2020학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

25번 문항의 가우스 함수와 정적분 조합은 많은 수험생들의 발목을 잡았을 겁니다. 경찰대 시험은 단순히 공식을 암기해서 푸는 문제를 넘어, 여러 개념을 융합하고 깊이 있는 수학적 사고력을 요구하는 문항들로 변별력을 확보하는 경향이 뚜렷합니다. 특히 12번(미분가능성), 14번(정적분과 대칭성), 17번(함수방정식) 등은 평가원 수능의 고난도 문항과 그 결을 같이 하므로, 기출 분석을 통해 문제 해결의 논리적 흐름을 체화하는 훈련이 반드시 필요합니다. 계산 과정이 복잡한 문항도 다수 포함되어 시간 관리 능력 또한 합격의 중요한 변수가 되었을 것입니다.

문항 분석

• 12번

  — 이 문제는 절댓값을 포함한 함수가 특정 지점에서 미분 가능할 조건을 정확히 이해하고 있는지를 묻고 있습니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는, 함수값이 같고 좌/우 미분계수가 같다는 조건만 생각하다가 절댓값 함수의 특수성을 놓치는 것입니다. |f(x)|가 f(c)=0인 지점 x=c에서 미분 가능하려면, 반드시 f'(c)=0이어야 한다는 사실이 문제 해결의 결정적 열쇠입니다. 이 조건을 x=-1과 x=5에 각각 적용하여 3차 함수 f(x)의 식을 구체화하는 것이 첫 단추입니다.
  

• 17번

  — 주어진 관계식은 미분계수의 정의나 특정 공식에 바로 들어맞지 않는 생소한 형태의 함수 방정식입니다. 출제 의도는 이 식으로부터 함수 f(x)가 다항함수, 특히 3차 함수임을 추론해내는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 y에 특정 값을 대입해보는 시도를 하다가 길을 잃곤 합니다. 이 문제의 실마리는 식을 y에 대한 함수로 보고 양변을 y로 미분한 뒤 y=0을 대입하는 것입니다. 이 과정을 통해 f'(x)에 대한 식을 얻을 수 있고, 이를 적분하면 f(x)의 형태를 깔끔하게 밝혀낼 수 있습니다.
  

• 18번

  — 1부터 12까지의 수를 나열하여 인접한 항의 차의 절댓값의 합이 최대가 되는 경우를 찾는 문제입니다. 이 문제는 단순히 계산하는 것이 아니라, 최댓값이 되기 위한 수열의 배열 '원리'를 간파해야 합니다. 학생들은 몇 가지 경우를 시도해보다가 규칙을 찾지 못하고 포기하기 쉽습니다. 결정적 힌트는 '가장 큰 차이'를 만드는 것입니다. 즉, 가장 큰 수와 가장 작은 수를 번갈아 가며 배열할 때 합이 최대가 됩니다. 예를 들어, 12, 1, 11, 2, 10, 3, ... 과 같은 패턴으로 수열을 구성하면 각 항의 차이가 극대화되어 합의 최댓값을 구할 수 있습니다.
  

• 19번

  — 로그 방정식을 통해 x, y의 관계식을 구하고, 이를 만족하는 영역에서 |x|-|y|의 최솟값을 찾는 문제입니다. 로그의 진수 조건을 소홀히 다루어 x, y의 범위를 잘못 설정하는 것이 가장 흔한 오답 패턴입니다. 주어진 로그 방정식을 정리하면 x² - 2y² = 4라는 쌍곡선의 방정식이 나옵니다. 여기서 핵심은 진수 조건(x+√2y > 0, x-√2y > 0)을 통해 쌍곡선의 일부 영역만이 해가 됨을 파악하는 것입니다. 그 후, k = |x|-|y|로 두고 이 직선이 해당 쌍곡선 영역과 만날 때의 k값의 범위를 조사하여 최솟값을 찾아내야 합니다.
  

• 20번

  — 두 개의 부등식과 등식 조건을 동시에 만족하는 양수 a, b에 대해 a+b의 값을 구하는 문제입니다. 복잡한 식의 형태 때문에 어떤 부등식을 먼저 사용해야 할지 몰라 헤매기 쉽습니다. 이 문제의 돌파구는 a+b=S, ab=P로 치환하여 식을 간단하게 만드는 것입니다. 주어진 조건들은 S와 P에 대한 연립 부등식/방정식으로 변환되고, (a-b)² = (a+b)² - 4ab 관계식을 이용하면 S와 P 사이의 관계를 더욱 명확하게 할 수 있습니다. 이를 통해 S(또는 P)의 값을 확정하고, 최종적으로 a+b의 값을 구할 수 있습니다.
  

• 25번

  — 가우스 기호([x])를 포함한 함수의 정적분 값을 리만 합의 극한 형태로 묻는, 개념의 깊이를 요구하는 킬러 문항입니다. 학생들은 이 극한식을 보고 무작정 정적분 ∫f(x)dx로 바꾸려다 가우스 함수 때문에 실패하는 경우가 많습니다. 이 문제의 핵심은 f(x)가 x의 정수 부분에 따라 값이 달라지는 '계단 함수'임을 인지하는 것입니다. 따라서 g(3)을 구하기 위한 ∫f(x)dx (0부터 3까지)는 [1,2), [2,3) 등 정수 구간으로 나누어 계산해야 합니다. 각 구간에서 [x]는 상수가 되므로, f(x)는 간단한 1차 또는 2차 함수가 되어 쉽게 적분할 수 있습니다.