2020년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 20번, 21번, 그리고 28번부터 30번까지 이어지는 고난도 문항들이 모두 '도형의 방정식' 단원에서 출제되어, 해석기하 능력에 따라 등급이 명확히 갈렸을 시험입니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 복잡한 설정 앞에서 길을 잃기 쉬웠고, 반면 주어진 조건을 좌표평면 위에 정확히 구현하고 기하학적 성질을 수식으로 연결하는 훈련이 잘 된 학생들에게는 유리했을 것입니다. 특히 원의 방정식과 관련된 심화 개념(원주각, 자취, 위치 관계)은 향후 수능에서도 변별력 있는 문항의 핵심 재료로 사용되므로, 이번 시험의 고난도 문항들을 반드시 복기하며 약점을 보완해야 합니다.

문항 분석

• 19번

  — 이차함수 그래프 위의 점, 직선의 방정식, 수직 조건, 외분점 등 해석기하의 여러 개념을 융합한 참/거짓 판별 문제입니다. 출제 의도는 각 보기에서 요구하는 개념을 정확히 적용하고 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들은 특히 'ㄷ' 보기에서 점 R의 좌표를 구하고 삼각형의 넓이를 계산하는 과정이 복잡하여 시간 압박을 느끼거나 계산 실수를 하기 쉽습니다. 문제 해결의 실마리는 'ㄴ'에서 두 직선의 수직 관계를 증명하는 것인데, 점 A와 Q의 좌표, 그리고 직선 PQ의 기울기를 t에 대한 식으로 정확히 표현하여 기울기의 곱이 -1이 되는지를 확인하는 것이 첫 단추입니다.
  

• 20번

  — ∠APB = 45°를 만족하는 점 P의 자취가 원의 일부임을 간파하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 출제 의도는 원주각과 중심각의 관계를 이용하여 자취(원)의 방정식을 구하고, 그 원의 중심 C와 원점 O 사이의 거리의 최솟값을 찾는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 점 P의 자취가 원이라는 사실을 떠올리지 못하거나, 직선 AB를 기준으로 위쪽과 아래쪽에 두 개의 원이 생긴다는 사실을 놓치는 함정에 빠집니다. 결정적 힌트는 원주각이 45°이므로 중심각은 90°라는 점입니다. 이를 이용하면 삼각형 ABC가 선분 AB를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형임을 알 수 있고, 이를 통해 중심 C의 좌표를 훨씬 수월하게 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 원의 지름, 수직 조건, 외분점, 삼각형의 넓이 등 수많은 기하학적 요소가 얽혀있는 고난도 해석기하 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 기하학적 상황을 좌표와 수식으로 정확하게 번역하고, 효율적인 계산 전략을 세우는 능력을 측정하는 것입니다. 대부분의 학생들은 점 P의 좌표를 미지수로 설정하고 외분점 Q, 교점 R의 좌표를 순서대로 구하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 이 문제의 결정적 실마리는 선분 AB가 원의 지름이라는 사실입니다. 따라서 원 위의 점 P에 대해 삼각형 APB는 항상 직각삼각형(∠APB = 90°)이 되며, 이는 직선 AP와 BP의 기울기의 곱이 -1임을 의미합니다. 이 성질을 이용하면 점 P의 좌표를 훨씬 간단하게 설정하고 문제를 풀어나갈 수 있습니다.
  

• 28번

  — 매개변수 k를 포함한 이차함수의 대칭성을 이용하여 사각형의 둘레를 k에 대한 식으로 표현하고, 주어진 부등식을 만족하는 자연수 k의 합을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 이차함수의 축의 방정식과 그래프의 대칭성을 완벽하게 이해하고 활용할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 점 B의 좌표를 잘못 설정하는 것입니다. 점 B는 점 A와 y좌표가 같은 점이므로, 두 점 A, B는 이차함수의 축에 대해 대칭입니다. 이 사실을 놓치고 B를 x절편 등으로 오해하면 문제를 전혀 풀 수 없습니다. 축의 방정식이 x=k임을 파악하고, 점 A의 x좌표가 0이므로 점 B의 x좌표는 2k가 된다는 것을 알아내는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 29번

  — 직선 y=x 위의 점, 수선의 발, 여러 점을 지나는 원 등 매우 복잡한 조건이 제시된 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 여러 기하학적 성질들을 유기적으로 연결하여 숨겨진 규칙을 찾아내고, 이를 통해 최종 목표값을 추론하는 종합적 사고력을 평가하는 것입니다. 문제의 조건이 많아 어디서부터 시작해야 할지 막막함을 느끼기 쉽고, 모든 점의 좌표를 미지수로 설정하여 연립방정식으로 풀려고 시도하면 거의 실패합니다. 문제 해결의 돌파구는 기하학적 관찰에 있습니다. 점 A(a,a)에서 내린 수선의 발 H(a,0), 점 B(-b,-b)에서 내린 수선의 발 L(0,-b) 등을 좌표로 찍어보면, 사각형 HOLA 등에서 여러 개의 직각이 발견됩니다. 이는 여러 점들이 하나의 원 위에 있다는 사실(공원점)을 암시하며, 이 숨겨진 원들을 찾아내는 것이 문제 풀이의 결정적 힌트가 됩니다.
  

• 30번

  — 중심이 고정된 원의 반지름 r값을 변화시킬 때, 원이 삼각형과 만나는 교점의 개수가 3개가 되는 모든 r값을 찾는 문제입니다. 출제 의도는 원과 직선, 원과 점의 위치 관계를 반지름의 변화에 따라 체계적으로 분석하는 능력을 평가하는 것입니다. 흔히 빠지는 함정은 원이 삼각형의 세 변과 접할 때와 세 꼭짓점을 지날 때만 확인하고 끝내는 것입니다. 교점의 개수는 이 '경계'가 되는 순간들 사이에서 변하므로, 모든 경우를 꼼꼼히 따져야 합니다. 이 문제를 풀기 위한 핵심 전략은 중심 C(5,5)로부터 삼각형 OAB의 세 꼭짓점(O, A, B)까지의 거리와 세 변(직선 OA, OB, AB)까지의 거리를 모두 계산하여 크기 순으로 나열하는 것입니다. 이 값들이 바로 교점의 개수가 변하는 '임계 반지름'이며, 이 값들을 기준으로 원을 직접 그려보며 교점이 3개가 되는 순간을 정확히 찾아내야 합니다.