2026학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

24번 문항은 주어진 인수분해 형태에서 두 삼차함수의 형태를 추론하는 과정이 매우 까다로워, 여기서 시간을 많이 쓴 학생들이 많았을 것입니다. 전반적으로 경찰대학 1차 시험의 명성답게, 단순 계산 능력을 넘어 깊이 있는 수학적 사고력과 문제 해결 전략을 요구하는 문항들이 다수 포진해 있습니다. 특히 16번, 19번과 같은 함수 추론 문항들은 수능 22번 킬러 문항을 대비하는 좋은 훈련이 되며, 복잡한 조건 해석 능력과 끈기 있는 계산 실행력이 고득점의 관건이었을 것입니다.

• 16번 — 이 문제는 주어진 조건을 만족하는 연속 함수 f(x)의 개형을 먼저 추론하는 것이 핵심입니다. (가) 조건의 연속성을 만족시키는 a의 값을 찾고, (나) 조건의 '기울기가 양수인 직선이 2개 이상의 교점을 갖는다'는 것이 f(x)의 그래프 개형에 어떤 제약을 주는지 파악해야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 g(x) ≤ f(x) 조건을 만족하는 k값을 찾을 때, 접하는 모든 경우를 고려하지 않고 극값만 생각하는 것입니다. f(x)의 변곡점을 기준으로 접선의 위치 관계가 어떻게 변하는지를 따져보는 것이 결정적 실마리가 됩니다.
  
• 18번 — m+n의 값이 최대가 되는 상황은 두 직선 y=1, y=6이 모두 삼각함수의 최댓값과 최솟값 사이에 존재하여 각각 4개의 교점을 가질 때임을 파악하는 것이 첫 단추입니다. 이로부터 a와 b에 대한 부등식 `b-a < 1`과 `b+a > 6`을 유도할 수 있습니다. 하지만 문제의 진짜 함정은 여기서부터 시작됩니다. 주어진 보기와 문항의 맥락을 고려할 때, '10 이하의 두 자연수'라는 조건에 숨겨진 추가적인 제약(예: a+b의 범위, a와 b가 다른 수인지 여부)이 있을 가능성을 의심해야 합니다. 가능한 (a,b) 순서쌍을 꼼꼼하게 세는 과정에서 이 숨겨진 규칙을 발견하는 것이 만점을 위한 열쇠입니다.
  
• 19번 — 이 문항의 핵심은 `k(a)`의 정의를 정확히 이해하는 것입니다. `k(a)=n`이라는 것은 함수 f(x)가 `(x-a)^n`을 인수로 가지지만 `(x-a)^(n+1)`은 인수로 갖지 않는다는 의미, 즉 `f(a)=f'(a)=...=f^(n-1)(a)=0` 이고 `f^n(a)≠0` 임을 의미합니다. 이 정의를 이용해 사차함수 f(x)의 인수 형태를 `(x+1)(x-2)²(Ax+B)`로 설정하고, (나) 조건(t<0에서 실근 존재)을 통해 최고차항 계수 A가 음수여야 함을 추론해야 합니다. 학생들이 자주 실수하는 부분은 `k(-1)=1` 조건을 만족하는지, 즉 `f'(-1)≠0`이 되는지를 검증하지 않고 넘어가는 것입니다. 주어진 모든 조건을 만족하는 정수 A, B의 조합을 모두 찾아내는 끈기가 필요합니다.
  
• 20번 — 주기성을 가진 함수의 정적분 문제로, `f(x+4) = f(x)+1` 이라는 특이한 조건을 활용하는 것이 관건입니다. 구하고자 하는 적분 구간 `[a, a+2]`를 `a=4+t` (단, `1≤t≤2`)로 치환하여 적분식을 `t`에 대한 함수 `J(t)`로 표현하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다. 그 후 `J(t)`를 미분하여 `J'(t) = f(2+t) - f(t)`를 얻고, 이 도함수의 부호를 조사하여 `J(t)`의 최솟값을 찾는 전형적인 '정적분으로 정의된 함수의 최대/최소' 유형입니다. 다만, 문제에 제시된 함수가 x=2에서 불연속이므로 '연속함수'라는 조건과 상충하는 부분이 있지만, 출제 의도는 주어진 함수 정의를 그대로 따라 계산하는 능력을 평가하는 데 있었을 것입니다. 계산 과정의 정확성이 매우 중요합니다.
  
• 24번 — 두 삼차함수의 곱이 완전제곱식들의 곱으로 표현된다는 점에서, f(x)와 g(x)가 각각 어떤 인수를 어떻게 나누어 갖는지를 추론하는 것이 이 문제의 전부라 할 수 있습니다. (가) 조건에서 f(x)가 x=2에서 극소를 갖는다는 것은 `f'(2)=0`임을 의미하며, 이는 f(x)가 `(x-2)²`을 인수로 갖거나, 혹은 다른 인수와의 조합을 통해 x=2에서 극점을 형성함을 시사합니다. 가능한 인수 조합에 따라 f(x)와 g(x)의 형태를 몇 가지 케이스로 나누고, 각각의 경우에 대해 g'(0) 값을 계산하여 문제의 조건과 일치하는 유일한 k값을 찾아내야 합니다. 최고차항의 계수가 5라는 점을 놓치지 않고 g(x)의 계수를 설정하는 디테일에서 오답이 갈릴 수 있는 고난도 문항입니다.