2020년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 30번 삼각함수 그래프 개형 추론 문제에서 많은 학생들이 시간 압박을 느꼈을 겁니다. 전반적으로 수학 I의 수열, 삼각함수 파트와 수학 II의 함수 극한, 연속 파트에서 변별력 있는 문항들이 다수 출제되었어요. 특히 19번, 21번처럼 조건을 꼼꼼히 해석하고 경우를 나누어 생각해야 하는 문제들은 수능에서도 자주 등장하는 유형이므로, 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어 각 개념이 문제에 어떻게 적용되는지 깊이 있게 파고드는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 19번

  — 등차수열의 합을 구하는 과정에서 절댓값이 포함된 항의 처리가 관건인 문제입니다. 출제 의도는 주어진 조건 'a₃+a₅=2'로부터 기준이 되는 항(a₄=1)을 찾고, 공차 d의 부호에 따라 어떤 항들이 음수가 되는지 판별하여 절댓값을 처리할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 ∑|aₖ|를 계산할 때, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅의 부호를 정확히 따지지 않고 기계적으로 계산하다가 함정에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 a₄=1을 기준으로 각 항을 '1-3d, 1-2d, ...' 와 같이 d에 대한 식으로 표현한 뒤, 이 식의 부호가 바뀌는 지점을 찾아내는 것입니다.
  

• 20번

  — 유리함수 그래프와 직선의 교점 개수를 나타내는 새로운 함수 g(t)를 정의하고, 그 함수의 극한값을 이용해 원래 함수를 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 g(t)가 불연속이 되는 지점이 바로 유리함수 f(x)의 '수평 점근선'과 '극값'의 y좌표라는 사실을 간파하는 것입니다. 학생들은 g(t)라는 새로운 함수 정의에 압도되어 그래프 개형을 제대로 그리지 못하는 실수를 범하기 쉽습니다. 힌트는 f(x)의 수평 점근선이 y=k라는 점을 먼저 파악하고, 주어진 극한 조건 lim g(t) + lim g(t) + g(4) = 5를 만족시키려면 k의 값이 0, 2, 4와 어떤 관계를 맺어야 하는지 그래프를 그려가며 추론하는 것입니다.
  

• 21번

  — 정삼각형 내부의 점들에 대한 기하학적 관계를 묻는, 전형적인 코사인 법칙 활용 문제입니다. 출제 의도는 'PQ=PR'이라는 핵심 조건을 식으로 어떻게 표현할 것인가에 있습니다. 좌표를 도입하면 계산이 매우 복잡해지므로, 삼각형 APR과 삼각형 PBQ에서 각각 코사인 법칙을 적용하는 것이 정석적인 접근법입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 AP=x, BQ=y, CR=z로 문자를 설정한 뒤, x, y, z 사이의 관계식을 세우지 못하고 맴도는 것입니다. 결정적 힌트는 ∠A = ∠B = 60°임을 이용하여 두 삼각형에 코사인 법칙을 적용하고, 그 결과가 같다고 놓으면 x와 y 사이의 간단한 관계식이 도출된다는 점입니다.
  

• Math II 28번

  — 곡선과 원, 그리고 직선의 교점들로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하고 그 극한값을 계산하는 문제입니다. 출제 의도는 복잡하게 주어진 도형의 넓이를 변수 t에 대한 식으로 정확히 표현하고, t→1- 일 때의 0/0 꼴 극한을 능숙하게 처리할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 가장 큰 함정은 점 P, Q의 좌표를 t로 표현하는 과정에서 발생하는 계산 실수입니다. 특히 삼각형 넓이 S(t)를 구하는 과정이 복잡하여 시간을 많이 소모할 수 있습니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 점 A(1,1)을 기준으로 생각하는 것입니다. t가 1에 가까워질 때 점 P와 Q도 점 A에 한없이 가까워진다는 점을 이용하면, 넓이 식을 근사하거나 미분계수의 정의를 활용하여 극한값을 더 효율적으로 구할 수 있습니다.
  

• Math II 29번

  — 불연속 함수와 다항함수의 곱이 실수 전체에서 연속이 될 조건을 묻는 문제입니다. 이 유형의 핵심 원리는 '불연속 함수 g(x)가 특정 지점 x=a에서 불연속일 때, 곱해지는 함수 f(x)가 그 지점에서 함숫값 0을 가지면 (즉, f(a)=0 이면) 곱함수 f(x)g(x)는 x=a에서 연속이 된다'는 것입니다. 학생들은 g(x)가 불연속인 지점이 x=1, x=3 두 군데라는 것을 파악하고도, 두 지점 모두에서 조건을 확인해야 한다는 사실을 놓치기 쉽습니다. 따라서 이 문제의 해결은 매우 명확합니다. g(x)가 불연속인 x=1과 x=3에서 f(x)의 함숫값이 0이어야 하므로, f(1)=0, f(3)=0 이라는 두 개의 식을 세워 연립방정식을 풀면 됩니다.
  

• Math I 30번

  — 주기, 평행이동, 대칭이동이 모두 포함된 삼각함수 그래프의 개형을 추론하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 절댓값 기호가 포함된 삼각함수 그래프 y=|f(x)|와 상수함수 y=4의 교점 개수 정보를 통해 원래 함수 f(x)의 계수 a, b를 역으로 찾아내는 능력입니다. 가장 큰 함정은 g(18)=5라는 조건을 해석하는 부분입니다. 1.5주기 동안 교점이 5개가 생기는 상황을 그래프로 정확히 그려내지 못하면 문제에 접근조차 할 수 없습니다. 결정적 힌트는 f(x)의 최댓값(b+|a|)과 최솟값(b-|a|)이 y=4 및 x축(y=0)과 어떤 위치 관계에 있는지를 경우의 수로 나누어 따져보는 것입니다. f(0)=8이라는 초기 조건을 함께 활용하면 가능한 그래프 개형의 후보를 좁힐 수 있습니다.