2025학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

19번과 20번에서 수능 킬러 문항의 향기가 짙게 풍기는 시험이었습니다. 단순히 공식을 암기해서 푸는 단계를 넘어, 함수의 그래프를 정교하게 추론하고 여러 조건을 융합하여 해석하는 능력을 집중적으로 측정하고 있어요. 특히 17번처럼 정적분으로 정의된 함수에 절댓값과 미분가능성을 엮는 문항은 평가원이 가장 선호하는 유형이므로, 경찰대 지망생이 아니더라도 수능 고득점을 노리는 학생이라면 반드시 정복해야 할 주제입니다. 전반적인 계산량은 많지 않았지만, 각 조건이 의미하는 바를 정확히 꿰뚫지 못하면 풀이의 첫발을 떼기 어려운, 사고력을 요구하는 문항들이 많았습니다.

• 17번 — 이 문항은 정적분으로 정의된 함수 g(x)가 실수 전체에서 미분가능할 조건을 묻고 있습니다. 출제 의도는 절댓값 함수가 언제 미분가능한지에 대한 근본적인 이해를 확인하는 것이죠. 학생들은 보통 g(x)의 미분 불가능 후보 지점으로 x=0, x=2만 생각하기 쉬운데, 정적분 값 자체가 0이 되는 지점 또한 미분 불가능 후보가 될 수 있다는 사실을 놓치는 함정에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 'f(t)의 부호가 바뀌는 지점'을 기준으로 정적분 ∫f(t)dt의 그래프 개형을 추론하고, g(x) 내부의 함수가 각 미분 불가능 후보 지점에서 (x-k)² 형태의 인수를 갖도록, 즉 함수값과 미분계수가 모두 0이 되도록 a, b 값을 설정하는 것입니다.
  
• 18번 — 전형적인 함수의 극한과 연속성을 이용한 다항함수 추론 문제입니다. (가) 조건의 두 극한식에서 f(x)와 g(x) 사이의 관계(함숫값, 미분계수, 최고차항 계수비, 특정 지점에서의 근의 정보)를 최대한 뽑아내는 것이 핵심입니다. 많은 학생들이 lim 1/h(x) = ∞ 라는 조건을 h(0)=0으로 해석하는 데 그치지만, 이것이 f(0)=0 (단, g(0)≠0)을 의미한다는 것까지 연결해야 합니다. 가장 결정적인 힌트는 (나) 조건으로, h(x)=12, 즉 f(x)-12g(x)=0 이라는 새로운 방정식이 '오직 하나의 실근'을 갖는다는 사실입니다. 이를 통해 f(x)와 g(x)의 공통인수 및 나머지 인수들의 관계를 확정 지을 수 있습니다.
  
• 19번 — 최근 수능 킬러 문항의 트렌드를 정확히 반영한 문제입니다. g(x)=|f(x)|-f'(x)라는 새로운 함수를 정의하고, 그 함수의 성질을 통해 원래 함수 f(x)를 역으로 추론하게 만드는 것이 출제 의도입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 (다) 조건의 '미분불가능한 실수 k의 개수가 3개'라는 것을 |f(x)|의 미분 불가능점 개수와 동일시하는 것입니다. g(x)는 f'(x)가 빼져 있으므로, f(x)=0인 지점에서 f'(x)의 연속성을 함께 고려해야 합니다. 문제 해결의 첫 단추는 (가) 조건 g(0)=f(0)=1을 해석하는 것입니다. 이는 |f(0)|-f'(0)=1이고 f(0)=1이라는 의미이므로, f(0)=1과 f'(0)=0이라는 결정적인 정보를 얻게 됩니다. 이를 바탕으로 (나) 조건을 만족하는 삼차함수 f(x)의 그래프 개형을 완성해나가야 합니다.
  
• 20번 — 함수와 그 함수 위의 한 점 t에서의 접선 사이의 관계를 묻는, 함수의 볼록성(convexity)에 대한 깊은 이해를 요구하는 문항입니다. 주어진 부등식 f(x) ≤ f'(t)(x-t)+f(t)는 구간 [-1, 1]에 있는 모든 x에 대해, 함수 y=f(x)의 그래프가 점 (t, f(t))에서의 접선보다 항상 아래쪽에 있거나 접해야 함을 의미합니다. 학생들은 이 조건을 만족하려면 함수가 해당 구간에서 위로 볼록(concave down)이어야 한다고 단순하게 생각하는 오류를 범하기 쉽습니다. 하지만 이 문제는 특정 점 t에서의 접선 하나가 전체 구간을 '덮어야' 하는 조건이므로, f(x)의 이계도함수 f''(x)의 부호와 변곡점의 위치를 파악하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리가 됩니다. f(x)의 그래프와 접선을 직접 그려보며 t의 위치에 따라 접선이 그래프를 어떻게 가로지르는지 시각적으로 분석하는 것이 매우 중요합니다.
  
• 24번 — 도함수에 대한 관계식으로부터 원함수 f(x)를 추론하고 정적분 값을 계산하는 문제입니다. 출제 의도는 주어진 등식에서 f'(x)가 될 수 있는 두 가지 가능성을 모두 고려하고, 추가 조건을 통해 유일한 함수를 결정할 수 있는지를 묻는 것입니다. (가) 조건 (f'(x))² = (x-2)² 에서 f'(x) = x-2 또는 f'(x) = -(x-2) 라는 것을 바로 알아채야 합니다. 여기서 학생들이 흔히 저지르는 실수는 f'(x)가 둘 중 하나로 고정된다고 생각하는 것입니다. '도함수가 연속'이라는 조건에 따라, 두 함수가 같아지는 x=2를 기준으로 함수가 바뀔 수 있음을 인지하는 것이 핵심입니다. (나) 조건 f(0)<f(4)는 f(4)-f(0) = ∫[0 to 4] f'(x)dx > 0 임을 의미하므로, 두 가지 가능한 f'(x) 중 어떤 개형이 이 조건을 만족하는지 적분을 통해 확인하는 것이 이 문제를 풀어내는 결정적 열쇠입니다.