2024학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

이번 경찰대 시험은 18번 수열 문제처럼 새로운 정의와 규칙성을 파악하는 능력을 요구하는 문항에서 변별력이 갈렸을 겁니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 복잡한 시그마 계산과 기하학적 해석 앞에서 시간을 많이 소모했을 가능성이 높아요. 전반적으로 미적분 문항들의 계산량이 상당했고, 특히 17번, 19번처럼 극한과 미분을 결합한 고난도 문항은 정확하고 빠른 계산 능력이 필수적이었습니다. 이러한 출제 경향은 최근 수능에서 강조하는 '낯선 상황에 대한 수학적 모델링 능력'과 직결되므로, 경찰대 지망생뿐만 아니라 수능 상위권을 노리는 학생들도 반드시 풀어보며 자신의 약점을 점검해야 합니다.

• 17번 — 이 문제는 무한대로 발산하는 두 무리식의 극한값을 다루고 있습니다. 출제 의도는 무한대-무한대 꼴의 부정형을 유리화를 통해 계산할 수 있는지, 그리고 그 과정에서 미정계수 a, b, c, d를 정확히 결정할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 (가)와 (나) 조건에서 각각 유리화를 진행할 때, 분모와 분자의 최고차항 계수 비교를 서두르다가 부호를 틀리거나 특정 항을 누락하는 실수를 저지르는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 (가) 조건에서 극한값이 상수 c로 수렴하기 위해서는 루트 안의 이차항 계수 (a-b)가 0이 되어야 한다는 사실을 먼저 간파하는 것입니다. 이 첫 단추를 제대로 꿰어야 이후 계산이 복잡해지지 않습니다.
  
• 18번 — 이 문항은 주어진 규칙에 따라 정의된 도형의 넓이를 수열의 일반항 an으로 표현하고, 그 합을 구하는 능력을 종합적으로 측정합니다. 핵심은 삼각형 Tn들의 집합과 삼각형 OAnBn의 공통 부분 넓이를 어떻게 n에 대한 식으로 표현하느냐에 있습니다. 많은 학생들이 an을 구하는 과정에서, n의 값에 따라 공통부분의 모양이 단순한 삼각형이 아니라 여러 개의 사다리꼴과 삼각형의 합으로 구성된다는 점을 간과하여 일반항을 잘못 구하는 실수를 합니다. 이 문제를 푸는 결정적 힌트는 직접 n=1, 2, 3일 때의 그림을 그려보며 넓이 an이 이전 항의 넓이 an-1에 어떤 새로운 도형의 넓이가 더해지는 구조인지, 즉 점화 관계를 파악하는 것입니다. 등차수열의 합 공식을 변형하여 접근하면 계산을 훨씬 수월하게 할 수 있습니다.
  
• 19번 — 이 문제는 이차함수 위의 점에서의 접선, 그리고 특정 기하학적 조건(PR=QR)을 만족하는 점을 찾아 삼각형의 넓이를 구하고 그 극한값을 계산하는 복합적인 미분 활용 문제입니다. 출제 의도는 접선의 방정식을 세우고, 두 점 사이의 거리 공식을 활용하여 점의 좌표를 설정하며, 최종적으로 복잡한 식의 극한값을 계산하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 PR=QR이라는 이등변삼각형 조건을 수식으로 변환하는 과정입니다. 점 R의 좌표를 미지수로 설정하고 거리 공식을 그대로 사용하면 계산이 매우 복잡해지기 쉽습니다. 이 문제의 실마리는 선분 PQ의 수직이등분선 위에 점 R이 존재한다는 기하학적 성질을 이용하는 것입니다. 수직이등분선의 방정식을 구하면 점 R의 좌표를 t에 대한 식으로 훨씬 간단하게 표현할 수 있고, 이것이 극한 계산을 성공으로 이끄는 열쇠가 됩니다.
  
• 20번 — 0부터 2π까지의 범위에서 절댓값이 두 번 포함된 복잡한 삼각함수 f(x)의 값이 0 이하의 정수가 되도록 하는 x의 개수를 찾는 문제입니다. 핵심 출제 의도는 sinx의 값의 범위에 따라 여러 구간으로 나누어 절댓값을 처리하고, 각 구간별로 삼각방정식 또는 부등식의 해를 정확히 구할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 |1+2sinx|와 |sinx|의 부호가 바뀌는 지점을 정확히 나누지 않거나, 각 케이스별로 구한 해가 해당 구간의 가정에 부합하는지 확인하는 과정을 생략하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 sinx의 값을 기준으로 구간을 나누는 것입니다. sinx > 0, -1/2 ≤ sinx < 0, -1 ≤ sinx < -1/2 세 가지 경우로 나누어 f(x)를 각각 정리한 뒤, 각 함수가 가질 수 있는 0 이하의 정수 값(0, -1, -2, ...)에 대한 해를 그래프를 이용하여 꼼꼼하게 찾는 것이 정답으로 가는 가장 확실한 길입니다.
  
• 24번 — 이 문제는 두 수열 an과 bn이 시그마(Σ)를 통해 복잡하게 얽혀있는 점화식을 해석하는 능력을 요구합니다. 출제 의도는 Sn과 an의 관계(Sn - Sn-1 = an)를 응용하여 주어진 식을 an에 대한 점화식으로 변환하고, 이를 통해 일반항을 추론하는 것입니다. 많은 학생들이 n(n+1)bn이라는 식의 형태에 압도되어 어디서부터 시작해야 할지 막막해합니다. 주어진 식의 n 자리에 n-1을 대입한 식을 원래 식에서 빼는 것이 이 유형의 문제를 푸는 정석적인 첫걸음입니다. 이 과정을 통해 복잡한 시그마 기호가 사라지고 an과 bn 사이의 간단한 관계식을 얻을 수 있으며, bn이 공차가 2인 등차수열이라는 조건을 결합하면 an에 대한 점화식을 완성할 수 있습니다.
  
• 25번 — 두 지수함수와 두 평행한 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 3이 되도록 하는 자연수 순서쌍 (a,b,c)의 개수를 찾는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 지수함수 그래프의 평행이동 관계를 간파하여 넓이를 쉽게 계산하고, 그 결과를 바탕으로 부정방정식의 자연수 해를 구하는 것입니다. 대부분의 학생들은 정적분을 이용하여 직접 넓이를 계산하려고 시도하다가 복잡한 로그 계산에 시간을 허비하게 됩니다. 결정적인 실마리는 y = (1/2^a) * 4^x - a = 4^(x - a/2) - a 로 변형하여, 주어진 두 곡선이 평행이동 관계에 있음을 파악하는 것입니다. 평행사변형의 넓이 공식을 이용하거나, 곡선으로 둘러싸인 부분을 잘라 붙여 직사각형 넓이로 변환하면 넓이를 a, b, c에 대한 간단한 식으로 표현할 수 있고, 이후 자연수 조건에 맞는 순서쌍을 체계적으로 찾을 수 있습니다.