2020년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 30번 문항처럼 함수의 그래프를 매개변수 t의 변화에 따라 추론하고, 교점의 개수 변화를 관찰하는 유형에서 변별력을 확보하려 한 점이 눈에 띕니다. 전반적으로 수1의 핵심 단원인 지수로그함수, 삼각함수, 수열에서 고난도 문항이 집중되었으며, 특히 17번 수열 문제처럼 주어진 조건의 의미를 정확히 해석하는 능력이 중요했습니다. 이러한 그래프 추론 및 조건 해석 능력은 수능 고득점을 위해 반드시 정복해야 할 핵심 역량이므로, 기출문제를 통해 꾸준히 훈련해야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 코사인법칙을 활용하여 변의 길이를 구하는 능력을 평가합니다. 출제 의도는 정삼각형의 성질과 연장선을 이용하여 새로운 삼각형(△ADE)의 변과 각에 대한 정보를 얻고, 이를 통해 미지수의 값을 구하는 것입니다. 많은 학생들이 AD=CE=x로 설정한 후, ∠DAE가 120°임을 파악하지 못해 첫 단추를 잘못 꿰는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 △ADE에 코사인법칙을 적용하여 DE² = (1+x)² + (1+x)² - 2(1+x)(1+x)cos120° 라는 식을 세우는 것입니다. 이 식을 통해 x값을 구하면, △BDE의 넓이는 쉽게 계산할 수 있습니다.
  

• 17번

  — 등차수열의 합(Sn)의 성질에 대한 깊이 있는 이해를 묻는 문항입니다. (나) 조건에서 '모든 자연수 n에 대하여 Σak ≤ Σa13' 이라는 표현은 Sn이 n=13에서 최댓값을 갖는다는 의미입니다. 등차수열의 합이 특정 항에서 최댓값을 갖는다는 것은, 그 항까지는 항의 값이 양수(또는 0)이다가 그 다음 항부터 음수가 된다는 뜻이죠. 즉, a₁₃ ≥ 0 이고 a₁₄ ≤ 0 이라는 결정적인 부등식을 얻을 수 있습니다. a₇=37과 공차가 정수라는 조건을 결합하여 이 부등식을 풀면 공차 d의 값을 특정할 수 있고, 이를 통해 수열의 모든 항을 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 주기성과 대칭성을 가진 조각난 함수와 로그 함수의 교점을 찾는, 그래프 해석 능력이 핵심인 문제입니다. (가)와 (나) 조건을 종합하여 f(x)의 그래프를 정확하게 그리는 것이 문제 해결의 90%를 차지합니다. f(-x)=f(x)는 y축 대칭(우함수), f(x)=f(x+4)는 주기가 4임을 의미하므로, 먼저 [0, 2] 구간의 그래프를 그린 후 대칭과 평행이동을 통해 전체 그래프를 완성해야 합니다. 로그 함수 y=log₂(x+2n)는 점근선이 x=-2n이고 (1-2n, 0)을 지나는 증가함수입니다. n=1, 2, 3일 때 각각의 로그 함수 그래프가 주기함수 f(x)의 '마루(최댓값)'와 '골(최솟값)'을 언제 통과하는지 좌표를 대입하며 교점의 개수를 세는 것이 정답으로 가는 가장 확실한 길입니다.
  

• 28번

  — 치환을 이용한 지수부등식 문제에 '정수 해의 개수'라는 조건을 추가하여 난이도를 높였습니다. (1/2)ˣ = t (t>0)로 치환하면 주어진 부등식은 t에 대한 이차부등식 t²-(3n+16)t+48n ≤ 0 이 됩니다. 이 부등식을 인수분해하면 (t-16)(t-3n) ≤ 0 이므로, t의 범위는 16과 3n의 대소 관계에 따라 달라집니다. 여기서 학생들이 흔히 빠지는 함정은 n의 값에 따라 t의 범위가 달라지는 경우를 나누지 않고 푸는 것입니다. t의 범위를 다시 x의 범위로 변환한 후, 그 범위 안에 정수 x가 정확히 2개만 포함되도록 하는 자연수 n의 값을 찾는 것이 최종 목표입니다. (1/2)ˣ가 감소함수임에 유의하여 부등호 방향을 정확히 처리해야 합니다.
  

• 29번

  — 지수함수와 로그함수가 y=-x+t 라는 직선과 만나는 상황을 통해 역함수 관계와 기하학적 성질을 통합적으로 이해하고 있는지를 묻는 고난도 문항입니다. y=aˣ와 y=logₐx는 서로 역함수 관계이므로 y=x에 대해 대칭입니다. 직선 y=-x+t는 y=x와 수직이므로, 두 교점 A, B 역시 y=x에 대해 대칭입니다. 즉, A(p, q)라 하면 B(q, p)가 됩니다. 이 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다. (가) 조건 OH:AB=1:2와 (나) 삼각형 AOB의 외접원 반지름 길이를 좌표와 거리 공식을 이용하여 식으로 표현하고 연립하면 t와 a에 대한 값을 모두 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 매개변수 t의 변화에 따른 함수 g(x)의 그래프 변화를 추론하고, 특정 직선과의 교점 개수 함수 h(t)의 불연속점을 찾는, 수능 킬러 문항의 전형적인 구조를 따르고 있습니다. 핵심은 t값에 따라 변하는 g(x)의 그래프 개형을 정확히 파악하는 것입니다. 특히 x≥0 구간에서 g(x)=f(-x)-t = (x-1)²+1-t 이므로, 꼭짓점이 (1, 1-t)로 변하는 아래로 볼록한 포물선임을 인지해야 합니다. 교점의 개수 h(t)가 변하는 순간, 즉 불연속이 되는 지점은 직선 y=t/3이 g(x) 그래프의 '꼭짓점'을 지나거나 '꺾이는 점(x=0)'을 지날 때입니다. 이 두 가지 결정적인 순간의 t값을 방정식(t/3 = 1-t 와 t/3 = g(0) = 2-t)을 통해 구하는 것이 이 문제의 핵심 풀이 전략입니다.