 삼차함수의 그래프를 그리고, `[-1, 1]` 구간에서 이 함수의 최솟값이 0 이상이 될 a의 범위를 찾는 것입니다. 구간 내의 극값과 양 끝점의 함숫값을 모두 비교해야 정확한 답을 구할 수 있습니다.
  

• 25번

  — 세 집합 A, B, C가 나타내는 도형을 좌표평면에 정확히 그리고, 이들로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 복합적인 문제입니다. 집합 A와 B는 각각 원의 일부(호)이고, C는 두 개의 수평 선분입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 도형 X의 넓이(α)를 구할 때, 이를 간단한 도형(직사각형, 부채꼴 등)으로 분할하는 과정에서 넓이를 중복 계산하거나 빠뜨리는 것입니다. 결정적 힌트는 도형 X를 큰 직사각형에서 두 개의 활꼴 넓이를 빼는 방식으로 접근하는 것입니다. 또한, 포물선과 직선 y=c로 둘러싸인 부분의 넓이(β)를 계산할 때, 적분 구간을 정확히 설정하는 것이 중요하며, 이는 포물선과 도형 X의 교점 y좌표인 c를 먼저 구해야만 가능합니다.