2021학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

19번 3차 함수 문항은 절댓값과 특정 함숫값을 기준으로 실근 개수를 따지는, 그야말로 학생들의 그래프 추론 능력을 극한까지 시험하는 문제였을 겁니다. 전반적으로 단순 계산 문제보다는 17번, 18번처럼 수열, 기하, 미적분을 넘나드는 통합적 사고력을 요구하는 문항들이 많아 체감 난이도가 높았을 거예요. 이러한 출제 기조는 최근 수능에서 강조하는 '개념 간의 유기적 연결'과 정확히 일치하므로, 경찰대 지망생이 아니더라도 수능 고득점을 목표로 한다면 반드시 깊이 있게 분석하고 넘어가야 할 시험지입니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문제는 로그함수와 지수함수 그래프가 특정 직선과 만나는 교점의 개수를 조건으로 제시하고, 이를 만족하는 자연수 m의 합(an)을 구한 뒤 그 역수의 급수를 계산하는 복합 문항입니다. 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수는 y=n과 y=2^(x-m)의 교점이 '두 개'가 되는 조건을 안일하게 생각하는 것입니다. 지수함수는 점근선을 가지므로, y=n이 점근선보다 위에 있는지 아래에 있는지에 따라 교점 개수가 달라진다는 점을 놓치면 오답으로 직결됩니다. 문제 해결의 실마리는 x=n이라는 수직선과의 교점 조건을 먼저 활용하여 m의 범위를 2n에 대한 식으로 제한하고, 그 범위 내에서 y=n이라는 수평선과의 교점 조건을 따져보는 순차적 접근에 있습니다.
  

• 18번

  — 두 함수 f(x), g(x)가 공통 접선 y=x-1을 갖는다는 조건과 두 함수가 x축과 이루는 넓이가 같다는 조건을 엮은 최고난도 미적분 문제입니다. 핵심 출제 의도는 '접선 조건'을 미분계수와 함숫값 조건으로 완벽히 변환하고, '넓이가 같다'는 것을 정적분 관계식으로 표현하여 미지수 a, b, k를 연립해 푸는 능력입니다. 많은 학생들이 접점의 x좌표를 각각 다른 문자로 설정하고 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉬운데, f(x)와 g(x)가 접하는 점이 다를 수 있다는 점을 인지하고 각각의 접점(t, t-1), (s, s-1)을 설정하는 것이 첫 단추입니다. 결정적 힌트는 넓이가 같다는 조건, 즉 ∫f(x)dx = ∫g(x)dx를 통해 a와 b, k 사이의 관계식을 하나 더 찾아내는 것입니다.
  

• 19번

  — 최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 그 도함수가 x=-1에서 최솟값을 갖는다는 조건에서 출발하여, |f(x)-f(-3)|=k의 실근이 4개가 될 조건을 찾는 문제입니다. 이 문제는 삼차함수 그래프의 대칭성과 극값의 성질을 완벽히 이해하고 있는지를 묻습니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 f'(x)의 대칭축이 x=-1이라는 사실로부터 f(x)가 점 (-1, f(-1))에 대해 점대칭이라는 것을 바로 연결 짓지 못하는 것입니다. 이 대칭성을 이용하면 극값을 갖는 두 x좌표의 관계를 쉽게 파악할 수 있습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 방정식 |f(x)-f(-3)|=k를 y=|f(x)-f(-3)| 그래프와 y=k라는 상수함수의 교점으로 해석하는 것입니다. f(x)의 그래프를 y=f(-3)만큼 평행이동 시킨 후 x축 아래를 접어 올린 그래프를 상상하면, 교점이 4개가 되는 k의 범위가 바로 보일 것입니다.
  

• 20번

  — 주어진 세 변의 길이를 갖는 삼각형 ABC 내부에 선분 DE를 긋고, 삼각형 ADE의 외접원이 변 BC에 접할 때 DE 길이의 최솟값을 묻는 기하 문제입니다. 이 문제는 원의 성질과 삼각형의 닮음을 통합적으로 활용해야 풀 수 있습니다. 많은 학생들이 DE의 길이를 어떻게 변수로 표현해야 할지 막막해하는데, 핵심은 점 A를 원점으로 하는 좌표평면을 도입하거나, 방멱 정리 또는 닮음을 이용하는 것입니다. 가장 결정적인 실마리는 삼각형 ADE의 외접원이 BC에 접하는 점을 T라 할 때, 삼각형 ADT와 삼각형 ACT, 그리고 삼각형 AET와 삼각형 ABT 사이의 닮음 관계를 찾아내는 것입니다. 이 닮음 관계를 이용하면 AD, AE의 길이를 한 문자로 표현할 수 있고, 코사인 법칙을 통해 DE의 길이를 그 문자에 대한 함수로 나타내어 최솟값을 구할 수 있습니다.
  

• 24번

  — ab(c+d+e)=12라는 조건과 a,b,c,d,e 중 적어도 2개가 짝수라는 조건을 만족하는 자연수 순서쌍의 개수를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 조건을 체계적으로 분해하고, 여사건의 원리를 적절히 활용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 '적어도 2개가 짝수'라는 조건을 직접 세려고 하다가 중복과 누락으로 인해 혼란에 빠지는 것입니다. 이 문제의 핵심은 전체 경우의 수에서 여사건, 즉 '짝수가 0개인 경우(모두 홀수)'와 '짝수가 1개인 경우'를 빼는 전략을 사용하는 것입니다. 첫 단추는 ab와 (c+d+e)의 곱이 12가 되는 모든 자연수 쌍 (ab, c+d+e)을 나열하고, 각각의 케이스에 대해 a,b를 정하는 경우의 수와 c+d+e를 만족하는 경우의 수를 따로 계산하여 곱하는 것입니다.
  

• 25번

  — 5개의 점이 주어졌을 때, 오차의 제곱의 합 Σ(ax_i + b - y_i)²을 최소로 만드는 회귀직선 y=ax+b의 계수 a, b를 찾는 문제입니다. 이 문제는 '최소제곱법'이라는 통계적 개념을 알고 있는지 직접적으로 묻고 있습니다. 많은 학생들이 이 개념을 교과서의 부록 정도로 여기고 소홀히 하여 시험장에서 당황하기 쉽습니다. 이 문제를 풀기 위한 핵심은 주어진 식 S(a,b) = Σ(ax_i + b - y_i)²를 a와 b에 대한 이차함수로 보고, S가 최소가 될 때는 S를 a와 b로 각각 편미분한 값이 0이 된다는 사실을 이용하는 것입니다. 하지만 고교 과정에서는 공식을 암기하는 것이 더 현실적입니다. 결정적 힌트는 a = (x편차)(y편차)의 합 / (x편차)²의 합, b = y평균 - a * x평균 이라는 회귀계수 공식을 정확히 적용하는 것입니다. 먼저 x와 y의 평균을 구하는 것이 계산의 시작입니다.