2021년 3월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학력평가는 30번 문항처럼 중등 기하의 여러 개념을 복합적으로 엮어낸 문항에서 변별력이 갈렸을 것입니다. 전반적인 계산량은 많지 않았지만, 중학교 때 배운 삼각형의 성질(외심, 무게중심), 원의 성질, 닮음 등을 얼마나 체화하고 있는지를 집중적으로 점검하는 시험이었어요. 특히 16번, 21번, 28번, 30번 등 고난도 문항이 모두 기하 파트에서 출제된 점은, 앞으로의 수능 수학에서 기하적 직관력과 문제 해결 능력이 얼마나 중요한지를 명확히 보여줍니다. 이 시험을 계기로 중등 도형 개념에 빈틈이 있는 학생들은 반드시 복습하고 넘어가야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 삼각형의 외심(O)이 주어졌을 때, 각 꼭짓점까지의 거리가 같다는(OA=OB=OC) 기본 성질을 이용하는 것이 출제 의도입니다. 이로 인해 생기는 여러 이등변삼각형의 밑각이 같다는 점을 활용해야 하죠. 많은 학생들이 BD=BC라는 조건을 보고 삼각형 BDC가 이등변삼각형임을 파악하지만, 이 정보를 외심의 성질과 어떻게 연결해야 할지 몰라 헤매는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 외심의 성질을 이용해 ∠OBC와 ∠OCB를 먼저 미지수로 설정하고, 삼각형 ABC의 내각의 합이 180°라는 식을 세우는 것입니다. 그 후, 삼각형 BDC에서 얻은 각의 정보를 연립하면 문제가 풀립니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 직각이등변삼각형 내부에 정삼각형이 특정 조건으로 놓였을 때, 삼각비 값을 구하는 복합 기하 문제입니다. 출제 의도는 좌표평면을 도입하여 복잡한 도형의 길이와 각도를 해석할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 도형을 그대로 두고 보조선을 그어 풀려고 시도하다가 복잡한 계산에 빠지는 것입니다. 이 문제의 가장 효율적인 해결책은 직각삼각ABC를 좌표평면의 원점과 축에 올려놓는 것입니다. B를 (0,0), C를 (3,0), A를 (0,3)으로 설정하면, 직선 AC의 방정식은 y=-x+3이 됩니다. 정삼각형 DEF의 높이가 1이라는 조건은 점 D와 E의 y좌표가 1이라는 강력한 힌트이며, 이를 직선 AB(x=0)와 직선 AC(y=-x+3)에 대입하면 D와 E의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 두 중선(median)이 수직으로 만난다는 설정은 무게중심(centroid)의 성질과 피타고라스 정리를 결합하여 사고하라는 명확한 출제 의도를 담고 있습니다. 학생들은 점 P가 삼각형 ABC의 무게중심이라는 사실을 바로 인지해야 합니다. 흔히 저지르는 실수는 무게중심이 중선을 2:1로 내분한다는 성질을 잊거나, AP:AM=2:1처럼 전체 길이와 헷갈리는 것입니다. (정확히는 AP:PM=2:1) 이 문제 해결의 첫 단추는 AP=2x, PM=x, BP=2y, PN=y로 설정하는 것입니다. 중선이 서로 수직이므로, 삼각형 APB, APN, BPM 등 4개의 직각삼각형이 생기며, 이들 각각에 피타고라스 정리를 적용하여 보기의 참거짓을 판별해 나가는 것이 정석적인 풀이법입니다.
  

• 28번

  — 직각삼각형과 중점, 그리고 선분의 연장선 위의 점까지 다루는 매우 복잡한 기하 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 복잡한 기하학적 상황을 좌표평면으로 옮겨 해석하는 능력과 삼각함수의 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. 대부분의 학생들이 보조선을 그어 닮음을 찾으려다 길을 잃게 되는데, 이는 가장 흔한 오답 패턴입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 C를 원점(0,0), 선분 BC를 x축, 선분 AC를 y축 위에 놓는 것입니다. 그러면 A(0,16), B(30,0)이 되고, M(AB의 중점), N(BC의 중점)의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다. 두 점 M, N을 지나는 직선의 방정식을 구한 뒤, 'ND=9'라는 조건을 이용해 점 D의 좌표를 찾아내면, 세 점 A, D, C의 좌표를 모두 알게 되므로 sin(x) 값을 계산할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 두 이차함수의 꼭짓점이 일치한다는 조건을 통해 그래프의 기하학적 관계를 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 이차함수의 표준형과 대칭축의 성질을 완벽히 이해하고, 이를 좌표와 넓이 계산에 응용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 모든 것을 a, b, c에 대한 연립방정식으로만 풀려고 하여 계산이 복잡해지는 경우입니다. 이 문제의 핵심은 기하학적 접근입니다. 점 A(꼭짓점)를 구하고, y=ax²+bx+c의 대칭축이 점 A의 x좌표와 같다는 사실을 이용해야 합니다. 점 B(0,c)와 점 C는 이 대칭축에 대해 서로 대칭 관계이므로, C의 좌표를 대칭축과 c를 이용해 표현할 수 있습니다. 그 후, 두 점 A, C를 지나는 직선의 방정식과 y절편 D를 구하고, 삼각형 BDC의 넓이가 12라는 조건을 이용하면 미지수를 효율적으로 찾을 수 있습니다.
  

• 30번

  — 이등변삼각형, 수선, 원, 닮음 등 중등 기하의 거의 모든 핵심 개념이 총망라된 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 여러 기하학적 성질을 유기적으로 연결하여 단계별로 필요한 길이를 추론해내는 종합적인 문제 해결 능력을 측정하는 것입니다. 가장 큰 함정은 복잡한 그림 속에서 어떤 보조선을 긋고 어떤 닮음 관계에 주목해야 할지 판단하기 어렵다는 점입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 '선분 DE를 지름으로 하는 원'이라는 조건에 있습니다. 원주각의 성질에 의해 ∠DGE = 90°임을 파악하는 것이 첫 번째 돌파구입니다. 이를 통해 수많은 직각삼각형과 닮음 관계(예: △ADC ~ △DGC)를 발견할 수 있습니다. 먼저 이등변삼각형 ABC의 높이 AD와 수선 BE의 길이를 피타고라스 정리와 넓이를 이용해 구해두고, 찾아낸 닮음 관계를 이용해 GC, FC의 길이를 차례로 구해나가야 합니다.