2018학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 2018년 경찰대 시험은 19번 등비수열 문항에서 계산의 복잡함으로 시간을 많이 뺏겼을 학생이 많았을 겁니다. 전반적으로 단순 개념 확인보다는 여러 개념을 융합하고, 15번 가우스 함수나 17번 직교 다항식처럼 다소 생소할 수 있는 소재를 활용하여 사고의 깊이를 측정하는 문항들이 눈에 띕니다. 특히 16번 점화식 문제처럼 규칙성을 파악하여 일반항을 구하는 능력은 평가원 시험에서도 꾸준히 강조되는 부분이므로, 기출 변형 문제에 대한 충분한 훈련이 필요해 보입니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문제는 가우스 함수([x])가 포함된 이차방정식의 실근을 다루는 문제입니다. 출제 의도는 [x] = n (정수)로 치환하고, x의 범위가 n ≤ x < n+1 임을 이용하여 해를 구하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 판별식으로 구한 x값을 원래의 가우스 값의 범위(n ≤ x < n+1)와 비교하여 해가 되는지를 검증하는 과정을 빠뜨리는 것입니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 x에 대한 방정식을 푼 후, 그 해가 '가정했던 정수 n'을 가우스 값으로 갖는지 반드시 확인하는 '검산' 과정에 있습니다.
  

• 16번

  — 프랙탈 도형의 넓이에 대한 점화식을 세우는 문제입니다. 출제 의도는 n번째 단계와 (n+1)번째 단계의 검은 부분 넓이(S_n) 사이의 관계식을 찾는 것입니다. 많은 학생들이 도형의 변화를 직접 추적하려다 복잡함에 길을 잃지만, 핵심은 '흰 부분'과 '검은 부분'이 다음 단계에서 어떻게 변하는지에 대한 규칙을 파악하는 것입니다. 흰 영역(W_n)의 1/4이 검게, 검은 영역(B_n)의 3/4이 검게 유지된다는 점을 이용해 S_{n+1} = (1/4)W_n + (3/4)S_n 이라는 점화식을 세우는 것이 문제 해결의 결정적 열쇠입니다. W_n = 1 - S_n을 대입하면 간단한 등비수열 형태의 점화식을 얻을 수 있습니다.
  

• 17번

  — 최고차항 계수가 1인 n차 다항함수 P_n(x)가 주어진 직교성(orthogonality) 조건을 만족할 때, P_3(x)의 정적분 값을 구하는 문제입니다. 이 문제는 '르장드르 다항식'의 축소판으로, 주어진 적분 조건 ∫P_m(x)P_n(x)dx = 0 (m≠n)을 이용하여 저차항의 계수를 순차적으로 결정해야 합니다. P_2(x) = x² + ax + b로 두고 P_0, P_1과의 직교 조건을 이용해 a, b를 구하고, 다시 P_3(x) = x³ + cx² + dx + e로 두고 P_0, P_1, P_2와의 직교 조건을 모두 활용해야 합니다. 계산량이 많아 보이지만, 적분 구간이 [-1, 1]이므로 우함수·기함수의 성질(∫(기함수)dx = 0)을 적극적으로 활용하면 계산을 크게 줄일 수 있다는 점이 풀이의 핵심입니다.
  

• 18번

  — 가우스 함수와 시그마 형태의 합으로 정의된 함수 f(x)의 성질을 파악하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 f(x)의 정의에 포함된 합 부분, 즉 Σ[x + k/100]이 '에르미트 항등식'에 의해 [100x]와 같다는 것을 간파하는 것입니다. 따라서 f(x) = [x] + [100x]라는 간단한 형태로 변환하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 이 변환 없이는 <보기>의 참거짓을 판별하기 매우 어렵습니다. ㄱ, ㄴ, ㄷ을 판별할 때, x에 구체적인 값을 대입하여 반례를 찾거나, 주어진 부등식 범위 내에서 [x]와 [100x]의 값이 어떻게 결정되는지를 논리적으로 추론하는 능력이 요구됩니다.
  

• 19번

  — 등비수열의 항들에 대해 Σ|x - a_n| 형태의 함수의 최소값을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 두 가지 핵심 개념을 융합하는 능력입니다. 첫째, Σ|x - c_k| 형태의 함수는 x가 데이터 {c_k}의 '중앙값(median)'일 때 최소가 된다는 사실입니다. 여기서는 항이 17개이므로 중앙값은 9번째 항인 a_9가 됩니다. 둘째, 이 최소값이 x=16에서 발생한다는 조건으로부터 a_9 = 16임을 이용하여 공비 r을 구하고, 이를 바탕으로 등비수열의 합 공식을 이용해 실제 최소값 m을 계산하는 것입니다. 계산 과정에서 r=√2가 나오는데, 이를 끝까지 깔끔하게 정리하는 계산 능력이 중요하며, m = Σ(a_{9+k} - a_{9-k}) 형태로 식을 변형하면 계산을 조금 더 수월하게 할 수 있습니다.
  

• 24번

  — 도함수 f'(x)의 형태가 주어졌을 때, 원함수 f(x)가 x=0에서 극댓값을 가질 조건을 찾는 문제입니다. 핵심은 x=0에서 극댓값을 가지려면, x=0 좌우에서 f'(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌어야 한다는 것입니다. f'(x) = (x+1)^k * x^l * (x-1)^m 에서 x=0 근방의 부호에 영향을 주는 인자는 x^l과 (x-1)^m 입니다. (x+1)^k는 항상 양수, (x-1)^m은 항상 음수이므로, 결국 x^l의 부호 변화와 m의 홀짝성이 전체 부호 변화를 결정합니다. l과 m이 모두 홀수여야 한다는 결론을 도출한 후, 1 ≤ k < l < m ≤ 10을 만족하는 자연수 순서쌍 (k,l,m)의 개수를 세는 조합 문제로 귀결됩니다.