2021년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 이차함수 절댓값 문제는 고1 학생들에게는 거의 수능 킬러 문항급 체감 난이도였을 겁니다. 전반적으로 도형과 방정식, 함수 등 여러 단원의 개념을 융합한 문항들이 눈에 띄었고, 특히 15번, 21번처럼 꼼꼼한 경우의 수 분석을 요구하는 문제에서 시간 관리에 실패한 학생들이 많았을 것입니다. 이러한 출제 경향은 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 각 개념의 정의를 깊이 이해하고 문제 상황에 맞게 적용하는 능력을 평가하려는 수능의 방향성과 일치하므로, 지금부터 복잡한 조건 해석 훈련을 꾸준히 해야 합니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문제는 연립이차부등식의 해를 구하고, 그 범위 안에 포함되는 정수의 개수가 5개가 되도록 미지수 k의 범위를 찾는 문제입니다. 출제 의도는 부등식의 해를 k에 대한 식으로 정확히 표현하고, 수직선 위에서 정수의 개수를 세는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 첫 번째 부등식의 해를 `x ≤ -1 또는 x ≥ 3`으로 구한 뒤, 두 번째 부등식의 해의 양 끝 값인 `k`와 `5`의 대소 관계를 나누어 생각하지 않는 것입니다. `k < 5`일 때, `k > 5`일 때, `k = 5`일 때로 경우를 나누어 정수 해의 개수를 꼼꼼히 따져보는 것이 문제 해결의 결정적 실마리가 됩니다.
  

• 20번

  — 전체집합 U의 부분집합 X가 3가지 조건을 만족할 때, 원소의 합의 최솟값을 구하는 문제입니다. 핵심은 (나) 조건 `A-X = B-X`를 어떻게 해석하느냐에 있습니다. 이 조건은 X가 두 집합 A와 B의 차집합에 포함되는 원소들을 동일하게 가져가야 함을 의미합니다. 즉, `A-B`의 원소(1, 2)와 `B-A`의 원소(6, 7)에 대해 X의 포함 여부가 결정됩니다. 학생들은 이 조건을 `A=B`로 착각하거나, X가 `A-B`와 `B-A`의 원소를 모두 포함하거나 모두 포함하지 않아야 한다는 사실을 놓치기 쉽습니다. (다) 조건을 만족시키면서 원소의 합을 최소화하려면, X는 `A∩B`={3, 4, 5}의 원소 중 가장 작은 값들을 우선적으로 포함해야 한다는 점이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 21번

  — 세 집합 A, B, C를 좌표평면 위의 점들의 모임으로 정의하고, 합집합의 원소 개수가 3개일 때의 미지수 값을 묻는 문제입니다. 이 문제는 집합의 언어로 표현된 기하 문제로, 직선 `y = (4/3)x`와 세 개의 원의 교점 개수를 파악하는 것이 핵심입니다. 학생들은 `n(A U B U C) = 3`이라는 조건을 `n(A)+n(B)+n(C)=3`으로 오해하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 조건은 세 원과 직선의 모든 교점을 합쳤을 때 중복을 제외하고 총 3개라는 의미입니다. 문제 해결의 실마리는 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용해 각 원과 직선의 위치 관계(두 점에서 만남, 접함, 만나지 않음)를 판별하는 것입니다. 특히, 두 원이 직선 위의 같은 점에서 교점을 가질 때(즉, 접할 때) 합집합의 원소 개수가 줄어든다는 점을 간파해야 합니다.
  

• 수학 28번

  — 구간에 따라 다르게 정의된 함수 f(x)에 대하여, 합성함수 방정식 `(f∘f)(a) = f(a)`를 만족시키는 모든 실수 a의 값의 합을 구하는 문제입니다. 이 문제는 `f(x)=t`로 치환하여 `f(t)=t`를 먼저 푸는, 전형적인 합성함수 방정식 풀이 능력을 평가합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 `f(t)=t`의 해 `t`를 구한 뒤, 다시 `f(a)=t`를 푸는 과정에서 `t`값의 범위에 따라 `a`를 구하는 함수식이 달라진다는 점입니다. 예를 들어, `f(t)=t`의 해 `t`가 2보다 작다면 `2t+2=t`를, 2 이상이라면 `t^2-7t+16=t`를 풀어야 합니다. 여기서 구한 `t`값들을 다시 `f(a)=t` 방정식의 상수항으로 사용하여, `a`값 역시 `a<2`인 경우와 `a≥2`인 경우로 나누어 꼼꼼하게 모든 해를 찾아내는 것이 관건입니다.
  

• 수학 29번

  — 등변사다리꼴의 두 밑변이 아닌 변(AB, CD)을 각각 지름으로 하는 두 원이 외접하는 상황을 다룬 복합 기하 문제입니다. 넓이(S)와 둘레(l)에 대한 관계식이 주어졌을 때, 대각선 길이의 제곱을 구하는 것이 최종 목표입니다. 출제 의도는 도형의 성질을 이용하여 여러 미지수(윗변, 아랫변, 높이, 지름 등) 사이의 관계식을 세우고, 주어진 조건을 연립하여 값을 구하는 종합적 문제 해결 능력을 측정하는 것입니다. 많은 학생들이 두 원이 외접한다는 조건을 어떻게 활용할지 막막해합니다. 결정적 힌트는 사다리꼴의 꼭짓점 A에서 밑변 BC에 수선의 발을 내리고, 원의 중심을 연결하여 직각삼각형을 만드는 것입니다. 이 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면 사다리꼴의 높이와 변의 길이들 사이의 핵심적인 관계식을 얻을 수 있습니다.
  

• 수학 30번

  — 이차함수 `f(x)`의 절댓값 `|f(x)|`에 대해, 움직이는 구간 `[k-1, k+1]`에서의 최댓값을 `g(k)`라 정의하고, `g(k)`의 특성을 분석하는 최고난도 문항입니다. 이 문제는 이차함수의 그래프 개형, 대칭성, 그리고 절댓값 함수의 특성을 완벽하게 이해하고 있는지를 평가합니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 최댓값이 항상 구간의 양 끝점이나 꼭짓점에서만 발생한다고 단정하는 것입니다. `f(x)`의 그래프가 x축 아래로 내려가는 경우, `|f(x)|`는 x축 대칭으로 접어 올려지므로, 최댓값 후보는 `|f(k-1)|`, `|f(k+1)|`, 그리고 `|f(꼭짓점)|`이 됩니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 `g(k)=10`을 만족하는 k의 최댓값이 `√10`이라는 조건입니다. 이는 `k=√10`일 때, 구간의 끝점 중 하나인 `k+1` 또는 `k-1`에서 `|f(x)|`의 함숫값이 10이 됨을 의미하며, 이를 통해 이차함수의 계수 `a`를 확정할 수 있습니다.