2020년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의고사는 30번 복소수 문항에서 n값에 따른 케이스 분류와 m의 홀짝성까지 따져야 하는 복합적인 사고를 요구하며 상위권 변별을 시도했습니다. 전반적으로 다항식의 연산과 나머지 정리, 이차함수의 그래프 해석 능력을 집중적으로 점검하는 문항들이 주를 이뤘으며, 특히 16번, 20번처럼 단순히 계산만으로는 해결하기 어려운, 그래프의 기하학적 특징을 꿰뚫어 보는 시각을 요구하는 문제들이 인상적입니다. 고1 과정의 이차함수와 방정식에 대한 완벽한 이해는 향후 수1, 수2의 함수 극한과 미적분 단원에서 그래프 개형을 추론하는 핵심 역량으로 직결되므로, 이번 시험의 오답 문항들은 반드시 꼼꼼하게 복습해야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 두 이차함수 그래프의 위치 관계를 <보기>의 대수적 조건과 연결시키는 능력을 묻는 문항입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 각각 별개의 조건으로 해석하는 것인데, 특히 ㄷ 조건은 f(x)-g(x)=0이라는 새로운 방정식의 판별식과 관련 있음을 눈치채지 못하면 해결이 어렵습니다. 두 함수의 관계를 묻는 문제는 두 식을 빼거나 더해서 새로운 함수를 만드는 관점이 문제 해결의 결정적 실마리가 됩니다.
  

• 20번

  — 이차함수 그래프의 대칭성을 활용하여 도형의 둘레를 한 문자에 대한 함수로 표현하는 문제입니다. 많은 학생들이 점 A의 좌표를 (t, -t+10)으로 설정한 후, 점 C의 x좌표를 구하는 과정에서 막히곤 합니다. 점 B와 C의 y좌표가 같다는 점을 이용하여 f(x) = -t+10 이라는 방정식을 세우고, 이 방정식의 두 근의 합이 대칭축의 2배라는 사실을 이용하는 것이 계산을 줄이는 핵심 열쇠입니다.
  

• 21번

  — 나머지정리와 인수정리를 복합적으로 활용하여 4차 다항식을 추론하는 고난도 문항입니다. (가) 조건에서 f(x)를 x+2로 나눈 나머지와 x²+4로 나눈 나머지가 같다는 것을 보고, f(x) - 3p² 라는 새로운 함수 h(x)를 설정하는 것이 문제 풀이의 첫 단추입니다. h(x)가 (x+2)와 (x²+4)를 인수로 갖는다는 사실을 파악하고, 최고차항 계수를 고려하여 h(x) = (x+2)(x²+4)(x+k) 꼴로 식을 세운 뒤 나머지 조건을 대입해야 합니다.
  

• 28번

  — 이차함수가 x축에 접하는 조건과 제한된 범위 내에서의 최솟값 조건을 동시에 만족시키는 미정계수를 찾는 문제입니다. (가) 조건에서 판별식 D=0을 이용해 p와 q의 관계식을 찾는 것은 어렵지 않으나, (나) 조건에서 최솟값을 구할 때 대칭축의 위치를 고려하지 않는 실수를 범하기 쉽습니다. 대칭축 x=p/2가 -p ≤ x ≤ p 범위 안에 존재하므로, 최솟값은 꼭짓점이 아닌 범위의 양 끝 값 중 하나에서 발생한다는 점, 특히 p가 양수이므로 x=-p에서 최솟값을 가짐을 파악하는 것이 결정적 힌트입니다.
  

• 29번

  — 도형의 기하학적 성질을 좌표평면을 이용하여 해석하는 문제입니다. 이 문제를 순수 기하로만 접근하면 변수 설정과 관계식 도출이 매우 복잡해집니다. 두 정사각형의 대각선의 교점을 원점으로 설정하고 각 꼭짓점의 좌표를 문자로 표현하는 것이 가장 효율적인 접근법입니다. '대각선 FH가 변 AB를 이등분한다'는 조건을 직선의 방정식과 중점 좌표를 이용해 식으로 변환하고, 삼각형 넓이 관계를 좌표를 이용해 계산하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
  

• 30번

  — 복소수 i의 거듭제곱이 갖는 주기성을 깊이 있게 이해하고, 특정 조건을 만족하는 자연수 순서쌍의 개수를 세는 문제입니다. (OCR의 `[i+(1/i)]^2nm`은 `(i^n + 1/i^n)^m`의 오기로 보입니다.) 이 문제를 풀기 위해서는 괄호 안의 `i^n + 1/i^n` 값이 n을 4로 나눈 나머지에 따라 0, -2, 2 중 하나의 값을 갖는다는 것을 먼저 파악해야 합니다. 전체 값이 '음의 실수'가 되려면 밑이 음수(-2)이고 지수(m)가 홀수여야 한다는 결론에 도달해야 하며, 이 두 조건을 만족하는 n과 m의 개수를 각각 정확히 세는 것이 관건입니다.