2021년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 이차함수 최대/최소 문항은 단순히 꼭짓점의 위치만 따지던 학생들에게는 재앙이었을 겁니다. 제한된 범위가 변수 t에 따라 함께 움직이고, 심지어 대칭축까지 변수 t를 포함하고 있어, 경우를 나누는 과정에서 극도의 섬세함을 요구했죠. 전반적으로 다항식, 방정식과 부등식, 도형의 방정식 등 고1 1학기 핵심 개념들을 충실히 물어보면서도, 21번, 29번, 30번과 같은 고난도 문항에서는 여러 개념을 복합적으로 사고하는 능력을 측정했습니다. 특히 1학년 때부터 이차함수의 그래프를 자유자재로 해석하고 그리는 연습을 철저히 해두는 것이, 향후 수능에서 다루게 될 복잡한 함수들을 정복하는 첫걸음임을 명심해야 합니다.

문항 분석

• 17번

  — 원의 중심 좌표를 (a, r)로 설정하고 x축에 접한다는 조건으로부터 원의 방정식을 세우는 것이 출발점입니다. 많은 학생들이 P, Q, R, S 네 점의 좌표를 모두 구하려고 시도하다가 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 핵심은 '현의 길이'와 '점과 직선 사이의 거리'를 이용하는 것입니다. 현 PS의 길이가 4이고, P를 지나며 기울기가 2인 직선의 방정식을 알고 있으므로, 원의 중심에서 이 직선까지의 거리와 반지름, 그리고 현의 길이의 절반(2) 사이의 피타고라스 정리를 떠올리는 것이 결정적 힌트입니다.
  

• 20번

  — 주어진 복소수 z가 x³=1의 한 허근, 즉 오메가(ω)임을 간파하는 것이 문제 해결의 90%를 차지합니다. 이를 눈치채지 못하고 z를 직접 거듭제곱하면 절대 시간 내에 풀 수 없습니다. 핵심 개념은 ω³=1과 ω²+ω+1=0 이 두 가지 성질입니다. ㄷ 보기는 학생들이 가장 어려워하는 부분인데, n을 3으로 나눈 나머지(3k, 3k+1, 3k-1)에 따라 주어진 식의 값이 주기적으로 반복된다는 사실을 이용해야 합니다. 100 이하의 자연수 n을 이 세 가지 경우로 나누어 각각의 경우에 식이 -1이 되는 n의 개수를 세는 것이 정석적인 풀이법입니다.
  

• 21번

  — 이차함수 y=(x-k)²-2와 직선 y=2의 교점 A, B는 대칭축 x=k에 대해 항상 대칭이므로, 삼각형 AOB는 선분 OA와 OB의 길이가 같은 이등변삼각형이 기본적으로 성립합니다. 여기서 함정은, 이등변삼각형이 되는 '서로 다른' k의 개수를 묻고 있다는 점입니다. 즉, OA=OB 외에 OA=AB 또는 OB=AB가 되는 추가적인 경우를 찾아내야 합니다. 교점 A, B의 좌표를 k로 표현한 뒤, 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 OA²=AB² 라는 방정식을 세우고 이를 만족하는 k값을 찾는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 28번

  — 원이 원점 O를 지난다는 조건에서 원의 방정식 (x-a)²+(y-b)²=r²에 (0,0)을 대입하여 r²=a²+b²라는 관계식을 얻는 것이 첫 단추입니다. 많은 학생들이 x축, y축과 만나는 점 A, B의 좌표를 구하는 데서 헤매는데, 원의 방정식을 전개하여 x절편(y=0 대입)과 y절편(x=0 대입)을 구하면 각각 (2a, 0), (0, 2b)임을 쉽게 알 수 있습니다. (가) 조건 OB-OA=4는 |2b|-|2a|=4로, (나) 조건 y=3x는 중심 (a,b)가 이 직선 위의 점이므로 b=3a라는 관계식으로 변환됩니다. 이 두 식을 연립하여 a, b 값을 구하면 문제는 해결됩니다.
  

• 29번

  — 주어진 등식 {Q(x+1)}²+{Q(x)}² = x(x-1)P(x)는 모든 실수 x에 대한 항등식이라는 점이 가장 중요합니다. 좌변은 (실수)²+(실수)² 형태이므로 항상 0 이상입니다. 우변의 x(x-1)은 x=0과 x=1에서 0이 되므로, x=0을 대입하면 {Q(1)}²+{Q(0)}²=0, x=1을 대입하면 {Q(2)}²+{Q(1)}²=0 이라는 결정적인 정보를 얻게 됩니다. 실수의 제곱의 합이 0이려면 각각이 0이어야 하므로, Q(0)=0, Q(1)=0 이라는 사실을 추론할 수 있습니다. 최고차항 계수가 1인 삼차식 Q(x)가 x와 (x-1)을 인수로 가지므로 Q(x)=x(x-1)(x-c)로 설정하고 다시 항등식에 대입하여 나머지 인수와 P(x)를 찾아내는 것이 풀이의 핵심 흐름입니다.
  

• 30번

  — 이 문제는 변수가 3개(x, t, a)나 얽혀있어 극도로 복잡해 보이지만, 단계적으로 분석하면 해결 가능합니다. 첫 번째 관문은 t값에 따라 변하는 구간 [t, t+3]에서 이차함수 f(x)의 최대/최소를 구해 g(t)라는 새로운 함수를 정의하는 것입니다. 이차함수의 대칭축 x=2t가 구간 [t, t+3]의 왼쪽에 있는지, 내부에 있는지, 오른쪽에 있는지에 따라 최대/최솟값이 달라지므로, 구간을 나누어 g(t)를 구해야 합니다. 특히 대칭축이 구간 내부에 있을 때는, 양 끝점 t와 t+3 중 어느 곳이 대칭축 2t에서 더 먼지에 따라 최댓값이 달라지므로 추가적인 경우 분류가 필요합니다. 이렇게 구한 조각난 함수 y=g(t)의 그래프와, 기울기가 -4이고 y절편이 a인 직선 y=-4t+a의 교점이 4개가 되도록 하는 y절편 a의 범위를 찾는 것이 최종 목표입니다. 그래프를 정확히 그리고 직선을 움직여보는 시각적 접근이 필수적입니다.