2020년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의고사는 29번 로그함수와 원의 교점 해석 문제에서 많은 학생이 시간을 썼을 겁니다. 단순 연산 능력보다는 지수·로그·삼각함수 그래프의 특징(점근선, 주기, 대칭성)을 정확히 이해하고, 이를 기하학적 상황에 적용하여 미지수를 추론하는 능력을 집중적으로 평가했습니다. 특히 15번, 19번, 29번, 30번처럼 그래프의 개형을 직접 그려 교점의 위치나 개수를 파악해야 하는 문항들이 변별력을 확보하는 핵심 역할을 했습니다. 이러한 그래프 해석 및 추론 능력은 수능 고난도 문항의 기본기이므로, 이번 시험을 계기로 각 함수별 그래프의 특징을 완벽하게 체화하는 학습이 필요합니다.

문항 분석

• 19번

  — 이 문제는 원주각의 성질을 이용하여 점 P의 좌표를 삼각함수로 표현하고, 이를 바탕으로 점 Q의 좌표를 유도하여 x좌표의 최댓값을 구하는, 삼각함수와 해석기하의 융합 문항입니다. 많은 학생들이 ∠PAB=θ를 중심각으로 착각하여 P의 좌표를 (cosθ, sinθ)로 잘못 설정하는 실수를 합니다. 원주각과 중심각의 관계(∠POB = 2θ)를 이용해 P(cos2θ, sin2θ)로 정확히 설정하는 것이 첫 단추입니다. 그 후, 두 점 P, B를 지나는 직선 위에 있으면서 PQ=3을 만족하는 점 Q의 좌표를 θ로 표현하고, 삼각함수의 덧셈정리나 합성을 이용하여 x좌표의 최댓값을 구하는 과정으로 넘어가야 합니다.
  

• 20번

  — 로그함수의 밑의 크기에 따른 그래프의 개형과 좌표를 이용한 기하학적 해석 능력을 묻는 전형적인 참/거짓 판별 문제입니다. 점 A, B의 y좌표가 2로 고정되어 있으므로, 각 점의 x좌표를 a에 대한 식으로 표현하는 것이 모든 분석의 시작입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 'ㄷ' 보기에서 삼각형의 넓이를 직접 복잡하게 계산하려는 것입니다. 두 삼각형 ACB와 ABD는 각각 밑변 AC와 BD가 y축에 평행하고, 높이는 두 점 A, B의 x좌표 차이로 동일하다는 점을 간파해야 합니다. 결국 넓이의 비는 밑변 길이의 비(AC/BD)와 같다는 사실을 이용하면 훨씬 간결하게 증명할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 주어진 범위 내에서 삼각방정식의 실근 개수를 n의 값에 따라 추론하는 문제입니다. sin²(4x)=1을 sin(4x)=±1로 변환하고, 4x=t로 치환하여 t의 범위(0 < t < nπ/3)를 구하는 것이 기본입니다. 이 문제의 핵심 함정은 n의 값에 따라 범위의 끝인 nπ/3이 π/2의 배수들과 어떤 관계를 맺는지에 따라 주기 내에 포함되는 해의 개수가 달라진다는 점입니다. 단순히 n에 비례하여 개수가 늘어난다고 생각하면 오답에 이르게 됩니다. t=kπ/2 + π/2 꼴의 해가 nπ/3 안에 몇 개 들어가는지, n의 값을 구체적인 구간으로 나누어(예: 3의 배수, 3k+1, 3k+2) 체계적으로 개수를 세는 끈기가 필요합니다.
  

• 28번

  — 거듭제곱근과 로그의 값이 자연수가 될 조건을 각각 파악하고, 두 집합의 교집합 원소 개수를 이용해 미지수 k의 범위를 찾는 문제입니다. 이 문제의 결정적인 함정은 집합 B의 원소 x = log_√3(b)가 자연수일 조건에 있습니다. b = (√3)^x = 3^(x/2)에서, b가 자연수이려면 지수인 x/2가 0 이상의 정수여야 하고, x는 자연수이므로 결국 x는 '짝수'여야 한다는 사실을 놓치기 쉽습니다. 이 조건을 찾아내지 못하면 B의 원소를 잘못 계산하게 됩니다. A의 원소는 제곱수, B의 원소는 짝수라는 두 가지 핵심 조건을 결합하여, 교집합의 원소가 3개가 되도록 하는 자연수 k의 개수를 세는 것이 최종 목표입니다.
  

• 29번

  — 로그함수 그래프와 원의 교점에 대한 조건을 해석하는 고난도 문항입니다. (가) 조건 'ab<0'은 두 교점의 x좌표 부호가 달라 하나는 y축 좌측, 다른 하나는 우측에 있음을 의미합니다. (나) 조건 'f(a)f(b)<0'은 두 교점의 y좌표 부호가 달라 하나는 x축 위, 다른 하나는 아래에 있음을 의미합니다. 이 두 조건을 종합하면, 두 교점이 각각 제2사분면과 제4사분면에 존재해야 한다는 기하학적 결론에 도달할 수 있습니다. 이 상황이 가능하려면 로그함수의 그래프가 y축과 만나는 점(y절편)이 원의 내부(x=0일 때 y값 범위)에 있고, 점근선(x=7-k)이 제2사분면의 교점보다 왼쪽에 있어야 한다는 조건을 식으로 세워 k의 범위를 구해야 합니다.
  

• 30번

  — 구간별로 정의된 삼각함수와 절댓값, 그리고 실근 개수 조건을 종합하여 함수를 추론하는 최고난도 킬러 문항입니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 (나) 조건, 즉 f(x)=0의 실근이 3개라는 점입니다. 0≤x<a 구간에서 sinx=1/2의 해와 a≤x≤2π 구간에서 sinx=1/(2k)의 해의 총 개수가 3개임을 이용해 a와 k 사이의 관계를 특정해야 합니다. 특히, 경계점인 x=a에서 함수가 연속인지 불연속인지, 그리고 sin(a)의 값이 1/2 또는 1/(2k)와 같아지는 특수한 경우를 반드시 고려해야 합니다. 이 관계를 통해 가능한 (a, k) 후보를 좁힌 후, (가) 조건인 |f(x)|의 최댓값이 1/2이라는 것을 검증하여 최종 답을 확정해야 합니다.