2019학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

25번 최단경로 문제에서 '3칸 이상 직선 구간'이라는 생소한 조건 때문에 여사건으로 접근하다가 오히려 시간을 허비한 학생들이 많았을 겁니다. 이번 경찰대 시험은 단순히 공식을 암기해서 푸는 문제를 넘어, 16번처럼 등비수열의 합을 기하학적 위치와 연결하거나 20번처럼 함수의 성질을 조합론적으로 해석하는 등 개념의 깊이 있는 이해와 통합적 사고력을 요구하는 문항들이 다수 포진해 있습니다. 특히 17번, 19번과 같이 접선의 개수나 극한으로 정의된 함수의 그래프를 추론하는 문항들은 평가원 수능의 준킬러 문항과 그 결을 같이 하므로, 수능을 준비하는 학생들에게도 좋은 실전 훈련이 될 것입니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 등비수열의 합을 정사각형 둘레 위의 움직임으로 해석하는 통합형 문항입니다. 핵심은 점 Pn의 위치가 시작점 A로부터의 총 이동 거리 S_n = (1-t^n)/(1-t)를 둘레 길이 4로 나눈 나머지 값에 의해 결정된다는 점을 파악하는 것입니다. 많은 학생들이 각 점의 좌표를 추적하려다 길을 잃기 쉬운데, '무수히 많은 점들이 변 DA 위에 있다'는 조건은 수열 {P_n}의 극한점, 즉 총 이동 거리의 극한값 L = 1/(1-t)이 변 DA 위에 존재해야 한다는 결정적 힌트입니다. 이 극한점의 위치가 4k+3 ≤ L ≤ 4k+4 (k는 정수) 범위에 속해야 한다는 조건을 식으로 세우면 t의 범위를 k에 대한 식으로 나타낼 수 있고, 주어진 부등식을 만족하는 k의 최솟값을 찾을 수 있습니다.
  

• 17번

  — 곡선 밖의 한 점에서 그을 수 있는 접선의 개수는, 접점의 x좌표를 t라 할 때 만들어지는 t에 대한 방정식의 실근 개수와 같다는 것이 이 문제의 출발점입니다. y=x³+1에 대해 이 방정식을 세우면 t에 관한 삼차방정식이 나오는데, 이 방정식이 서로 다른 세 실근을 가져야 접선을 3개 그을 수 있습니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 이 삼차방정식을 정리하는 과정에서의 계산 실수, 그리고 '서로 다른 세 실근을 가질 조건'을 판별식이 아닌 그래프의 극대/극소 개념으로 연결하지 못하는 것입니다. 힌트는 삼차함수 g(t) = 0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값) × (극솟값) < 0 이어야 한다는 사실을 이용하는 것입니다. 이를 통해 점 (a,b)가 만족해야 하는 부등식 영역을 찾고 그 넓이를 계산해야 합니다.
  

• 19번

  — x의 거듭제곱의 극한으로 정의된 함수 f(x)는 수능에서도 자주 등장하는 단골 유형입니다. 이 문제를 푸는 첫 단추는 |x| > 1, |x| < 1, x=1, x=-1 네 가지 경우로 나누어 f(x)를 정확히 구하는 것입니다. 특히 x=-1일 때의 함수값을 실수 없이 구하는 것이 중요합니다. f(x)가 구간별로 나뉜 조각 함수(piecewise function)로 정의되면, 문제는 'y=f(x)의 그래프와 꼭짓점이 (k,0)인 아래로 볼록한 이차함수 y=(x-k)²의 교점이 3개가 되도록 하는 k의 범위를 찾는' 그래프 해석 문제로 바뀝니다. 학생들이 실수하는 포인트는, 이차함수의 그래프를 좌우로 움직여보며 교점의 개수를 셀 때, f(x)의 불연속점이나 꺾이는 지점을 지날 때의 변화를 놓치는 것입니다. 교점 개수가 3개가 되는 순간은 보통 이차함수가 f(x)의 일부에 '접할 때' 혹은 '특이점을 지날 때' 발생한다는 점을 명심해야 합니다.
  

• 20번

  — 함수의 개수를 세는 고난도 조합 문제입니다. 문제의 핵심 조건은 (f∘f의 치역) ∪ {4, 5} = X 라는 것인데, 이는 합성함수의 치역이 반드시 {1, 2, 3}을 원소로 포함해야 함을 의미합니다. 많은 학생들이 이 조건을 f∘f의 치역이 {1, 2, 3}이라고 착각하여 오답에 이릅니다. 이 문제의 실마리는 f의 치역 R(f)의 크기를 기준으로 경우를 나누는 것입니다. R(f∘f)는 R(f)에 속한 원소들의 함숫값들의 집합, 즉 f(R(f))와 같습니다. 만약 f의 치역의 원소 개수가 3개 미만이라면, f(R(f))의 원소 개수 역시 3개 미만이 되어 {1, 2, 3}을 포함할 수 없습니다. 따라서 |R(f)|는 3, 4, 5인 경우로 나누어, 각 경우마다 조건을 만족하는 함수 f를 구성하는 방법을 체계적으로 세어 나가야 합니다.
  

• 24번

  — 구간별로 정의된 함수가 모든 실수에서 미분가능하다는 조건은 '연속'과 '좌미분계수=우미분계수'라는 두 가지 핵심 개념을 동시에 점검하는 전형적인 킬러 문항 유형입니다. 이 문제에서는 경계점인 x=0과 x=2에서 두 조건을 모두 적용해야 합니다. 즉, g(0), g'(0), g(2), g'(2)에 대한 총 4개의 조건을 얻게 됩니다. 문제에서 '가장 낮은 차수의 다항함수 g(x)'를 요구했으므로, 4개의 조건을 만족시킬 수 있는 최소 차수인 3차 함수로 g(x)를 설정하는 것이 풀이의 시작입니다. 이 4개의 조건을 이용해 3차 함수의 계수들을 미지수 k로 표현한 뒤, 마지막 조건인 1/4 < g(1) < 3/4 부등식을 활용하여 자연수 k의 값을 결정하는 흐름으로 문제가 설계되어 있습니다.
  

• 25번

  — 최단경로 문제에 '길이 3 이상의 직선 구간 포함'이라는 제약 조건이 붙은 변형 문제입니다. 직접 조건을 만족하는 경로를 세는 것은 중복 때문에 매우 복잡하므로, 전체 경우의 수에서 조건을 만족하지 않는 경우(여사건)를 빼는 것이 현명한 전략입니다. 여기서 여사건은 '모든 가로 직선 구간의 길이가 2 이하이고, 동시에 모든 세로 직선 구간의 길이가 2 이하인 경로'를 의미합니다. 하지만 이 여사건을 세는 것도 만만치 않으므로, 포함-배제의 원리를 적용하는 것이 더 효과적입니다. 즉, (가로 3 이상인 경로의 수) + (세로 3 이상인 경로의 수) - (가로 3 이상이면서 동시에 세로 3 이상인 경로의 수)를 계산하는 것입니다. 각 경우의 수를 셀 때는 'HHH'나 'VVV'를 하나의 덩어리로 보고 배열하는 조합론적 아이디어를 사용하면 실수를 줄일 수 있습니다.