2020년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 모의고사는 29번 집합 문제에서 정수론적 관점(나머지)을 활용해 원소를 추론해야 하는 등, 단순 개념 암기를 넘어선 깊이 있는 사고를 요구하는 문항들이 눈에 띄었습니다. 전반적으로 1학년 과정의 핵심인 '도형의 방정식'과 '함수' 단원에서 비중 있게 출제되었으며, 특히 17번, 20번처럼 기하학적 상황을 좌표평면 위에서 능숙하게 해석하고 식으로 풀어내는 능력이 고득점의 관건이었을 겁니다. 이러한 통합적 사고력은 향후 수능 수학의 고난도 문항을 해결하는 데 가장 중요한 기초 체력이 되므로, 이번 시험을 계기로 각 개념들이 어떻게 유기적으로 연결되는지 복습하는 것이 중요합니다.

문항 분석

• 14번

  — 좌표평면 위 두 점과 특정 축 위의 점을 잇는 거리의 합(AC+BC)의 최솟값을 묻는 전형적인 유형입니다. 많은 학생들이 점 B와 C의 좌표를 변수로 두고 거리 공식을 이용해 복잡한 식을 세우려다 길을 잃는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 점 C가 x축 위의 점이라는 사실을 이용해 점 A를 x축에 대해 대칭이동시키는 것입니다. 대칭이동한 점 A'과 점 B를 직선으로 이으면, 그 거리가 바로 구하고자 하는 최솟값이 된다는 '대칭을 이용한 최단거리 원리'를 떠올리는 것이 핵심입니다.
  

• 17번

  — 원과 직선이 만나서 생기는 활꼴의 넓이를 구하는 문제로, 여러 개념이 복합적으로 사용됩니다. 출제 의도는 원의 중심에서 현에 내린 수선, 부채꼴의 넓이, 삼각형의 넓이를 순차적으로 구해 활꼴의 넓이를 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수는 부채꼴의 중심각을 구하는 과정에서 막히는 것입니다. 힌트는 원의 중심(원점)과 직선 사이의 거리(OH)를 먼저 구하는 것입니다. 이 거리와 반지름(r)을 이용해 직각삼각형(OAH)의 삼각비를 구하면 중심각을 쉽게 특정할 수 있고, 이것이 문제 해결의 첫 단추가 됩니다.
  

• 20번

  — 원의 접선, 그리고 좌표축과 만나는 점들을 이용해 기하학적 관계를 해석하는 문제입니다. 이 문항의 핵심은 '2AH = HB'라는 조건을 어떻게 좌표와 식으로 변환하느냐에 있습니다. 단순히 점 P의 좌표를 (a, b)로 두고 접선의 방정식을 세워 풀려고 하면 계산이 매우 복잡해집니다. 결정적인 실마리는 도형의 닮음에 있습니다. 직각삼각형 OPH와 PAB 내부에서 생기는 여러 직각삼각형들 사이의 닮음 관계를 이용하면, 복잡한 방정식 없이도 점 P와 B의 좌표 사이의 관계를 훨씬 간단하게 유도할 수 있습니다. 기하학적 통찰력이 요구되는 문제입니다.
  

• 21번

  — 실수 구간으로 정의된 집합들의 교집합과 서로소 관계를 묻는, 논리적 추론 능력이 중요한 문제입니다. 'ㄱ'은 직접 계산으로 쉽게 확인 가능하지만, 'ㄴ'과 'ㄷ'에서 오답률이 높습니다. 특히 'ㄴ'에서 |l-m| ≤ 2 라는 조건이 두 집합이 서로소가 아닐(즉, 교집합이 공집합이 아닐) 조건임을 파악해야 합니다. 두 구간 [a, b], [c, d]가 겹치려면 한 구간의 끝이 다른 구간의 시작보다 작거나 같아야 한다는 기본 원리를 적용해야 합니다. 'ㄷ'은 '모든 Ak와 서로소가 아니다'라는 문장을 '모든 Ak와 교집합이 존재한다'로 해석하는 것이 첫걸음이며, A1부터 A9까지의 모든 구간을 최소한의 원소로 찌를 수 있는 방법을 고민해야 합니다.
  

• 29번

  — 집합의 조건과 정수론적 성질을 결합한 고난도 추론 문제입니다. 출제 의도는 주어진 조건을 만족시키도록 집합 A와 B의 원소를 구성하고, 그 합의 차가 최대가 되는 경우를 찾는 것입니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 단순히 큰 수를 A에, 작은 수를 B에 넣으려고 시도하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 '임의의 두 원소의 합이 각각 9의 배수, 10의 배수가 아니다'라는 조건을 '나머지'의 관점에서 해석하는 것입니다. 예를 들어, 집합 A의 원소들을 9로 나눈 나머지로 분류하고, 합이 9가 되는 나머지를 갖는 쌍(e.g., 1과 8, 2와 7)은 동시에 포함될 수 없다는 규칙을 적용해야 합니다. S(A)는 최대로, S(B)는 최소로 만드는 최적의 원소 조합을 이 규칙 안에서 찾아내는 것이 관건입니다.
  

• 30번

  — 이차함수와 일차함수의 관계를 여러 조건들을 통해 종합적으로 추론하는 최고난도 문항입니다. (가), (나), (다)의 조건을 유기적으로 연결하여 두 함수의 식을 특정해야 합니다. 가장 결정적인 조건은 (다)의 '부등식을 만족시키는 정수 순서쌍 (a, b)의 개수가 45개'라는 부분입니다. 이는 0부터 4까지의 각 정수 a에 대해, g(m+a) ≤ b ≤ f(m+a)를 만족하는 정수 b의 개수의 총합이 45라는 의미입니다. 즉, Σ_{a=0}^{4} (f(m+a) - g(m+a) + 1) = 45 라는 식을 세우는 것이 문제 해결의 돌파구입니다. 또한, {f(x)}²-{g(x)}²=0의 해는 f(x)=g(x) 또는 f(x)=-g(x)의 해라는 점을 이용하여 두 함수의 대칭성을 파악하는 것도 중요합니다.