2021년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

29번, 30번에서 고1 학생들에게 익숙하지 않은 그래프 추론과 복소수 ω의 주기성을 깊이 있게 다루면서 상위권 변별력을 확실히 확보한 시험입니다. 전반부에서는 다항식, 복소수, 이차방정식 등 1학기 중간고사 범위의 기본 개념을 충실히 확인했지만, 17번부터는 이차함수의 최대최소, 근과 계수의 관계 등을 활용한 복합적인 사고력을 요구하는 문항들이 배치되었습니다. 단순 공식 암기를 넘어, 각 개념이 어떻게 문제 상황에 적용되는지 깊이 고민하는 훈련이 필요하며, 특히 21번과 같은 논리적 추론 문항은 앞으로의 수능 수학을 대비하는 좋은 연습이 될 것입니다.

문항 분석

• 17번

  — 이차함수의 그래프가 x축, y축과 만나는 세 점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 근과 계수의 관계를 이용하여 삼각형의 밑변과 높이를 미지수 a에 대한 식으로 표현하고, 주어진 범위 내에서 이차식으로 표현된 넓이의 최댓값을 구할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 두 근의 차 |α-β|를 √( (α+β)² - 4αβ ) 로 변환하는 것을 떠올리지 못해 시작부터 막히거나, y절편을 높이로 설정할 때 절댓값을 씌우는 것을 잊는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 삼각형의 넓이 S를 a에 대한 함수 S(a)로 정리한 뒤, 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 찾는 것입니다. 이때, 주어진 a의 범위(0<a<2)를 반드시 확인하여 그 범위 안에서 최댓값을 갖는지 확인해야 합니다.
  

• 20번

  — 정오각형의 기하학적 성질과 다항식의 값 계산을 융합한 고난도 문항입니다. 출제 의도는 도형의 닮음을 이용하여 대각선의 길이에 대한 방정식을 세우고, 이를 활용하여 고차 다항식의 값을 간단히 만드는 능력을 측정하는 것입니다. 대부분의 학생들은 정오각형 내부의 삼각형들에서 닮음 관계를 찾아내는 것 자체를 어려워하며, 문제에 주어진 등비수열의 합 형태의 식을 보고 당황하기 쉽습니다. 이 문제 해결의 첫 단추는 △PAB와 △PEA가 이등변삼각형임을 파악하고, △ABP와 △EAB의 닮음을 이용하여 대각선의 길이 x가 x² - x - 1 = 0을 만족한다는 사실을 밝혀내는 것입니다. 이 황금비 관계식을 이용하면 주어진 고차식을 차례로 차수를 낮추어 p+q√5 꼴로 정리할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 두 이차함수 f(x), g(x)의 관계를 추론하는, 논리적 사고력을 요구하는 킬러 문항입니다. 출제 의도는 주어진 두 가지 조건, 특히 (나) 조건 f(a)=f(a+5)=0을 해석하여 두 함수의 인수를 결정하고, <보기>의 진위 여부를 판별하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들은 (가) 조건에서 f(x)g(x)의 전체 인수가 (x-2), (x+2), (x-3), (x+3)임을 알지만, 이 네 개의 인수를 f(x)와 g(x)에 어떻게 배분해야 할지 막막해하는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 (나) 조건입니다. 두 근의 차가 5가 되는 경우는 {-2, 3} 뿐이므로, f(x)는 반드시 (x+2)와 (x-3)을 인수로 가져야 함을 확정할 수 있습니다. 이를 바탕으로 g(x)의 인수를 결정하고, 각 보기의 조건을 대입하며 따져나가면 해결할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 이차방정식의 근과 계수의 관계를 부등식과 결합하여 자연수 순서쌍의 개수를 세는 문제입니다. 출제 의도는 두 근의 차에 대한 조건을 근과 계수의 관계로 변환하고, 그 결과로 얻어지는 미지수 a, b에 대한 부등식을 만족하는 자연수 해의 개수를 체계적으로 셀 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 |α-β| < 12를 (α-β)² < 144로 바꾼 뒤, (α+β)² - 4αβ 공식을 적용하여 4a² + 4b < 144, 즉 a² + b < 36까지는 유도하지만, 그 이후 자연수 (a, b) 쌍을 세는 과정에서 누락하거나 중복하여 세는 실수를 하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 a를 기준으로 경우를 나누는 것입니다. a=1일 때 b < 35이므로 b는 1부터 34까지 34개, a=2일 때 b < 32이므로 b는 1부터 31까지 31개, ... 와 같이 a값을 하나씩 늘려가며 가능한 b의 개수를 더해나가는 전략이 가장 정확하고 빠릅니다.
  

• 29번

  — 구간별로 다르게 정의된 함수와 정점을 지나는 직선의 교점 개수를 다루는, 그래프 해석 능력이 핵심인 문제입니다. 출제 의도는 주어진 piecewise 함수의 그래프를 정확히 그린 후, 직선 y=mx+6이 정점 (0, 6)을 중심으로 회전할 때 교점의 개수가 3개가 되는 순간의 기울기 m 값을 찾는 것입니다. 학생들은 접하는 순간의 기울기를 판별식 D=0으로 구하는 것은 익숙하지만, 직선이 각 함수의 경계점(x=-2, x=1)을 지나는 순간의 기울기를 확인하는 것을 놓쳐 답을 일부만 구하는 실수를 하기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 힌트는 '교점의 개수가 변하는 경계'를 찾는 것입니다. 그 경계는 바로 (1) 직선이 각 포물선에 접할 때, 그리고 (2) 직선이 두 포물선이 만나는 지점인 (-2, 1)과 (1, 4)를 지날 때입니다. 이 네 가지 경우의 m 값을 모두 구한 뒤, 그래프를 그려가며 각 m 값의 전후로 교점 개수가 어떻게 변하는지 시각적으로 확인해야 합니다.
  

• 30번

  — 다항식의 나눗셈을 복소수 ω(오메가)의 성질을 이용하여 해결하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 'P(x)가 x²+x+1로 나누어떨어진다'는 조건을 'P(ω)=0 (단, ω²+ω+1=0)'으로 해석하고, ω의 주기성(ω³=1)을 이용하여 복잡한 곱셈식의 값을 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 대부분의 학생들은 P(x)의 복잡한 형태에 압도되어 직접 나눗셈을 시도하거나 규칙을 찾지 못하고 헤매게 됩니다. 이 문제의 돌파구는 x²+x+1=0의 한 허근을 ω라 두고 P(ω)=0 이라는 식을 세우는 것입니다. 1+ω = -ω², 1+ω² = -ω, 1+ω³ = 2 라는 주기적인 관계를 이용하면 (1+ω)(1+ω²)(1+ω³) = (-ω²)(-ω)(2) = 2ω³ = 2가 됩니다. 즉, 세 항의 곱이 2가 되는 규칙성을 발견하고, 전체 곱이 64=2⁶이 되도록 하는 n값을 찾아내면 됩니다.