2019년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 학력평가는 29번과 30번에서 고1 과정의 좌표기하학이 얼마나 깊이 있게 다뤄질 수 있는지를 명확히 보여준 시험이었습니다. 단순히 공식을 대입하는 수준을 넘어, 도형의 성질(수심, 내심 등)을 좌표평면으로 가져와 해석하고 복잡한 연산을 정확히 수행하는 능력을 요구했죠. 특히 후반부 문항들의 계산량이 많아 시간 관리에 실패한 학생들이 많았을 것이며, 여기서 상위권이 갈렸을 겁니다. 고1 '도형의 방정식' 단원은 향후 수원, 수2, 그리고 선택과목(미적분, 기하)에서 함수와 도형을 해석하는 가장 기본적인 '언어'가 되므로, 각 공식의 증명 과정과 기하학적 의미를 완벽히 체화하는 학습이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 직선 y=x에 대한 대칭이동의 의미와 삼각형 넓이 비의 기하학적 해석 능력을 동시에 묻고 있습니다. 많은 학생들이 A'의 좌표를 (4, 2)로 구한 뒤, 삼각형 A'BC와 ACB의 넓이를 직접 계산하려다 복잡한 식에 갇히는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 두 삼각형이 밑변 BC를 공유한다는 점입니다. 넓이의 비는 결국 높이의 비와 같다는 사실을 이용하면, 점 A'과 A에서 직선 BC에 이르는 거리의 비를 통해 k값을 훨씬 간단하게 구할 수 있습니다.
  

• 17번

  — 제한된 범위에서 이차함수의 최솟값을 구하는 전형적인 문제지만, 범위의 끝값 'a'가 미지수라 학생들이 가장 어려워하는 유형입니다. 출제 의도는 축의 방정식(x=4)을 기준으로 경우를 나눌 수 있는지를 평가하는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 축의 위치를 고려하지 않고 무조건 꼭짓점의 y좌표를 최솟값으로 착각하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 축 x=4가 주어진 범위 [0, a] 안에 포함되는지(a ≥ 4), 아니면 범위의 오른쪽에 있는지(a < 4)에 따라 최솟값이 발생하는 x좌표가 달라진다는 점을 파악하는 것입니다. 이 두 가지 경우로 나누어 각각의 최솟값을 구하고, 그 값이 0이 되도록 하는 a를 찾으면 됩니다.
  

• 19번

  — 평행이동 후 두 도형의 공통부분 넓이를 함수로 표현하고 그 최댓값을 구하는, 사고력과 계산력을 모두 요구하는 문항입니다. 학생들이 주로 겪는 어려움은 공통부분의 모양이 t값에 따라 어떻게 변하는지 파악하고, 그 넓이 S(t)를 t에 대한 식으로 정확히 세우는 과정입니다. 힌트는 공통부분이 되는 도형(육각형)을 직접 구하기보다, 전체 삼각형 넓이에서 겹치지 않는 바깥 부분(작은 직각이등변삼각형)의 넓이를 빼는 방식으로 접근하는 것입니다. S(t)가 t에 대한 이차함수로 표현된다는 것을 눈치챈다면, 표준형으로 바꾸어 최댓값을 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 삼각형의 '내심'이라는 개념을 좌표평면 위에서 다루는 문제입니다. 내심의 정의(세 내각의 이등분선의 교점)나 성질(세 변에 이르는 거리가 같다)을 모르면 접근 자체가 불가능합니다. 많은 학생들이 내심의 좌표 (x, y)를 구하기 위해 세 직선 AB, BC, CA까지의 거리가 모두 같다는 방정식을 세우려 하지만, 이는 계산이 매우 복잡해집니다. 더 효율적인 실마리는 삼각형의 넓이를 이용하는 것입니다. 삼각형 ABC의 넓이를 직접 구한 뒤, 이 넓이가 (1/2) * 내접원의 반지름 * (삼각형의 둘레)와 같다는 공식을 활용하면 내접원의 반지름, 즉 내심 P에서 각 변까지의 거리를 먼저 구할 수 있어 계산이 한결 수월해집니다.
  

• 29번

  — 좌표평면 위의 세 점으로 만들어진 삼각형에서 수선의 발과 수심(orthocenter)의 개념을 종합적으로 활용해야 하는 고난도 기하 문제입니다. 문제의 핵심은 점 D와 E가 각각 B와 C에서 마주 보는 변에 내린 '수선의 발'이며, 두 수선 BD와 CE의 교점 F가 바로 삼각형 ABC의 '수심'이라는 사실을 간파하는 것입니다. 사각형 AEFD의 둘레를 구하기 위해 각 선분의 길이를 구해야 하는데, 단순히 두 점 사이의 거리 공식을 반복 사용하는 것은 계산량이 너무 많습니다. 결정적 힌트는 점 A, E, F, D가 한 원 위에 있다는 사실(∠AEF + ∠ADF = 180°)을 이용하거나, 삼각형들의 닮음을 활용하여 길이의 관계를 찾아내는 것입니다. 이 기하학적 통찰이 문제 풀이 시간을 단축하는 열쇠입니다.
  

• 30번

  — 세 원의 위치 관계와 직선, 그리고 삼각형 넓이의 최댓값을 묻는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 복잡한 기하학적 상황을 좌표와 방정식을 통해 해석하고, 넓이가 최대가 되는 순간의 기하학적 의미를 파악하는 능력입니다. 학생들이 가장 먼저 막히는 부분은 점 P에서 원 C₂에 그은 두 접선 l₁, l₂의 정보를 어떻게 활용할지입니다. l₁이 x축에 평행하다는 조건은 점 P의 y좌표를 알려주는 결정적인 단서가 됩니다. 삼각형 PQR의 넓이가 최대가 되려면 밑변 PQ는 고정되어 있으므로, 점 R에서 직선 PQ까지의 거리가 최대가 되어야 합니다. 이는 원 C₃의 중심을 지나고 직선 PQ에 수직인 직선이 원 C₃와 만나는 점 중 더 먼 점이 R이 될 때라는 사실을 이용하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.